九年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)歸納湘教版

2018年茶陵思源實(shí)驗(yàn)學(xué)校九年級(jí)數(shù)學(xué)第一章反比例函數(shù)知識(shí)點(diǎn)歸納和典型例題一、基礎(chǔ)知識(shí)（一）反比例函數(shù)的概念1（）可以寫成（）的形式，注意自變量x的指數(shù)為，在解決有關(guān)自變量指數(shù)問題時(shí)應(yīng)特別注意系數(shù)這一限制條件；2（）也可以寫成xy=k的形式，用它可以迅速地求出反比例函數(shù)解析式中的k，從而得到反比例函數(shù)的解析式；3反比例函數(shù)的自變量，故函數(shù)圖象與x軸、y軸無交點(diǎn)（二）反比例函數(shù)的圖象在用描點(diǎn)法畫反比例函數(shù)的圖象時(shí)，應(yīng)注意自變量x的取值不能為0，且x應(yīng)對(duì)稱取點(diǎn)（關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱）（三）反比例函數(shù)及其圖象的性質(zhì)1函數(shù)解析式：（）2自變量的取值范圍：3圖象：（1）圖象的形狀：雙曲線 越大，圖象的彎曲度越小，曲線越平直越小，圖象的彎曲度越大（2）圖象的位置和性質(zhì)：與坐標(biāo)軸沒有交點(diǎn)，稱兩條坐標(biāo)軸是雙曲線的漸近線當(dāng)時(shí)，圖象的兩支分別位于一、三象限；在每個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而減??；當(dāng)時(shí)，圖象的兩支分別位于二、四象限；在每個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而增大（3）對(duì)稱性：圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，即若（a，b）在雙曲線的一支上，則（，）在雙曲線的另一支上 圖象關(guān)于直線對(duì)稱，即若（a，b）在雙曲線的一支上，則（，）和（，）在雙曲線的另一支上4k的幾何意義如圖1，設(shè)點(diǎn)P（a，b）是雙曲線上任意一點(diǎn)，作PAx軸于A點(diǎn)，PBy軸于B點(diǎn)，則矩形PBOA的面積是（三角形PAO和三角形PBO的面積都是）如圖2，由雙曲線的對(duì)稱性可知，P關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)Q也在雙曲線上，作QCPA的延長線于C，則有三角形PQC的面積為 圖1 圖25說明：（1）雙曲線的兩個(gè)分支是斷開的，研究反比例函數(shù)的增減性時(shí)，要將兩個(gè)分支分別討論，不能一概而論 （2）直線與雙曲線的關(guān)系： 當(dāng)時(shí)，兩圖象沒有交點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，兩圖象必有兩個(gè)交點(diǎn)，且這兩個(gè)交點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱（3）反比例函數(shù)與一次函數(shù)的聯(lián)系（四）實(shí)際問題與反比例函數(shù)1求函數(shù)解析式的方法：（1）待定系數(shù)法；（2）根據(jù)實(shí)際意義列函數(shù)解析式2注意學(xué)科間知識(shí)的綜合，但重點(diǎn)放在對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的研究上（五）充分利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題三、例題分析1反比例函數(shù)的概念（1）下列函數(shù)中，y是x的反比例函數(shù)的是（ ）Ay=3x B C3xy=1 D（2）下列函數(shù)中，y是x的反比例函數(shù)的是（ ）AB