高考數(shù)學(xué)套用18個規(guī)范答題模板-2020版

.模板一求函數(shù)值例1【2018年理數(shù)全國卷II】已知是定義域為的奇函數(shù)，滿足若，則 A. B. 0 C. 2 D. 50【答案】C【解析】模板構(gòu)建已知函數(shù)解析式求函數(shù)值,常伴隨對函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性和對稱性的考查,其解題思路如下:【變式訓(xùn)練】【2018年江蘇卷】函數(shù)滿足，且在區(qū)間上， 則的值為_模板二函數(shù)的圖象例2【2018年理數(shù)全國卷II】函數(shù)的圖像大致為A. A B. B C. C D. D【答案】B【解析】為奇函數(shù)，舍去A,舍去D;，所以舍去C；因此選B.模板構(gòu)建有關(guān)函數(shù)圖象識別問題的常見題型及解題思路（1）由函數(shù)的定義域，判斷圖象左右的位置，由函數(shù)的值域，判斷圖象的上下位置；由函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化趨勢；由函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對稱性；由函數(shù)的周期性，判斷圖象的循環(huán)往復(fù)結(jié)合導(dǎo)數(shù)解答此類問題的基本要點如下:【變式訓(xùn)練】【2018年全國卷文】函數(shù)的圖像大致為模板三函數(shù)的零點問題例3 【2018屆北京市十一學(xué)校3月零?！恳阎瘮?shù)那么在下列區(qū)間中含有函數(shù)零點的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B模板構(gòu)建利用零點存在性定理可以根據(jù)函數(shù)y=f(x)在某個區(qū)間端點處函數(shù)值的符號來確定零點所在區(qū)間.這種方法適用于不需要確定零點的具體值,只需確定其大致范圍的問題.基本的解題要點為:【變式訓(xùn)練】【2018年江蘇卷】若函數(shù)在內(nèi)有且只有一個零點，則在上的最大值與最小值的和為_模板四三角函數(shù)的性質(zhì)例4【2018屆福建省漳州市5月測試】已知函數(shù)（，），滿足，且對任意，都有當(dāng)取最小值時，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（ ）A. ，Z B. ，ZC. ，Z D. ，Z【答案】A【解析】那么，函數(shù)，當(dāng)時，取得最小值，即函數(shù)，令，得，所以，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為：，,故選A.模板構(gòu)建在利用三角函數(shù)的性質(zhì)求最值或值域時,要注意:(1)先確定函數(shù)的定義域;(2)將已知函數(shù)化簡為y=Asin(x+)+k的形式時,盡量化成A0,0的情況;(3)將x+視為一個整體.解題思路為:【變式訓(xùn)練】【2018遼寧省凌源市模擬】已知函數(shù)，當(dāng)時，函數(shù)的最小值與最大值之和為_模板五三角函數(shù)的圖象變換例5.將函數(shù)的圖象上各點的橫坐標(biāo)縮小為原來的，再向右平移(0)個單位后得到的圖象關(guān)于直線對稱，則的最小值是()A. B. C. D. 【答案】D模板構(gòu)建三角函數(shù)圖象變換的主要類型:在x軸方向上的左、右平移變換,在y軸方向上的上、下平移變換,在x軸或y軸方向上的伸縮變換.其基本步驟如下:【變式訓(xùn)練】【2018湖南省長郡中學(xué)模擬】為了得到函數(shù)的圖象，只需把函數(shù)的圖象（ ）A. 向左平移個單位長度B. 向右平移個單位長度C. 向左平移個單位長度D. 向右平移個單位長度模板六解三角形例6【2018年理數(shù)全國卷II】在中，則A. B. C. D. 【答案】A模板構(gòu)建利用正弦定理、余弦定理都可以進行三角形的邊、角之間的互化,當(dāng)已知三角形的兩邊及一邊的對角,或已知兩角及一角的對邊時,可以利用正弦定理求解三角形中的有關(guān)量;如果已知三邊或兩邊及其夾角,則可利用余弦定理進行求解.其基本思路如下:【變式訓(xùn)練】【2018河南省南陽市第一中學(xué)模擬】在中，內(nèi)角所對的邊分別為.（1）求；（2）若的面積為，求的周長.