江蘇省南京市六校聯(lián)合體學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期中聯(lián)考試題

南京市六校聯(lián)合體2018級高一第二學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本大題共12小題，每題5分，共60分請把答案填寫在答題卡相應(yīng)位置上1.若角，（，），則角與的終邊的位置關(guān)系是（ ）A. 重合B. 關(guān)于原點(diǎn)對稱C. 關(guān)于軸對稱D. 關(guān)于軸對稱【答案】D【解析】【分析】根據(jù)終邊相同的角的特點(diǎn)，判斷出終邊位置，從而得到對稱關(guān)系.【詳解】 與終邊相同 與終邊相同又，即終邊關(guān)于軸對稱與終邊關(guān)于軸對稱本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查角的終邊的位置關(guān)系，根據(jù)終邊相同的角的特點(diǎn)得到結(jié)果，屬于基礎(chǔ)題.2.已知角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，則的正切值為（ ）.A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)定義即可得到結(jié)果.【詳解】由正切定義可知：本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查任意角三角函數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題.3.化簡得（ ）.A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根據(jù)兩角和差公式將原式整理為，再利用誘導(dǎo)公式求值即可.【詳解】本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查利用兩角和差正弦公式求值問題，屬于基礎(chǔ)題.4.在中，已知，則角的度數(shù)為（ ）.A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根據(jù)正弦定理求得，根據(jù)三角形中大邊對大角的關(guān)系確定的度數(shù).【詳解】由正弦定理得： 本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理解三角形問題，易錯(cuò)點(diǎn)是忽略三角形大邊對大角的特點(diǎn)，造成求解錯(cuò)誤.5.已知直線，和平面，下列命題中正確的是（ ）.A. 若，則B. 若，則C. 若，則D. 若，則【答案】B【解析】【分析】通過正方體可以找到選項(xiàng)的反例，從而得到正確.【詳解】在如下圖所示的正方體中：，面，此時(shí)面，可知錯(cuò)誤；面，此時(shí)面，可知錯(cuò)誤；，此時(shí)，可知錯(cuò)誤；根據(jù)一條直線垂直于兩條平行直線中的一條，必垂直于另一條，可知正確.本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查空間中直線與直線的位置關(guān)系、直線與平面的位置關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.6.已知扇形的半徑為，圓心角為，則該扇形的面積為（ ）.A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根據(jù)扇形面積公式代入求解即可.【詳解】根據(jù)扇形面積公式：本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查扇形面積公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.7.將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)的單位長度，再將所得到的函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋叮v坐標(biāo)不變），則所得到的圖象的函數(shù)解析式為（ ）.A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)相位平移和周期變換特點(diǎn)得到函數(shù)解析式.詳解】向右平移個(gè)單位長度得：所有點(diǎn)橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉肀兜茫罕绢}正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)圖象平移變換和伸縮變換，屬于基礎(chǔ)題.8.在中，已知，則此三角形的形狀為（ ）.A. 直角三角形B. 等腰三角形C. 等腰直角三角形D. 不能確定【答案】B【解析】【分析】根據(jù)余弦定理將代入等式，整理可得邊之間的關(guān)系，從而得到三角形形狀.【詳解】由余弦定理可得：整理可得：，即則為等腰三角形本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查利用余弦定理判斷三角形形狀的問題，關(guān)鍵是能夠通過余弦定理將邊角關(guān)系式變成邊長之間的關(guān)系.9.