CD答案：（1）C；（2）A2圖象和性質(zhì)（1）已知函數(shù)是反比例函數(shù)，若它的圖象在第二、四象限內(nèi)，那么k=_若y隨x的增大而減小，那么k=_（2）已知一次函數(shù)y=ax+b的圖象經(jīng)過第一、二、四象限，則函數(shù)的圖象位于第_象限（3）若反比例函數(shù)經(jīng)過點(diǎn)（，2），則一次函數(shù)的圖象一定不經(jīng)過第_象限（4）已知ab0，點(diǎn)P（a，b）在反比例函數(shù)的圖象上， 則直線不經(jīng)過的象限是（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限（5）若P（2，2）和Q（m，）是反比例函數(shù)圖象上的兩點(diǎn)， 則一次函數(shù)y=kx+m的圖象經(jīng)過（ ）A第一、二、三象限 B第一、二、四象限C第一、三、四象限 D第二、三、四象限（6）已知函數(shù)和（k0），它們?cè)谕蛔鴺?biāo)系內(nèi)的圖象大致是（ ） A B C D 答案：（1）1；（2）一、三；（3）四；（4）C；（5）C；（6）B 3函數(shù)的增減性（1）在反比例函數(shù)的圖象上有兩點(diǎn)，且，則的值為（ ）A正數(shù) B負(fù)數(shù) C非正數(shù) D非負(fù)數(shù)（2）在函數(shù)（a為常數(shù)）的圖象上有三個(gè)點(diǎn)，則函數(shù)值、的大小關(guān)系是（ ）ABCD 第二章一元二次方程知識(shí)點(diǎn)一、本章知識(shí)結(jié)構(gòu)框圖實(shí)際問題數(shù)學(xué)問題設(shè)未知數(shù)，列方程實(shí)際問題的答案數(shù)學(xué)問題的解解 方 程降 次開平方法配方法公式法分解因式法檢 驗(yàn)二、具體內(nèi)容（一）、一元二次方程的概念1理解并掌握一元二次方程的意義 未知數(shù)個(gè)數(shù)為1，未知數(shù)的最高次數(shù)為2，整式方程，可化為一般形式；2正確識(shí)別一元二次方程中的各項(xiàng)及各項(xiàng)的系數(shù) （1）明確只有當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)時(shí)，整式方程才是一元二次方程。 （2）各項(xiàng)的確定(包括各項(xiàng)的系數(shù)及各項(xiàng)的未知數(shù)). （3）熟練整理方程的過程3 一元二次方程的解的定義與檢驗(yàn)一元二次方程的解4 列出實(shí)際問題的一元二次方程（二）、一元二次方程的解法1明確一元二次方程是以降次為目的，以配方法、開平方法、公式法、因式分解法等方法為手段，從而把一元二次方程轉(zhuǎn)化為一元一次方程求解；2 根據(jù)方程系數(shù)的特點(diǎn)，熟練地選用配方法、開平方法、公式法、因式分解法等方法解一元二次方程；3體會(huì)不同解法的相互的聯(lián)系；4值得注意的幾個(gè)問題：(1)開平方法：對(duì)于形如或的一元二次方程，即一元二次方程的一邊是含有未知數(shù)的一次式的平方，而另一邊是一個(gè)非負(fù)數(shù)，可用開平方法求解.形如的方程的解法：當(dāng)時(shí)，;當(dāng)時(shí)，;當(dāng)時(shí)，方程無實(shí)數(shù)根。（2）配方法：通過配方的方法把一元二次方程轉(zhuǎn)化為的方程，再運(yùn)用開平方法求解。配方法的一般步驟：移項(xiàng)：把一元二次方程中含有未知數(shù)的項(xiàng)移到方程的左邊，常數(shù)項(xiàng)移到方程的右邊；“系數(shù)化1”：根據(jù)等式的性質(zhì)把二次項(xiàng)的系數(shù)化為1；配方：將方程兩邊分別加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，把方程變形為的形式；求解：若時(shí)，方程的解為，若時(shí)，方程無實(shí)數(shù)解。（3）公式法：一元二次方程的根當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根,且這兩個(gè)實(shí)數(shù)根不相等；當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根,且這兩個(gè)實(shí)數(shù)根相等，寫為；當(dāng)時(shí)，方程無實(shí)數(shù)根.