模板七利用函數(shù)性質(zhì)解不等式例7已知定義在上的偶函數(shù)在上遞減且，則不等式的解集為_【答案】模板構(gòu)建函數(shù)性質(zhì)法主要適用于解決抽象函數(shù)對應(yīng)的不等式問題.其解題要點如下:【變式訓(xùn)練】【2018屆廣東省模擬（二）】已知函數(shù)，當(dāng)時，關(guān)于的不等式的解集為_模板八利用基本不等式求最值例8【2018廣西欽州質(zhì)量檢測】已知（，為正實數(shù)），則的最小值為_【答案】【解析】a，bR+，a+4b=1=，當(dāng)且僅當(dāng)，即a=2b時上述等號成立，故答案為：9模板構(gòu)建拼湊法就是將函數(shù)解析式進行適當(dāng)?shù)淖冃?通過添項、拆項等方法湊成和為定值或積為定值的形式,然后利用基本不等式求最值.應(yīng)用此法求最值的基本思路如下:【變式訓(xùn)練】已知,且滿足,那么的最小值為_.模板九不等式恒成立問題例9【2018年天津卷文】已知aR，函數(shù)若對任意x3，+），f(x)恒成立，則a的取值范圍是_【答案】，2【解析】模板構(gòu)建分離參數(shù)法是求解不等式恒成立問題的常用方法,其解題要點如下:【變式訓(xùn)練】【2018河南省中原名校聯(lián)考】已知函數(shù)，當(dāng)時， 恒成立，則實數(shù)的取值范圍為（ ）A. B. C. D. 模板十簡單的線性規(guī)劃問題例10【2018年理北京卷】若,y滿足，則2y的最小值是_.【答案】3【解析】不等式可轉(zhuǎn)化為，即， 滿足條件的在平面直角坐標(biāo)系中的可行域如下圖令，由圖象可知，當(dāng)過點時，取最小值，此時，的最小值為.模板構(gòu)建線性規(guī)劃問題是指在線性約束條件下求解線性目標(biāo)函數(shù)的最值問題,解決此類問題最基本的方法是數(shù)形結(jié)合法.其基本的解題步驟如下:【變式訓(xùn)練】【河南省2018年高考一?！吭O(shè)不等式組表示的平面區(qū)域為D，若圓C：不經(jīng)過區(qū)域D上的點，則r的取值范圍為A B C D 模板十一數(shù)列的通項與求和例11【2018年專家猜題卷】數(shù)列的前項和為，已知，.（）證明：數(shù)列是等比數(shù)列；（）求數(shù)列的前項和.【答案】(1)見解析;(2).【解析】（1）證明：，又，數(shù)列是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列.（2）由（1）知， ， . -得，.模板構(gòu)建數(shù)列的通項與求和問題的解題步驟如下:【變式訓(xùn)練】【2018年理數(shù)天津卷】設(shè)是等比數(shù)列，公比大于0，其前n項和為，是等差數(shù)列.已知，.（I）求和的通項公式；（II）設(shè)數(shù)列的前n項和為，（i）求；（ii）證明.模板十二空間中的平行與垂直例12【2018年江蘇卷】在平行六面體中，求證：（1）；（2）【答案】見解析【解析】證明：（1）在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，ABA1B1因為AB平面A1B1C，A1B1平面A1B1C，所以AB平面A1B1C模板構(gòu)建證明空間中的平行與垂直的步驟如下:【變式訓(xùn)練】【2018南京市、鹽城市一?！咳鐖D所示，在直三棱柱中， ，點分別是的中點.（1）求證： 平面；（2）若，求證： .模板十三求空間角例13【2018吉林省實驗中學(xué)模擬】如圖， 為圓的直徑，點， 在圓上， ，矩形和圓所在的平面互相垂直，已知， （）求證：平面平面； （）當(dāng)?shù)拈L為何值時，二面角的大小為（）設(shè)中點為，以為坐標(biāo)原點， 方向分別為軸、軸、軸方向建立空間直角坐標(biāo)系（如圖）設(shè)，則點的坐標(biāo)為，則，又，因此，當(dāng)?shù)拈L為時，平面與平面所成的銳二面角的大小為60.模板構(gòu)建空間角的求解可以用向量法.向量法是通過建立空間直角坐標(biāo)系把空間圖形的幾何特征代數(shù)化,避免尋找角和垂線段等諸多麻煩,使空間點、線、面的位置關(guān)系的判定和計算程序化、簡單化,具體步驟如下:【變式訓(xùn)練】在四棱柱中，底面是正方形，且， （1）求證： ；（2）若動點在棱上，試確定點的位置，使得直線與平面所成角的正弦值為模板十四直線與圓的位置關(guān)系例14【2018四川省綿陽市南山中學(xué)模擬】若圓上至少有三個不同的點到直線的距離為，則直線的斜率的取值范圍是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】圓可化為 則圓心為（-2，2），半徑為3，1+ 由直線l的斜率k=-則上式可化為k2+4k+10解得 故選B模板構(gòu)建幾何法是通過比較圓心到直線的距離與圓的半徑的大小來確定直線和圓的位置關(guān)系的方法,其基本步驟如下:【變式訓(xùn)練】【2018北京市豐臺區(qū)模擬】已知直線和圓交于兩點，則_模板十五圓錐曲線中的最值與范圍問題例15【2018遼寧省凌源模擬】知橢圓的離心率為，且過點.