高一數(shù)學(xué)簡單幾何體、直觀圖與三視圖北師大知識(shí)精講

高一數(shù)學(xué)簡單幾何體、直觀圖與三視圖北師大版【本講教育信息】一. 教學(xué)內(nèi)容：簡單幾何體、直觀圖與三視圖1、簡單旋轉(zhuǎn)體與簡單多面體；2、直觀圖；3、簡單組合體的三視圖；4、由三視圖還原成實(shí)物圖二. 學(xué)習(xí)目標(biāo)1、了解簡單旋轉(zhuǎn)體和簡單多面體的有關(guān)概念；2、了解空間圖形的不同表現(xiàn)形式，直觀地了解空間圖形在平面上的表示方法；3、會(huì)用斜二測畫法畫水平放置的平面圖形的直觀圖和長方體、正方體的直觀圖；4、會(huì)畫正棱錐、正棱柱和圓柱的直觀圖；5、進(jìn)一步掌握在平面上表示空間圖形的方法和技能；6、能畫出簡單空間圖形（長方體、球、圓柱、圓錐、棱柱等的簡易組合）的三視圖，能識(shí)別三視圖所表示的立體模型，會(huì)使用材料（如紙板）制作模型。三. 知識(shí)要點(diǎn)（一）簡單旋轉(zhuǎn)體1、旋轉(zhuǎn)面：一條平面曲線繞著它所在平面內(nèi)的一條定直線旋轉(zhuǎn)所形成的曲面叫作旋轉(zhuǎn)面。2、旋轉(zhuǎn)體：封閉的旋轉(zhuǎn)面圍成的幾何體叫作旋轉(zhuǎn)體。3、球：以半圓的直徑所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，將半圓旋轉(zhuǎn)所形成的曲面叫作球面。球面所圍成的幾何體叫球體，簡稱球。半圓的圓心叫球心，連接球心和球面上任一點(diǎn)的線段叫作球的半徑。連接球面上兩點(diǎn)且過球心的線段叫作直徑。過球心的截面與球面的交線稱為大圓，其它的截面與球面的交線稱為小圓。大圓夾在球面上兩點(diǎn)之間的劣弧的長稱為兩點(diǎn)的球面距離，兩點(diǎn)的球面距離是球面上經(jīng)過這兩點(diǎn)的距離的最小值。4、圓柱、圓錐、圓臺(tái)：分別以矩形的一邊、直角三角形的一條直角邊、直角梯形垂直于底邊的腰所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余各邊旋轉(zhuǎn)而形成的曲面所圍成的幾何體分別叫作圓柱、圓錐、圓臺(tái)。在旋轉(zhuǎn)軸上這條邊的長度叫作它們的高，垂直于旋轉(zhuǎn)軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的圓面叫作它們的底面，簡稱底，不垂直于旋轉(zhuǎn)軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面叫作它們的側(cè)面，無論轉(zhuǎn)到什么位置，這條邊都叫作側(cè)面的母線。圓臺(tái)也可以看作是用平行于圓錐底面的平面截這個(gè)圓錐而得到。5、圓柱、圓錐、圓臺(tái)都是旋轉(zhuǎn)體。（二）簡單多面體我們把若干個(gè)平面多邊形所圍成的幾何體叫作多面體。其中棱柱、棱錐、棱臺(tái)是簡單多面體。1、棱柱：兩個(gè)面互相平行，其余各個(gè)面都是四邊形，并且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行，這些面圍成的幾何體叫作棱柱。這里的兩個(gè)互相平行的面叫作棱柱的底面，其余的各面叫作棱柱的側(cè)面，棱柱的側(cè)面是平行四邊形。兩個(gè)面的公共邊叫作棱柱的棱，其中兩個(gè)側(cè)面的公共邊叫作棱柱的側(cè)棱，底面多邊形與側(cè)面的公共頂點(diǎn)叫作棱柱的頂點(diǎn)，與兩個(gè)底面都垂直的直線夾在兩底面間的線段長叫作棱柱的高。側(cè)棱不垂直于底面的棱柱叫作斜棱柱，側(cè)棱垂直于底的棱柱叫作直棱柱，底面是正多邊形的直棱柱叫作正棱柱。棱柱的底面可以是三角形、四邊形、五邊形我們把這樣的棱柱分別叫作三棱柱、四棱柱、五棱柱2、棱錐：有一個(gè)面是多邊形，其余各面是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形，這些面所圍成的幾何體叫作棱錐。這個(gè)多邊形叫作棱錐的底面，其余各面叫作棱錐的側(cè)面。