公式法的一般步驟：把一元二次方程化為一般式；確定的值；代入中計(jì)算其值，判斷方程是否有實(shí)數(shù)根；若代入求根公式求值，否則，原方程無實(shí)數(shù)根。（因?yàn)檫@樣可以減少計(jì)算量。另外，求根公式對(duì)于任何一個(gè)一元二次方程都適用，其中也包括不完全的一元二次方程。）（4）因式分解法：因式分解法解一元二次方程的依據(jù)：如果兩個(gè)因式的積等于0，那么這兩個(gè)因式至少有一個(gè)為0，即：若，則；因式分解法的一般步驟：若方程的右邊不是零，則先移項(xiàng)，使方程的右邊為零；把方程的左邊分解因式；令每一個(gè)因式都為零，得到兩個(gè)一元一次方程；解出這兩個(gè)一元一次方程的解可得到原方程的兩個(gè)解。（5）選用適當(dāng)方法解一元二次方程對(duì)于無理系數(shù)的一元二次方程，可選用因式分解法，較之別的方法可能要簡(jiǎn)便的多，只不過應(yīng)注意二次根式的化簡(jiǎn)問題。方程若含有未知數(shù)的因式，選用因式分解較簡(jiǎn)便，若整理為一般式再解就較為麻煩。（6）解含有字母系數(shù)的方程（1）含有字母系數(shù)的方程，注意討論含未知數(shù)最高項(xiàng)系數(shù)，以確定方程的類型；（2）對(duì)于字母系數(shù)的一元二次方程一般用因式分解法解，不能用因式分解的可選用別的方法，此時(shí)一定不要忘記對(duì)字母的取值進(jìn)行討論。（三）、根的判別式1了解一元二次方程根的判別式概念，能用判別式判定根的情況，并會(huì)用判別式求一元二次方程中符合題意的參數(shù)取值范圍。（1）=（2）根的判別式定理及其逆定理：對(duì)于一元二次方程（）當(dāng)方程有實(shí)數(shù)根；（當(dāng)方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；）當(dāng)方程無實(shí)數(shù)根； 從左到右為根的判別式定理；從右到左為根的判別式逆定理。2常見的問題類型（1）利用根的判別式定理，不解方程，判別一元二次方程根的情況（2）已知方程中根的情況，如何由根的判別式的逆定理確定參數(shù)的取值范圍（3）應(yīng)用判別式，證明一元二次方程根的情況先計(jì)算出判別式（關(guān)鍵步驟）；用配方法將判別式恒等變形；判斷判別式的符號(hào)；總結(jié)出結(jié)論.第三章相似三角形知識(shí)點(diǎn)總結(jié) 1.相似三角形定義：對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例的三角形，叫做相似三角形。2.相似三角形的表示方法：用符號(hào)“”表示，讀作“相似于”。3.相似三角形的相似比：相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比叫做相似比。4. 平行線分線段成比例定理:三條平行線截兩條直線,所截得的對(duì)應(yīng)線段成比例. 已知ADBECF, 可得等相似三角形的預(yù)備定理：平行于三角形一邊的直線和其他兩邊（或兩邊的延長線）相交，所截成的三角形與原三角形相似。由DEBC可得：5.相似三角形的判定定理：三角形相似的判定方法與全等的判定方法的聯(lián)系列表如下：類型斜三角形直角三角形全等三角形的判定SASSSSAAS（ASA）HL相似三角形 的判定兩邊對(duì)應(yīng)成比例夾角相等三邊對(duì)應(yīng)成比例兩角對(duì)應(yīng)相等一條直角邊與斜邊對(duì)應(yīng)成比例6.直角三角形相似：(1)直角三角形被斜邊上的高分成兩個(gè)直角三角形和原三角形相似。(2)如果一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)直角三角形相似。7.相似三角形的性質(zhì)定理：(1)相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等。