材料力學(xué)-第五章VIP

.第九單元(2)第五章 彎曲應(yīng)力5-2 引言 以彎曲為主要變形的構(gòu)件稱為梁，如房屋的梁與火車的輪軸。本章主要研究外力作用在同一平面，變形也在同一平面的梁。實(shí)際上，這也是最常見的情況。 三種靜定梁 固定鉸 簡(jiǎn)支梁 可動(dòng)鉸（鏈桿） 固定端 懸臂梁 集中載荷 分布載荷 集中力偶 外伸梁5-2 剪應(yīng)彎矩方程與剪應(yīng)力彎矩圖一、剪力與彎矩 研究梁的內(nèi)力，仍使用截面法，由取出段的平衡，可知除了存在剪力，還存在彎矩。 ，“+”符號(hào)： 使保留段順時(shí)針轉(zhuǎn) 使保留段內(nèi)凹 ，“-”符號(hào)：二、剪力彎矩方程與剪力彎矩圖 剪力、彎矩與坐標(biāo)X間的解析關(guān)系式，即稱為剪力方程與彎矩方程。表示剪力與彎矩沿梁軸變化的另一重要方法為圖示法，圖示曲線稱為剪力、彎矩圖。例1： 1.求支反力校核(為保證正確, 要求校核) 2.建立，方程(截面法) AB段： BC段： 也可以只建一個(gè)坐標(biāo)系， BC段： 3畫圖 圖 圖例2：(分布截荷，注意力系簡(jiǎn)化條件) 1.支反力 2. ，方程 AB： BC： 3.畫，圖第10單元 剛架：由剛性接頭連接桿件所組成的結(jié)構(gòu)。 鉸鏈：傳力，不傳力矩 剛性接頭，傳力又傳力矩 剛架中、，可能同時(shí)存在 內(nèi)力符號(hào) (拉正壓負(fù)) (使研究對(duì)象順時(shí)針轉(zhuǎn)為正) (不規(guī)定正負(fù)，畫在受壓一側(cè)) 有教材將豎桿看作橫桿延伸部分的作圖，但對(duì)于上圖的三豎桿剛架將出現(xiàn)十、一號(hào)規(guī)定的自相矛盾。因此不規(guī)定正負(fù)號(hào)，畫在受壓一側(cè)。具體畫時(shí)，自行規(guī)定正向，但不標(biāo)出正負(fù)號(hào)，如下圖，左、右兩觀察者得出的彎矩正負(fù)號(hào)不同，圖會(huì)畫在同一側(cè)。土木類教材將彎矩圖畫在受拉側(cè)，如孫訓(xùn)芳“材料力學(xué)”。例： M方程 AB： BC： DC： 在沒(méi)有集中力偶處，剛性接頭兩端彎矩相等，圖在同一側(cè)。例：平面曲桿：軸線為平面曲線，N、Q、M M：畫在受壓一側(cè)(列Q、M方程時(shí)，采用曲線坐標(biāo)，一般用極坐標(biāo))直線段：圓弧段：(1.可去掉右邊一段，代之以反力和反力偶，2.弧坐標(biāo))例：(雙杠的力學(xué)模型)支座設(shè)于何處，最大? 分析：在載荷運(yùn)動(dòng)中，梁有兩危險(xiǎn)截面，即支座處和中點(diǎn)，最大彎矩隨長(zhǎng)度X變化，規(guī)律相反。 “等強(qiáng)”，使兩種危險(xiǎn)情形的最大彎矩相等，實(shí)現(xiàn)最大彎矩為最小 1.P位于梁中點(diǎn)(彎矩用紅線) 2.P位于梁端點(diǎn) 3.等強(qiáng)： 即外伸部分為中間部分的1/4，本問(wèn)題為等強(qiáng)原則的推廣。5-3 剪力、彎矩與載荷集度間的微(積)分關(guān)系 (本節(jié)研究載荷集度、剪力、彎矩三者的關(guān)系，及其在繪制剪力、彎矩圖中的應(yīng)用)微段的平衡：坐標(biāo)系向左為正，載荷q(x)，向上為正。 函數(shù)在一點(diǎn)的展開的泰勒公式： 一、微(積)分關(guān)系略去二階微量，得 (5.1) (5.2)： (5.3) 上述三個(gè)關(guān)系式的力學(xué)意義：微段的平衡 幾何意義(為用于作Q、M圖，將仔細(xì)研究)。 (上面的推導(dǎo)是對(duì)均布載荷而言。