過橢圓右焦點且不與軸重合的直線與橢圓交于兩點，且. （1）求橢圓的方程；（2）若點與點關(guān)于軸對稱，且直線與軸交于點，求面積的最大值.【解析】（I )依題意， 解得，故橢圓的方程為；（2）依題意，橢圓右焦點坐標(biāo)為，設(shè)直線，直線與橢圓方程聯(lián)立 化簡并整理得，由題設(shè)知直線的方程為，令得 ，點(當(dāng)且僅當(dāng)即時等號成立)的面積存在最大值，最大值為1. 模板構(gòu)建與圓錐曲線有關(guān)的最值問題的變化因素多,解題時需要在變化的過程中掌握運動規(guī)律,抓住主變元,目標(biāo)函數(shù)法是避免此類問題出錯的法寶,應(yīng)注意目標(biāo)函數(shù)式中自變量的限制條件(如直線與橢圓相交,0等).解題步驟如下:【變式訓(xùn)練】【2018合肥市質(zhì)檢】已知點F為橢圓E： (ab0)的左焦點，且兩焦點與短軸的一個頂點構(gòu)成一個等邊三角形，直線與橢圓E有且僅有一個交點M.(1)求橢圓E的方程；(2)設(shè)直線與y軸交于P，過點P的直線l與橢圓E交于不同的兩點A，B，若|PM|2|PA|PB|，求實數(shù)的取值范圍模板十六圓錐曲線中的探索性問題例16【2018屆河南省師范大學(xué)附屬中學(xué)高三8月開學(xué)】已知橢圓的右焦點為，為橢圓的上頂點，為坐標(biāo)原點，且是等腰直角三角形.（1）求橢圓的方程；（2）是否存在直線交橢圓于兩點，且使為的垂心（垂心：三角形三條高的交點）？若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由.【答案】（1）（2）【解析】（1）由OMF是等腰直角三角形得b=1，a =故橢圓方程為（2）假設(shè)存在直線l交橢圓于P,Q兩點，且使F為PQM的垂心設(shè)P（,）,Q（,）因為M（0,1），F(xiàn)（1,0），故，故直線l的斜率于是設(shè)直線l的方程為由得由題意知0，即3，且由題意應(yīng)有，又故解得或經(jīng)檢驗，當(dāng)時，PQM不存在，故舍去；當(dāng)時，所求直線滿足題意綜上，存在直線l，且直線l的方程為模板構(gòu)建圓錐曲線中的探索性問題在高考中多以解答題的形式呈現(xiàn),常用假設(shè)存在法求解,其解題要點如下:【變式訓(xùn)練】【2018屆廣西柳州市高三上學(xué)期摸底】已知過拋物線的焦點，斜率為的直線交拋物線于兩點，且. （1）求該拋物線的方程；（2）已知拋物線上一點，過點作拋物線的兩條弦和，且，判斷直線是否過定點？并說明理由.模板十七離散型隨機變量例17【2018遼寧省凌源市模擬】共享單車因綠色、環(huán)保、健康的出行方式，在國內(nèi)得到迅速推廣.最近，某機構(gòu)在某地區(qū)隨機采訪了10名男士和10名女士，結(jié)果男士、女士中分別有7人、6人表示“經(jīng)常騎共享單車出行”，其他人表示“較少或不選擇騎共享單車出行”.（1）從這些男士和女士中各抽取一人，求至少有一人“經(jīng)常騎共享單車出行”的概率；（2）從這些男士中抽取一人，女士中抽取兩人，記這三人中“經(jīng)常騎共享單車出行”的人數(shù)為，求的分布列與數(shù)學(xué)期望.模板構(gòu)建公式法就是直接利用古典概型、互斥事件、對立事件、相互獨立事件以及獨立重復(fù)試驗、條件概率等的求解方法或計算公式求解離散型隨機變量的概率的方法.其基本步驟如下:【變式訓(xùn)練】某城市隨機抽取一年（365天）內(nèi)100天的空氣質(zhì)量指數(shù)（Air Pollution Index）的監(jiān)測數(shù)據(jù)，結(jié)果統(tǒng)計如下： 大于300空氣質(zhì)量優(yōu)良輕微污染輕度污染中度污染中度重污染重度污染天數(shù)101520307612（）若本次抽取的樣本數(shù)據(jù)有30天是在供暖季，其中有7天為重度污染，完成下面列聯(lián)表，并判斷能否有的把握認為該市本年空氣重度污染與供暖有關(guān)？非重度污染重度污染合計供暖季非供暖季合計1000.250.150.100.050.0250.0100.0050.0011.