天津第一中學(xué)高三數(shù)學(xué)下學(xué)期第五次月考理

天津一中2017-2018高三年級五月考數(shù)學(xué)試卷（理）一、選擇題：1.已知集合，則（ ）A B C D2.已知實(shí)數(shù)，滿足不等式組，則的最小值是（ ）A B C D3.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的值為（ ）A B C D4.已知數(shù)列是等差數(shù)列，為正整數(shù)，則“”是“”的（ ）A充分不必要條件 B必要不充分條件C充要條件 D既不充分也不必要條件5.已知圓：與雙曲線的一條漸近線相切，則雙曲線的離心率為（ ）A B C D6.設(shè)，函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度后與函數(shù)圖象重合，則的最小值是（ ）A B C D7.設(shè)定義在上的函數(shù)，滿足，為奇函數(shù)，且，則不等式的解集為（ ）A B C D8.將數(shù)字“”重新排列后得到不同的偶數(shù)個(gè)數(shù)為（ ）A B C D二、填空題：9.設(shè)復(fù)數(shù)滿足，則 10.已知二項(xiàng)式的展開式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為，則展開式中含項(xiàng)的系數(shù)是 11.在極坐標(biāo)系中，直線：與圓：，則直線被圓截得的弦長為 12.如圖，在中，已知，則 13.已知點(diǎn)在橢圓上運(yùn)動(dòng)，則最小值是 14.已知函數(shù)，若方程有且只有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 三、解答題： 15.某商場舉行有獎(jiǎng)促銷活動(dòng)，顧客購買一定金額的商品后即可抽獎(jiǎng)，每次抽獎(jiǎng)都是從裝有個(gè)紅球、個(gè)白球的甲箱和裝有個(gè)紅球、個(gè)白球的乙箱中，各隨機(jī)摸出一個(gè)球，在摸出的個(gè)球中，若都是紅球，則獲得一等獎(jiǎng)；若只有個(gè)紅球，則獲得二等獎(jiǎng)；若沒有紅球，則不獲獎(jiǎng).（1）求顧客抽獎(jiǎng)次能獲獎(jiǎng)的概率；（2）若某顧客有次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，記該顧客在次抽獎(jiǎng)中獲一等獎(jiǎng)的次數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.16.的內(nèi)角、的對邊分別為、，已知.（1）求；（2）如圖，為外一點(diǎn)，若在平面四邊形中，且，求的長.17.如圖，在四棱錐中，為等邊三角形，且，為中點(diǎn).（1）求證：平面平面；（2）若線段上存在點(diǎn)，使得二面角的大小為，求的值；（3）在（2）的條件下，求點(diǎn)到平面的距離.18.已知數(shù)列中，.（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和，并求滿足的所有正整數(shù).19.已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)與其短軸的一個(gè)端點(diǎn)是等邊三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，與軸，軸分別交于點(diǎn)，且，點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)，的延長線交橢圓于點(diǎn)，過點(diǎn)，分別作軸的垂線，垂足分別為，.（1）求橢圓的方程；（2）是否存在直線，使得點(diǎn)平分線段？若存在，求出直線的方程，若不存在請說明理由.20.已知函數(shù)，.（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；（2）若對于任意，都有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）若，且，證明：.參考答案一、選擇題1-5: DBAAB 6-8: CDC二、填空題9. 10. 11. 12. 13. 14. 三、解答題15.（1）設(shè)顧客抽獎(jiǎng)次能中獎(jiǎng)的概率為，解出即可.（2）顧客抽獎(jiǎng)次視為次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，判斷出，求出概率，得到的分布列，然后求出數(shù)學(xué)期望和方差.解析：（1）設(shè)顧客抽獎(jiǎng)次能中獎(jiǎng)的概率為，.（2）設(shè)該顧客在一次抽獎(jiǎng)中或一等獎(jiǎng)的概率為，.，故的分布列為數(shù)學(xué)期望.16.解：（1）在中，由正弦定理得，又，所以，故，所以，又，所以，故.（2），又在中，由余弦定理可得，在中，由余弦定理可得，即，化簡得，解得.故的長為.17.試題解析：（1）證明：連接，是等邊三角形，為中點(diǎn)，又，且，四邊形為矩形，又，平面，又平面，平面平面.（2）如圖建系，設(shè)，設(shè)平面的法向量為，平面的法向量不妨設(shè)為，或（舍），.（3）.18.解：（1）設(shè)，因?yàn)椋詳?shù)列是以即為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列.（2）由（1）得，即，由，得，所以，顯然當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，又當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以當(dāng)時(shí)，；，同理，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，綜上，滿足的所有正整數(shù)為和.19.（1）由題意知，即，即，在橢圓上，所以橢圓方程為.（2）存在.設(shè)，聯(lián)立，若平分線段，則，即，把，代入，得，所以直線的方程為或.20.（1），時(shí)，因?yàn)?，所以，函?shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，無單調(diào)遞減區(qū)間，無極值；當(dāng)時(shí)，令，解得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)，.所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是，在區(qū)間上的極小值為，無極大值.（2）由題意，即問題轉(zhuǎn)化為對于恒成立，即對于恒成立，令，則，令，則，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，故，故，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，函數(shù).要使對于恒成立，只要，所以，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.（3）證法1：因?yàn)?，由?）知，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，且.不妨設(shè)，則，要證，只要證，即證.因?yàn)樵趨^(qū)間上單調(diào)遞增，所以，又，即證，構(gòu)造函數(shù)，即，.，因?yàn)?，所以，即，所以函?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，故