集中載荷在力學(xué)上是高度集中的分布力的抽象，在數(shù)學(xué)上代表一個(gè)奇異點(diǎn)。在這點(diǎn)，函數(shù)值發(fā)生跳躍)如圖：當(dāng)，保持常值，變?yōu)榧辛D的跳躍，下面就一般情形研究此問(wèn)題： 對(duì)于集中力情形， 略去高階微量 (幾何意義：P向上，Q圖向上跳躍) (連續(xù))集中力偶情形： 連續(xù) (順時(shí)針，圖向上跳躍) 從數(shù)學(xué)上看，剪力、彎矩圖就是函數(shù)的圖象，因此可以利用函數(shù)的各種性質(zhì)，包括微分和積分性質(zhì)，總結(jié)出畫剪力彎矩圖的快捷方法。 幾何意義(用來(lái)繪制剪力彎矩圖) 正向規(guī)定：軸，P，q(由剪力、彎矩方程繪圖時(shí)，不必加此限制。由微積分關(guān)系畫圖, 如正向規(guī)定不同，某些量會(huì)改變符號(hào)) Q圖：斜率=q，q=常數(shù)：直線 P點(diǎn)跳，(P上指，Q圖上跳)(任意截面)圖左邊面積+集中力(含支反力) 斜率=q 斜率=Q 圖：斜率=Q 點(diǎn)跳（順時(shí)針，上跳) ，極值(或拐點(diǎn)) 凹凸性：(比喻:雨落傘凸面)(任意截面)圖左邊面積+集中力偶(含支反力偶)第十單元例：利用、的微分關(guān)系繪制、圖 1.分段、段值 2.利用微分關(guān)系連線水平斜上斜下 在繪圖中，計(jì)算端值是較費(fèi)時(shí)的，這可以利用積分關(guān)系解決。 極值點(diǎn)，補(bǔ)算例：利用微分積分關(guān)系繪制剪力彎矩圖。 1.求支反力 2.Q圖(從零開始) A點(diǎn)：向上跳(支反力向上) AB：水平 B點(diǎn)：下跳，水平 C點(diǎn)：連續(xù) D點(diǎn)：上跳，(校核：回到零點(diǎn)) 3.M圖 A點(diǎn)：0 AB：直線斜上 B點(diǎn)：Q圖左邊面積 BC：直線斜下 C點(diǎn)：Q圖左邊面積，外力偶順時(shí)針，上跳CD：直線斜下D點(diǎn)：Q圖左邊面積+外力偶=0 校核：回到零點(diǎn)例： Q圖： A：上跳 AB:水平 B：連續(xù) BC：直線斜下 C：左載荷圖(負(fù))面積下跳 CD:水平 D：上跳回零 (回零校核很重要) M圖：(從零開始) A：上跳 AB：斜上直線 B：左圖面積 E：Q圖零點(diǎn)，M圖極值 BC：曲線，(,“頂肚皮”) C：左邊面積 CD：斜下直線 D：圖左邊面積，回零點(diǎn)作校核例：梁間鉸，Q：連續(xù)，M：=0 1.求反支力 ， (注意必須折開，先分析BD段) 2.Q圖 A：上跳 AB：水平 B：連續(xù)(無(wú)須考慮鉸) BC：斜下 C：(載荷圖段面積)=0，連續(xù) BC： C：下跳 CD:斜上 CD： D：載荷圖左邊面積 D：回到0 下跳到零 3M圖： A：下跳 B：-+Q圖左邊面積等于零(不須考慮鉸，但該出等于零可作校核)思考：為什么畫剪力、彎矩圖時(shí)不須考慮中間鉸答：求約束反力時(shí)已利用了中間鉸條件，中間鉸處M=0可作校核。例：三角形分布載荷的剪力、彎矩圖 1.載荷圖(題中為工程載荷圖，此處數(shù)學(xué)坐標(biāo)形式) (將載荷圖用數(shù)學(xué)坐標(biāo)形式表示 ，有助于利用微積分關(guān)系畫剪力彎矩圖) 兩點(diǎn)式： 2.剪力圖 A點(diǎn)：上跳 C點(diǎn)：+負(fù)面積 AC：（由載荷圖） 下跳 CB：（） B點(diǎn)：上跳到0，校核 3.彎矩圖：拋物線面積（1）； （2）。