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828附： （）政府要治理污染，決定對某些企業(yè)生產(chǎn)進行管控，當(dāng)在區(qū)間時企業(yè)正常生產(chǎn)；當(dāng)在區(qū)間時對企業(yè)限產(chǎn)（即關(guān)閉的產(chǎn)能），當(dāng)在區(qū)間時對企業(yè)限產(chǎn)，當(dāng)在300以上時對企業(yè)限產(chǎn)，企業(yè)甲是被管控的企業(yè)之一，若企業(yè)甲正常生產(chǎn)一天可得利潤2萬元，若以頻率當(dāng)概率，不考慮其他因素：在這一年中隨意抽取5天，求5天中企業(yè)被限產(chǎn)達到或超過的恰為2天的概率；求企業(yè)甲這一年因限產(chǎn)減少的利潤的期望值模板十八線性回歸方程例18【2018年理數(shù)全國卷II】下圖是某地區(qū)2000年至2016年環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額（單位：億元）的折線圖 為了預(yù)測該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額，建立了與時間變量的兩個線性回歸模型根據(jù)2000年至2016年的數(shù)據(jù)（時間變量的值依次為）建立模型：；根據(jù)2010年至2016年的數(shù)據(jù)（時間變量的值依次為）建立模型： （1）分別利用這兩個模型，求該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測值； （2）你認為用哪個模型得到的預(yù)測值更可靠？并說明理由【答案】（1）利用模型預(yù)測值為226.1，利用模型預(yù)測值為256.5，（2）利用模型得到的預(yù)測值更可靠【解析】（1）利用模型，該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測值為 =30.4+13.519=226.1（億元）利用模型，該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測值為=99+17.59=256.5（億元）（2）利用模型得到的預(yù)測值更可靠理由如下：（i）從折線圖可以看出，2000年至2016年的數(shù)據(jù)對應(yīng)的點沒有隨機散布在直線y=30.4+13.5t上下，這說明利用2000年至2016年的數(shù)據(jù)建立的線性模型不能很好地描述環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的變化趨勢2010年相對2009年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額有明顯增加，2010年至2016年的數(shù)據(jù)對應(yīng)的點位于一條直線的附近，這說明從2010年開始環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的變化規(guī)律呈線性增長趨勢，利用2010年至2016年的數(shù)據(jù)建立的線性模型=99+17.5t可以較好地描述2010年以后的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的變化趨勢，因此利用模型得到的預(yù)測值更可靠（ii）從計算結(jié)果看，相對于2016年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額220億元，由模型得到的預(yù)測值226.1億元的增幅明顯偏低，而利用模型得到的預(yù)測值的增幅比較合理，說明利用模型得到的預(yù)測值更可靠以上給出了2種理由，考生答出其中任意一種或其他合理理由均可得分模板構(gòu)建線性回歸方程常用來預(yù)估某變量的值,因此選擇恰當(dāng)?shù)臄M合函數(shù)是解題的關(guān)鍵,一般解題要點如下:(1)作圖.依據(jù)樣本數(shù)據(jù)畫出散點圖,確定兩個變量具有線性相關(guān)關(guān)系.(2)計算.計算出,xiyi的值;計算回歸系數(shù),.(3)求方程.寫出線性回歸直線方程y=x+.【變式訓(xùn)練】【2018湖南省長沙市第一中學(xué)模擬】2017年4月1日，新華通訊社發(fā)布：國務(wù)院決定設(shè)立河北雄安新區(qū).