若，則的值為（ ）.A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根據(jù)二倍角公式可求得，利用誘導(dǎo)公式可知，從而得到結(jié)果.【詳解】 本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查二倍角公式、誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，關(guān)鍵在于能夠通過誘導(dǎo)公式將所求三角函數(shù)變?yōu)橐阎堑亩督堑男问?10.已知函數(shù)，給出下列四個(gè)結(jié)論：函數(shù)的最小正周期為；函數(shù)圖象關(guān)于直線對稱；函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)對稱；函數(shù)在上是單調(diào)增函數(shù)其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（ ）.A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根據(jù)的圖象與性質(zhì)，依次判斷各個(gè)選項(xiàng)，從而得到正確結(jié)果.【詳解】函數(shù)最小正周期為：，可知正確；當(dāng)時(shí)，；又不是對稱軸，可知錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，；又不是對稱中心，可知錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，為單調(diào)增函數(shù)，可知正確綜上所述，正確本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查的圖象與性質(zhì)，主要考查了最小正周期、對稱軸與對稱中心、單調(diào)區(qū)間的問題，解決問題的主要方法是整體對應(yīng)法.11.已知一個(gè)正三棱臺(tái)的兩個(gè)底面的邊長分別為和，側(cè)棱長為，則該棱臺(tái)的側(cè)面積為（ ）.A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根據(jù)長度關(guān)系求解出棱臺(tái)每個(gè)側(cè)面的面積，加和可得棱臺(tái)的側(cè)面積.【詳解】由題意可知，該棱臺(tái)的側(cè)面為上下底邊長為和，腰長為的等腰梯形等腰梯形的高為：等腰梯形的面積為：棱臺(tái)的側(cè)面積為：本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查空間幾何體側(cè)面積的求解問題，屬于基礎(chǔ)題.12.在三棱錐中， 是邊長為的等邊三角形，是以為斜邊的等腰直角三角形，則該三棱錐外接球的表面積為（ ）.A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根據(jù)面面垂直關(guān)系得到面，通過長度關(guān)系可求得外接圓圓心到四個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，可知即為外接球的球心，從而可得外接球半徑，進(jìn)而求得表面積.【詳解】由題意可得圖形如下圖所示：其中為中點(diǎn)，為外接圓圓心為邊長為的等邊三角形在上，且，又為以為斜邊的等腰直角三角形，所以面面，面面，面 面 即為三棱錐外接球的球心，且外接球半徑三棱錐外接球表面積本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查三棱錐外接球的表面積求解的問題，關(guān)鍵是能夠通過長度關(guān)系確定外接球球心的位置.二、填空題：本大題共4小題，每題5分，共20分請把答案填寫在答題卡相應(yīng)位置上13.如圖，在正方體中，分別是，的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的大小為_.【答案】【解析】【分析】根據(jù)三角形中位線將問題轉(zhuǎn)變?yōu)榍蠼馀c所成角，根據(jù)邊長關(guān)系可求得結(jié)果.【詳解】連接，為中點(diǎn) 則與所成角即為與所成角在中，可知為等邊三角形 本題正確結(jié)果：【點(diǎn)睛】本題考查立體幾何中異面直線所成角的求解，關(guān)鍵是通過平移找到所成角，并將所成角放入三角形中來求解，屬于基礎(chǔ)題.14.如圖，四棱錐中，底面是邊長為的正方形，是的中點(diǎn)，則三棱錐的體積為_.【答案】【解析】【分析】取中點(diǎn)，通過三角形中位線可判斷出面，從而將所求三棱錐體積利用切割的方式變?yōu)?，分別求解體積得到結(jié)果.【詳解】取中點(diǎn)，連接為中點(diǎn) 且又面 面本題正確結(jié)果：【點(diǎn)睛】本題考查三棱錐體積的求解問題，關(guān)鍵是通過切割的方式將所求體積變?yōu)楦咭子谇蠼獾淖刁w體積的求解問題.15.化簡得_.【答案】2【解析】【分析】將正切化弦，通分后利用輔助角、二倍角公式化簡整理可將原式變?yōu)?，根?jù)互余的角的特點(diǎn)，化簡得到結(jié)果.