例(P159，5.5a)：剪力、彎矩圖的反問(wèn)題，已知Q、M圖，求q圖 (1)利用剪力圖畫集中力和分布力 A點(diǎn)：上跳，代表向上集中力 圖斜率，代表向下均布載荷 (2)利用彎矩圖畫集中力偶A點(diǎn)和B點(diǎn)均下跳 代表此兩點(diǎn)都作用有逆時(shí)針力偶 (3)受約束的靜定梁形式不是唯一的，見圖示兩例。微積分關(guān)系也用于作剛架的剪力、彎矩圖。剛架可看作分段的梁。第11單元內(nèi)力及內(nèi)力圖小結(jié) 融匯貫通所學(xué)知識(shí)，熟練掌握內(nèi)力圖畫法. 內(nèi)力(廣義)、(軸力、扭矩、剪力、彎矩)1.力學(xué)：平衡關(guān)系 理力：剛體的平衡，求約束反力(外力) 材力：構(gòu)件一部分的平衡，求內(nèi)力(截面法) (將構(gòu)件另一部分看作約束，與理力求約束反力的相同) 剛體平衡:代數(shù)方程 微段的平衡：微分關(guān)系式 取研究對(duì)象后：由剛化原理、可應(yīng)用剛體的平衡方程 (從這個(gè)角度認(rèn)識(shí)問(wèn)題，就不必再一一歸納：在變形體力學(xué)中，力的可傳性原理適用嗎?力系是否可簡(jiǎn)化等等問(wèn)題)2.(從)數(shù)學(xué)(角度)：內(nèi)力函數(shù)及其圖象 (1)內(nèi)力符號(hào) （a）N、T、Q與坐標(biāo)無(wú)關(guān)，需標(biāo)正負(fù)號(hào)。 （b）與坐標(biāo)相關(guān)(凹凸性暗含了坐標(biāo)上指還是下指)，標(biāo)正負(fù)號(hào)，畫在受壓側(cè)，物理屬性與坐標(biāo)無(wú)關(guān)。 (2)作圖 a.利用內(nèi)力函數(shù)(Q、M方程，T、N方程) b. c.剛架看作分段的梁3.工程(意義)內(nèi)力分布規(guī)律的形象化對(duì)比剪流、電力線、磁力線課堂練習(xí)第12單元5-4 彎曲正應(yīng)力 引言 “一點(diǎn)失效”概念，求， Q，M(主要應(yīng)力，見圖) 對(duì)稱彎曲：梁至少有一個(gè)縱向?qū)ΨQ面，外力作用在此面內(nèi)，變形對(duì)稱于縱向?qū)ΨQ面。 對(duì)稱純彎曲：（矩形截面梁的純彎，從簡(jiǎn)單到復(fù)雜分析方法，應(yīng)力分布未知，內(nèi)力靜不定問(wèn)題) 幾(變形關(guān)系應(yīng)變分布規(guī)律)物(應(yīng)力分布規(guī)律)靜力學(xué)(應(yīng)力大小)一、幾何方面1.外部變形(觀測(cè)) (1)縱向線(成同心圓弧，靠頂面縮短，底部伸長(zhǎng)) (2)橫向線(仍為直線，相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)，與縱線正交) (3)縱橫線變形比(實(shí)驗(yàn)量測(cè)符合泊松比)(利用上面觀測(cè)的現(xiàn)象，對(duì)內(nèi)部變形作假設(shè))2.內(nèi)部變形(假設(shè)) (1)平面假設(shè)(從(1)和(2)，橫截面變形后保持平面，與梁軸正交，截面間相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)。) (2)單向受力假設(shè)(從(3)，縱向纖維僅受正應(yīng)力，無(wú)橫向擠壓應(yīng)力。此條假設(shè)是從幾何假設(shè)到物理假設(shè)) 重要推論：既然彎曲時(shí)，一側(cè)縱向纖維伸長(zhǎng)，一側(cè)縮短，總有一個(gè)面既不伸長(zhǎng)，也不縮短。 中性層，中性軸(橫截面與中性層交線) 中性層 中性軸3.