消息一出，河北省雄縣、容城、安新3縣及周邊部分區(qū)域迅速成為海內(nèi)外高度關(guān)注的焦點.（1）為了響應(yīng)國家號召，北京市某高校立即在所屬的8個學(xué)院的教職員工中作了“是否愿意將學(xué)校整體搬遷至雄安新區(qū)”的問卷調(diào)查，8個學(xué)院的調(diào)查人數(shù)及統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下：調(diào)查人數(shù)()1020304050607080愿意整體搬遷人數(shù)()817253139475566請根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出變量關(guān)于變量的線性回歸方程（保留小數(shù)點后兩位有效數(shù)字）；若該校共有教職員工2500人，請預(yù)測該校愿意將學(xué)校整體搬遷至雄安新區(qū)的人數(shù)；（2）若該校的8位院長中有5位院長愿意將學(xué)校整體搬遷至雄安新區(qū)，現(xiàn)該校擬在這8位院長中隨機選取4位院長組成考察團赴雄安新區(qū)進行實地考察，記為考察團中愿意將學(xué)校整體搬遷至雄安新區(qū)的院長人數(shù)，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.參考公式及數(shù)據(jù)： .答案部分模板一求函數(shù)值【變式訓(xùn)練】【答案】【解析】分析：先根據(jù)函數(shù)周期將自變量轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間，代入對應(yīng)函數(shù)解析式求值，再代入對應(yīng)函數(shù)解析式求結(jié)果.詳解：由得函數(shù)的周期為4，所以因此模板二函數(shù)的圖象【變式訓(xùn)練】【答案】D【解析】當(dāng)時，排除A,B.,當(dāng)時，,排除C故正確答案選D.模板三函數(shù)的零點問題【變式訓(xùn)練】【答案】3【解析】分析：先結(jié)合三次函數(shù)圖象確定在上有且僅有一個零點的條件，求出參數(shù)a,再根據(jù)單調(diào)性確定函數(shù)最值，即得結(jié)果.詳解：由得，因為函數(shù)在上有且僅有一個零點且，所以，因此從而函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以 ， 模板四三角函數(shù)的性質(zhì)【變式訓(xùn)練】【答案】模板五三角函數(shù)的圖象變換【變式訓(xùn)練】【答案】C【解析】故選C模板六解三角形【變式訓(xùn)練】【解析】（1）由題意及正弦定理得，又，的周長為. 模板七利用函數(shù)性質(zhì)解不等式【變式訓(xùn)練】【答案】【解析】當(dāng)時，是上的增函數(shù)，且，所以可以轉(zhuǎn)化為，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，可以將不等式轉(zhuǎn)化為，解得，從而得答案為.模板八利用基本不等式求最值【變式訓(xùn)練】【答案】【解析】由，得 =當(dāng)且僅當(dāng)且時等號成立的最小值為模板九不等式恒成立問題【變式訓(xùn)練】【答案】C【解析】記函數(shù)在上的最小值為: 的定義域為.令，得或.時，對任意的,， 在上單調(diào)遞增， 的最小值為當(dāng)時，的最小值為;故實數(shù)的取值范圍為.故選C.模板十簡單的線性規(guī)劃問題【變式訓(xùn)練】【答案】A【解析】作出不等式組表示的平面區(qū)域，得到如圖的及其內(nèi)部，其中，圓：表示以為圓心，半徑為的圓，由圖可得，當(dāng)半徑滿足或時，圓不經(jīng)過區(qū)域上的點，當(dāng)或時，圓不經(jīng)過區(qū)域上的點，故選模板十一數(shù)列的通項與求和【變式訓(xùn)練】【答案】()，；()（i）.（ii）證明見解析.【解析】（I）設(shè)等比數(shù)列的公比為q.由可得.因為，可得，故.設(shè)等差數(shù)列的公差為d，由，可得由，可得 從而 故 所以數(shù)列的通項公式為，數(shù)列的通項公式為（II）（i）由（I），有，故.（ii）因為，所以.模板十二空間中的平行與垂直【變式訓(xùn)練】【答案】見解析【解析】證明：（1）因為是直三棱柱，所以，且，又點分別是的中點，所以，且則由側(cè)面底面，側(cè)面底面，且底面，得側(cè)面 又側(cè)面，所以 又， 平面，且，所以平面 又平面，所以模板