【詳解】本題正確結(jié)果：【點(diǎn)睛】本題考查利用三角恒等變換化簡求值的問題，涉及到切化弦和輔助角公式、二倍角公式的應(yīng)用.16.在中，已知，角的平分線交邊于點(diǎn)，的面積為，則的長為_.【答案】【解析】【分析】根據(jù)余弦定理和三角形面積公式可求得，利用構(gòu)造關(guān)于的方程，解方程求得結(jié)果.【詳解】由余弦定理可得： 則又 本題正確結(jié)果：【點(diǎn)睛】本題考查余弦定理、三角形面積公式的應(yīng)用，關(guān)鍵是能夠通過面積橋的方式構(gòu)造出關(guān)于的方程.三、解答題：本大題共6小題，共70分請?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟17.已知，.（1）求的值；（2）求的值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系和的范圍求得；（2）利用同角三角函數(shù)關(guān)系求得，再利用二倍角公式求得和，通過兩角和差余弦公式求得結(jié)果.【詳解】（1），又 （2）， ，【點(diǎn)睛】本題考查同角三角函數(shù)關(guān)系、二倍角公式和兩角和差公式的應(yīng)用，屬于常規(guī)題型.18.如圖，在正方體中，分別為，的中點(diǎn).（1）求證：；（2）求證：.【答案】（1）見解析；（2）見解析【解析】【分析】（1）通過三角形中位線證得，再根據(jù)線面平行的判定定理證得結(jié)論；（2）根據(jù)線面垂直的判定定理證得面，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)得到，再根據(jù)（1）中的證得結(jié)論.【詳解】（1）連結(jié)分別是的中點(diǎn) 又面，面 面（2）面，面 正方形 又，面，面面又面 由（1）知 【點(diǎn)睛】本題考查線面平行關(guān)系的證明、線線垂直關(guān)系的證明.在立體幾何證明問題時(shí)，若證明結(jié)論為線線垂直，則通常采用先證線面垂直，再利用線面垂直的性質(zhì)得到結(jié)論的方法.19.在中，內(nèi)角，所對的邊分別為，且.（1）求；（2）若，求.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)正弦定理化簡邊角關(guān)系式，得到，從而求得；（2）根據(jù)求得，根據(jù)正弦定理求得結(jié)果.【詳解】（1）由正弦定理可知： （2） 由正弦定理得：【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理解三角形的問題，其中涉及到同角三角函數(shù)的求解、三角形內(nèi)角和關(guān)系、兩角和差公式的應(yīng)用，屬于常規(guī)題型.20.如圖，在四棱錐中，.（1）求證：；（2）若為棱上一點(diǎn)，且，求的值.【答案】（1）見解析；（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)面面垂直性質(zhì)可得面，再利用線面垂直性質(zhì)得到；又，根據(jù)線面垂直的判定定理得到面，通過面面垂直判定定理得到結(jié)論；（2）根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理證得，從而將所求比例變?yōu)榍蠼?，再根?jù)平行關(guān)系可知，根據(jù)長度關(guān)系得到結(jié)果.【詳解】（1）面面，面面，面面，又面 又， 面面 面面（2）連結(jié)交于，連接面，面，面面 又 【點(diǎn)睛】本題考查面面垂直關(guān)系的證明、根據(jù)線面平行求解長度關(guān)系的問題，其中涉及到線面垂直的判定與性質(zhì)、面面垂直的性質(zhì)、線面平行的性質(zhì)的應(yīng)用.21.已知函數(shù)，. （1）求函數(shù)單調(diào)增區(qū)間；（2）若對任意的恒成立，求的取值范圍.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用二倍角公式和輔助角公式將整理為，將整體對應(yīng)的單調(diào)增區(qū)間，求出的范圍即可；（2）將問題轉(zhuǎn)化為，通過還原將問題轉(zhuǎn)化為，；根據(jù)單調(diào)性求得，從而得到結(jié)果.詳解】（1）由得：單調(diào)增區(qū)間為：（2）由得： 當(dāng)時(shí)，令，則，又在單調(diào)遞增 【點(diǎn)睛】本題考查的單調(diào)區(qū)間的求解、與三角函數(shù)有關(guān)的恒成立問題.解決恒成立問題的關(guān)鍵是通過分離變量的方式將問題轉(zhuǎn)化為變量與函數(shù)最值之間的關(guān)系，需要注意的是自變量的取值范圍.22.如圖，有一個(gè)三角形的停車場，其中，兩邊，足夠長，在上的處安裝一個(gè)可旋轉(zhuǎn)監(jiān)控探頭，米，探頭監(jiān)控視角始終為，（，都在上，且），設(shè).（1）若，求面積；（2）當(dāng)監(jiān)控探頭旋轉(zhuǎn)時(shí)，請用表示監(jiān)控區(qū)域的面積，并求當(dāng)為多大時(shí)，監(jiān)控區(qū)域的面積取最小值.【答案】（1）150；（2） ，面積最小【解析】【分析】（1）根據(jù)角度關(guān)系可知為等腰直角三角形，解出，從而求得