(2)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例。(3)相似三角形的對(duì)應(yīng)高線的比，對(duì)應(yīng)中線的比和對(duì)應(yīng)角平分線的比都等于相似比。(4)相似三角形的周長比等于相似比。(5)相似三角形的面積比等于相似比的平方。8. 相似三角形的傳遞性如果ABCA1B1C1，A1B1C1A2B2C2，那么ABCA2B2C29. 相似三角形的幾種基本圖形： 平行于三角形一邊的直線和其他兩邊（或兩邊的延長線）相交，所截成的三角形與原三角形相似。這個(gè)定理確定了相似三角形的兩個(gè)基本圖形“A”型和“ 8 ”型。若DEBC（A型和X型）則ADEABC 如圖：其中1=2，則ADEABC稱為“斜交型”的相似三角形。（有“反A共角型”、“反A共角共邊型”、 “蝶型”） 滿足1、AC2=ADAB，2、ACD=B，3、ACB=ADC，都可判定ADCACB 當(dāng)或ADAB=ACAE時(shí)，都可判定ADEACB 如圖：稱為“垂直型”（有“雙垂直共角型”、“雙垂直共角共邊型（也稱“射影定理型”）”“三垂直型”） 如圖：1=2，B=D，則ADEABC，稱為“旋轉(zhuǎn)型”的相似三角形。 對(duì)于復(fù)雜的幾何圖形，采用將部分需要的圖形（或基本圖形）“抽”出來的辦法處理。10.證明題常用方法歸納：總體思路: “等積”變“比例”， “比例”找“相似” 找中間比：若找不到兩個(gè)三角形相似的,則需要進(jìn)行“替換”，常用的“替換”方法有這樣的三種：等線段代換、等比代換、等積代換.添加輔助線：若上述方法還不能奏效的話，可以考慮添加輔助線(通常是添加平行線)注：添加輔助平行線是獲得成比例線段和相似三角形的重要途徑。平面直角坐標(biāo)系中通常是作垂線（即得平行線）構(gòu)造相似三角形或比例線段。第四章 銳角三角函數(shù)1 銳角三角函數(shù)定義銳角A的正弦（sin）,余弦（cos）和正切（tan）叫做角A的銳角三角函數(shù)。 正弦（sin）等于對(duì)邊比斜邊；sinA=a/c 余弦（cos）等于鄰邊比斜邊；cosA=b/c 正切（tan）等于對(duì)邊比鄰邊；tanA=a/b銳角三角函數(shù)值的定義方法是在直角三角形中定義的，所以在初中階段求銳角的三角函數(shù)值，都是通過構(gòu)造直角三角形來完成的，即把這個(gè)角放到某個(gè)直角三角形中。2 特殊角的三角函數(shù)值角度304560正弦(sin)1/22/23/2余弦(cos)3/22/21/2正切(tan)3/313（注 是銳角：0sin1 0cos0）3銳角三角函數(shù)值的符號(hào)及其變化規(guī)律1）銳角三角函數(shù)值都是正值。 2）當(dāng)角度在090間變化時(shí)，、正弦值隨著角度的增大（或減小）而增大（或減?。?；、余弦值隨著角度的增大（或減?。┒鴾p小（或增大）；、正切值隨著角度的增大（或減?。┒龃螅ɑ驕p?。?；4同角三角函數(shù)基本關(guān)系式 5互為余角的三角函數(shù)間的關(guān)系 6 解直角三角形的基礎(chǔ)知識(shí)在Rt中，所對(duì)的邊分別為，（1） 三邊之間的關(guān)系：（2） 銳角之間的關(guān)系：+=（3） 邊角之間的關(guān)系：；（4） 面積公式：（為斜邊上的高）7 解直角三角形的基本類型及其解法如下表：類型已知條件解法兩邊兩直角邊a、bc=，tanA=，B=90-A一直角邊a，斜邊cb=，sinA=，B=90-A一邊一銳角一直角邊a，銳角AB=90-A，b=，c=斜邊c，銳角AB=90-A，a=csinA，b=ccosA解直角三角形的思路可概括為“有斜（斜邊）用弦（正弦、余弦），無斜用切（正切），寧乘勿除，取原避中”。其含義是當(dāng)已知或求解中有斜邊時(shí)，可用正弦或余弦；無斜邊時(shí)，就用正切；當(dāng)所求元素既可用乘法又可用除法時(shí)，則通常用乘法，不用除法；既可用已知數(shù)據(jù)又可用中間數(shù)據(jù)求解時(shí)，則取已知數(shù)據(jù)，忌用中間數(shù)據(jù)。8 解直角三角形應(yīng)用題中的常見概念（1）坡角：坡面與水平面的夾角，用字母表示。坡度（坡比）：坡面的鉛直高度和水