相鄰兩個(gè)側(cè)面的公共邊叫作棱錐的側(cè)棱，各側(cè)面的公共點(diǎn)叫作棱錐的頂點(diǎn)，過頂點(diǎn)作底面的垂線，頂點(diǎn)與垂足間的線段長叫作棱錐的高。如果棱錐的底面是正多邊形，且各側(cè)面全等，就稱作正棱錐。正棱錐的側(cè)面是全等的等腰三角形，它底邊上的高叫作正棱錐的斜高（如上圖A中的SH）。3、棱臺(tái)：用一個(gè)平行于棱錐底面的平面去截棱錐，底面與截面之間的部分叫作棱臺(tái)。原棱錐的底面與截面叫作棱臺(tái)的下底面和上底面，其它各面叫作棱臺(tái)的側(cè)面，相鄰側(cè)面的公共邊叫作棱臺(tái)的側(cè)棱，與兩個(gè)底面都垂直的直線夾在兩底面間的線段長叫作棱臺(tái)的高。用正棱錐截得的棱臺(tái)叫作正棱臺(tái)。正棱臺(tái)的側(cè)面是全等的等腰梯形，它的高叫作正棱臺(tái)的斜高。類似于棱柱，棱錐和棱臺(tái)也有三棱錐、四棱錐和三棱臺(tái)、四棱臺(tái)等。三棱錐也叫作四面體。（三）水平放置的平面圖形的直觀圖的畫法斜二測畫法畫法規(guī)則：1、在已知圖形中建立直角坐標(biāo)系xOy，畫直觀圖時(shí)，它們分別對(duì)應(yīng)x，y軸，兩軸交于點(diǎn)O，使xOy45，它們確定的平面表示水平面；2、已知圖形中平行于x軸或y軸的線段，在直觀圖中分別畫成平行于x軸或y軸的線段；3、已知圖形中平行于x軸的線段在直觀圖中保持原長度不變；平行于y軸的線段，在直觀圖中長度為原來的一半。（四）三視圖1、三視圖欣賞2、幾何組合體的組合形式：（1）將基本幾何體拼接成組合體疊加（2）從基本幾何體中切掉或挖掉部分構(gòu)成挖切一般地，組合體是由上述兩種方式綜合構(gòu)成的。3、三視圖的特點(diǎn)：長對(duì)正主、俯視圖反映了物體的長；高平齊主、左視圖反映了物體的高；寬相等俯、左視圖都反映了物體的寬，而且前后對(duì)應(yīng)。4、三視圖的畫法步驟：（1）先確定主視圖的位置，分析幾何體的構(gòu)造，畫主視圖；（2）按“長對(duì)正”原則畫俯視圖；一般地，俯視圖畫在主視圖的正下方；（3）按“高平齊”原則畫左視圖；并注意左視圖與俯視圖“寬相等”；一般地，左視圖畫在主視圖的正右方。注意：若相鄰兩物體的表面相交，表面的交線是它們的分界線，在三視圖中，分界線和可見輪廓線都用實(shí)線畫出；不可見輪廓線用虛線畫出5、由三視圖還原成實(shí)物圖：主要研究一些簡單的組合幾何體的三視圖還原，一般先從俯視圖入手，再考慮主視圖，最后考慮左視圖。四. 考點(diǎn)解析與典型例題考點(diǎn)一 對(duì)幾何體結(jié)構(gòu)特征的認(rèn)識(shí)例1. 斜四棱柱的各個(gè)面中可能有矩形嗎？如果有，最多可能有幾個(gè)？解：有可能；最多可能有四個(gè)。如圖：例2. 下述幾何體是指定的幾何體嗎？為什么？（1）四棱臺(tái)： （2）圓錐：（3）圓臺(tái)： （4）棱柱：解：都不是。均不符合相應(yīng)幾何體的定義。考點(diǎn)二 用斜二測畫法畫水平放置的平面圖形的直觀圖。例3. 畫出水平放置的正五邊形ABCDE（如圖）的直觀圖。畫法步驟：（1）在已知圖形所在平面上建立平面直角坐標(biāo)系xOy，另選一平面畫直觀圖，先畫x軸和y軸，使xOy45或135（如圖）。（2）將已知圖形中平行于x軸或y軸的線段在直觀圖中分別畫成平行于x軸和y軸的線段，且已知圖形中平行于x軸的線段在直觀圖中保持原長度不變；平行于y軸的線段，在直觀圖中長度為原來的一半；（3）連線成圖（擦去輔助線）。說明：畫直觀圖的技巧主要是在xOy中確定直觀圖的頂點(diǎn)的位置，所以要尋找或構(gòu)造過定點(diǎn)且與x軸、y軸平行的線段。例4. 已知一四邊形ABCD水平放置的直觀圖是一個(gè)邊長為2的正方形，請畫出這個(gè)圖形的真實(shí)圖形。分析：關(guān)鍵是確定原圖形的各個(gè)頂點(diǎn)。要充分利用斜二測畫法規(guī)則中對(duì)平行性與長度變化的規(guī)定。解：由斜二測畫法規(guī)則可知，作圖前后，ABAB，CDCD，AC2AC，因此在原圖形中，ABCD2，AC。考點(diǎn)三 畫一些簡單的立體圖形的直觀圖例5. 畫底面水平放置的正六棱柱的直觀圖。解：畫法步驟：（1）畫底面（根據(jù)平面圖形的直觀圖畫法）（2）畫z軸（z軸與x軸的交角為直角），并畫高線（與原長相等），連線成圖。