正應(yīng)變公式(平面假設(shè)的數(shù)學(xué)描述) 任取梁-微段，變形前，變形后。 (a)(a)式代表了梁中縱坐標(biāo)為的任一“纖維”的正應(yīng)變，它是平面假設(shè)的數(shù)學(xué)描述)二、物理方面 由胡克定律與(a)式(利用了單向受力假設(shè)) (條件，即線彈性) (b)1.式(b)表明：橫截面正應(yīng)力沿高度線性變化，沿寬度不變2. (1)未知，(2)中性軸位置未知，無(wú)法計(jì)算。它們由靜力學(xué)方程解決三、靜力學(xué)方面 （1） (中性軸過(guò)形心) 均質(zhì)薄板的重心，即板中面形心，為板厚。 （2） 令對(duì)z軸的慣性矩 ，EI：截面彎曲剛度 (5-4)上式即用曲率表示的彎曲變形公式，代(5-4)到(b) (5-5)此即彎曲正應(yīng)力一般公式。四、最大彎曲正應(yīng)力(令5-5中)抗彎截面模量。 矩形 圓形(空心) (，d、D分別為管的內(nèi)外徑) 型剛的,查教材表P310-313,附錄F。附錄A 極慣性矩與慣性矩(P291)(截面的幾何性質(zhì)) 桿件中的應(yīng)力和變形，不僅與外力相關(guān)，而且與截面的幾何性質(zhì)相關(guān)，我們已學(xué)過(guò)(圓) (圓), , 等等 我們還將遇到一些新的表征截面幾何性質(zhì)的量，為方便以后的研究，下面從純幾何的角度集中研究這個(gè)問(wèn)題。A-1 靜矩與形心 回顧數(shù)學(xué)與理力中的重心計(jì)算公式(以坐標(biāo)為例) 對(duì)于均質(zhì)薄板，重心與形心(幾何中心)重合 (1) (2)定義靜矩(一次矩) (3)代入(1)和(2) 通過(guò)截面形心的坐標(biāo)稱為形心軸，截面對(duì)面的靜矩為零。(自學(xué)P293,例1)A-2 極慣性矩 (P2294,自學(xué))A-3 軸慣性矩 ，分別稱為對(duì)軸與軸的慣性矩1.對(duì)形心軸的慣性矩 積分，三角形，矩形見P296-297 對(duì)圓：2.平行移軸定理 對(duì)任意軸的慣性矩的計(jì)算，除了直接積分外，還可以利用平行移軸定理。i)對(duì)比理力相應(yīng)公式(剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的平行移軸定理)ii)對(duì)兩任意軸，平行移軸定理是否成立?不成立，不是形心軸，推導(dǎo)的中間項(xiàng)不為零。組合公式： 根據(jù)面積積分等于它各部分面積積分之和的原理，我們得出組合公式 靜矩， 形心 (，形心坐標(biāo)) 負(fù)面積法：上述公式中，取整體減孔洞 第13單元5-5 矩形與薄壁截面梁的彎曲剪應(yīng)力 已經(jīng)研究了純彎梁的正應(yīng)力，現(xiàn)在研究橫力彎曲，由剪力Q引起的剪應(yīng)力。 問(wèn)題：剪應(yīng)力是否沿橫截面分布?如果均布，由剪應(yīng)力互等，上表面剪應(yīng)力為零將導(dǎo)致截面剪應(yīng)力為零，矛盾。 歷史(提出此方法)，D.J.Jourawski(1821-1891)，俄國(guó)鐵路工程師，枕木開裂，材力分析法。Saint Venant精確解，特殊情形。一、矩形截面梁的彎曲剪應(yīng)力 (考慮僅增加平衡方程中高階微量)1.假定 /側(cè)邊(剪應(yīng)力互等) 沿均布2.平衡(截取微段)(沿高度變化，難以直接研究，利用剪應(yīng)力互等，沿水平面不變，且與有平衡關(guān)系)3.分布 的形心 代入上式 (為平均剪應(yīng)力1.5倍) 由于剪應(yīng)力存在，平面假設(shè)不精確成立，矛盾解法。時(shí)，相當(dāng)精確。