（3）擦去輔助線，被遮線畫成虛線。考點(diǎn)四 空間幾何體的三視圖例6. 畫出如圖所示幾何體的三視圖。 解：畫法步驟（1）確定主視圖位置，畫出主視圖；（2）畫出俯視圖（與主視圖長對(duì)正）；（3）畫左視圖（與主視圖高平齊，與俯視圖寬相等）例7. 已知一個(gè)幾何體的三視圖如圖，試將其還原。解：五. 本講涉及的主要數(shù)學(xué)思想方法1、直觀感知與抽象概括的能力和方法：我們生活在空間與圖形的世界里，直觀圖形、幾何模型以及幾何圖形的性質(zhì)，是準(zhǔn)確描述現(xiàn)實(shí)世界空間與圖形關(guān)系，解決學(xué)習(xí)、生活與工作中各種問題的工具，隨著計(jì)算機(jī)制圖和成像技術(shù)的發(fā)展，處理空間與圖形問題的幾何方法被廣泛運(yùn)用到人類生活和社會(huì)發(fā)展的各個(gè)方面，因此，掌握空間與圖形的能力是學(xué)生應(yīng)具備的基本數(shù)學(xué)素養(yǎng)，對(duì)于我們更好地認(rèn)識(shí)、理解生活的空間，更好地生存與發(fā)展具有重要意義。本講涉及的簡單幾何體、直觀圖及三視圖的有關(guān)知識(shí)就是我們進(jìn)一步研究幾何的基礎(chǔ)，在培養(yǎng)直觀感知和抽象概括能力方面具有基礎(chǔ)性的意義。2、直覺能力和空間想象能力：幾何體作為一種直觀、形象的數(shù)學(xué)模型，在發(fā)展學(xué)生的直覺能力，培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力和創(chuàng)新精神方面具有獨(dú)特的價(jià)值，本講對(duì)教學(xué)難點(diǎn)“通過三視圖還原幾何體”的突破，能有效地訓(xùn)練數(shù)學(xué)直覺能力和空間想象能力?！灸M試題】（答題時(shí)間：30分鐘）一、選擇題1、下列命題正確的是（ ）A. 直角三角形繞一邊旋轉(zhuǎn)得到的旋轉(zhuǎn)體是圓錐；B. 夾在圓柱的兩個(gè)平行截面間的幾何體還是一個(gè)旋轉(zhuǎn)體；C. 圓錐截去一個(gè)小圓錐后剩余部分是圓臺(tái)；D. 通過圓臺(tái)側(cè)面上一點(diǎn)，有無數(shù)條母線。2、已知集合A棱柱，B正棱柱，C斜棱柱，D直棱柱，則（ ）A. ACB B. ADB C. ACD D. ADC*3、給出下列四個(gè)命題：各側(cè)面都是正方形的棱柱一定是正棱柱；對(duì)角面是全等矩形的平行六面體一定是長方體；有兩個(gè)側(cè)面垂直于底面的棱柱一定是直棱柱；長方體一定是正四棱柱。其中正確命題的個(gè)數(shù)是（ ）A. 0 B. 1 C. 2 D. 3*4、利用斜二測畫法得到：三角形的直觀圖是三角形；平行四邊形的直觀圖是平行四邊形；正方形的直觀圖是正方形；菱形的直觀圖是菱形。以上結(jié)論正確的是（ ）A. B. C. D. 5、（2008廣東卷）將正三棱柱截去三個(gè)角（如圖1所示分別是三邊的中點(diǎn)）得到幾何體如圖2，則該幾何體按圖2所示方向的側(cè)視圖（或稱左視圖）為（ ）6、如圖3示，SABC為正三棱錐，M、N為所在棱的中點(diǎn)，SP：PC1：2，現(xiàn)由截面MNP將該三棱錐的頂部S-PMN截去，依圖4方向畫出它的左視圖（側(cè)視圖），則正確的畫法是（ ）7、（2008上海）如圖所示的立方體，如果把它展開，可以是下列圖形中的（ ）二、填空題8、下面給出了三個(gè)命題，用一個(gè)平面去截棱錐，棱錐底面和截面之間的部分是棱臺(tái)；兩個(gè)底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面體是棱臺(tái)；有兩個(gè)面互相平行，其余四個(gè)面都是等腰梯形的六面體是棱臺(tái)。其中正確命題的個(gè)數(shù)是 9、（2008山東卷6改）下圖是一個(gè)幾何體的三視圖，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，可得該幾何體的表面積是 。三、解答題10、已知按照斜二測畫法，水平放置的、邊長為2cm的正三角形ABC的平面直觀圖是三角形ABC，求三角形A