二、對(duì)稱薄壁梁的彎曲剪應(yīng)力1.尺寸參數(shù) (截面中心線，壁厚)2分布（1）中心線（互等）（2）沿厚度均布（因?。?.的大小(思路：與求矩形截面剪應(yīng)力一樣，從開口處截取一微段，直接求橫截面剪應(yīng)力困難，利用剪應(yīng)力互等，轉(zhuǎn)化為求縱向截面剪應(yīng)力。微段，任意長(zhǎng))4.剪流(利用剪流概念，可形象定的方向) 工字形截面 (1)腹板剪應(yīng)力方向取單元塊，在圖示剪力下，為正。 單元塊縱向剪應(yīng)力向前橫截面剪應(yīng)力向右。(2)上述判別麻煩，可由剪流比擬得到形象直觀的簡(jiǎn)單判別。在腹板上剪流方向與同，其余依它定。比較閉口薄壁桿扭轉(zhuǎn)一條永遠(yuǎn)循環(huán)的恒定河，q(s)形成的“河”沙漠河，開始有水滲出，河水漸多，過(guò)中性軸后滲漏，直至水消失。 翼緣 腹板 點(diǎn)剪應(yīng)力為點(diǎn)的2倍，點(diǎn)剪應(yīng)力最大。 閉口薄壁梁，根據(jù)對(duì)稱性，A端的剪應(yīng)力為0，可以取一半分析，見A點(diǎn)取出微體，長(zhǎng)，。 對(duì)工字梁，由于腹板存在，和得出腹板剪流為翼緣2倍的結(jié)論。三、彎曲正應(yīng)力與彎曲剪應(yīng)力比較 P1142例5-11，自學(xué) 實(shí)心細(xì)長(zhǎng)梁，彎曲剪應(yīng)力較正應(yīng)力小得多，可忽略，薄壁截面梁，彎曲剪應(yīng)力通常不能忽略。5-6 梁的強(qiáng)度條件一、彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度條件等截面直梁，：許用拉應(yīng)力 ：許用壓應(yīng)力。二、彎曲剪應(yīng)力強(qiáng)度條件等截面直梁： 非薄壁截面細(xì)長(zhǎng)梁，通常只需按彎曲正應(yīng)力條件分析，對(duì)薄壁截面或非薄壁但彎矩小，剪力大的梁(短粗梁，集中載荷作用在端點(diǎn)附近的梁)，還應(yīng)考慮彎曲剪應(yīng)力條件。例（P144）：，試校核強(qiáng)度。一、畫彎矩圖,截面D,B為危險(xiǎn)截面,見上圖,a,b為危險(xiǎn)點(diǎn)。 截面D： 截面B： 可先比較截面D上中與截面B上中的大小。 （校核三點(diǎn)。） 例（P145）：P=20kN，選工字鋼解：(1) (2) (查表，見p293，注意單位) #22a (3)校核P146 例5-14矩形截面應(yīng)力疊加 圓截面先將彎矩合成 第14單元5-7 梁的合理強(qiáng)度設(shè)計(jì) (a) 設(shè)計(jì)梁的主要依據(jù)是彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度，也就是盡可能降低式(a)的數(shù)值。梁的合理設(shè)計(jì)可從以下幾個(gè)方面考慮。(正應(yīng)力為主導(dǎo)因素)一、梁的合理受力(降低最大彎矩) (1)合理置支座(從設(shè)計(jì)方案考慮) 雙杠，等強(qiáng)， 汽車主梁，后輪位置設(shè)計(jì)，(2)分散載荷(從使用方案考慮) 圖： (3)加配重(特殊措施) 二人過(guò)橋，1人可作配重2.合理設(shè)計(jì)截面形狀(增大抗彎截面模量) ，通常，保持面積不變，增大時(shí)，同時(shí)也使增大，這時(shí)要看哪個(gè)是主導(dǎo)因素 (1)總是為正。保持面積不變，使材料遠(yuǎn)離中性層，并利用等強(qiáng)概念， a.塑性材料 上、下對(duì)稱 抗彎更好，抗扭差 b.脆性材料 調(diào)