江西上饒中學(xué)高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期中奧賽

上饒中學(xué)2018-2019學(xué)年高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷（理零、奧賽班）考試時(shí)間：120分鐘 分值：150分一、單選題1設(shè)，若復(fù)數(shù)（是虛數(shù)單位）的實(shí)部為，則a的值為（ ）A B C1 D-12設(shè)向量，若，則角（ ）A B C D3“”是“直線(m+1)x+3my+2=0與直線(m-2)x+(m+1)y-1=0相互垂直”的（ ）A充分必要條件 B充分不必要條件C必要不充分條件 D既不充分也不必要條件4圓的圓心極坐標(biāo)是（ ）A B. C D5若，其中，則（ ）A B C D6命題“，使得”的否定是（ ）A B C D7焦點(diǎn)為（0,6），且與雙曲線有相同的漸近線的雙曲線方程是（ ）A B C D8在九章算術(shù)中，將四個(gè)面都為直角三角形的四面體稱之為鱉臑若一個(gè)鱉臑的主視圖、側(cè)視圖、俯視圖均為直角邊長為2的等腰直角三角形(如圖所示)，則該鱉臑的表面積為（ ）A8BCD4十9若曲線與曲線存在公切線，則的（ ）A最大值為 B最小值為 C最小值為 D最大值為10如圖正方體的棱長為1，線段上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)且，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（ ）A與所成角為 B三棱錐的體積為定值CD二面角是定值.11過拋物線的焦點(diǎn)作傾斜角為的直線，與拋物線及其準(zhǔn)線從上到下依次交于點(diǎn)，令，則當(dāng)時(shí)，的值為（ ）A4 B5 C6 D712已知函數(shù)（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）有兩個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）A B C D二、填空題13已知復(fù)數(shù)，其中為虛數(shù)單位，那么= 14已知命題：在平面直角坐標(biāo)系中，的頂點(diǎn)和，頂點(diǎn)B在橢圓上，橢圓的離心率是e，則，類比上述命題有：在平面直角坐標(biāo)系中，的頂點(diǎn)和，頂點(diǎn)B在雙曲線上，雙曲線的離心率是e，則 15已知四面體四個(gè)頂點(diǎn)都在球的球面上，若 ，且，則球的表面積為_16已知直線l：4x-3y+8=0，若p是拋物線y2=4x上的動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)p到直線l和它到y(tǒng)軸的距離之和的最小值為_三、解答題17（本題10分）已知直線在直角坐標(biāo)系中的參數(shù)方程為為參數(shù)， 為傾斜角)，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，以軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，在極坐標(biāo)系中，曲線的方程為.(1)寫出曲線的直角坐標(biāo)方程；(2)點(diǎn)，若直線與曲線交于兩點(diǎn)，求使為定值的值.18已知命題：方程表示橢圓，命. （1）若命題為真，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若為真，為真，求實(shí)數(shù)的取值范圍.19已知圓，直線， .（1）求證：對(duì)，直線與圓總有兩個(gè)不同的交點(diǎn)；（2）求弦的中點(diǎn)的軌跡方程，并說明其軌跡是什么曲線.20如圖，在平面四邊形中，等邊三角形，以為折痕將折起，使得 （1）設(shè)為的中點(diǎn)，求證：（2）若與平面所成角的正切值為，求二面角的余弦值21如圖，橢圓，點(diǎn)在短軸上，且.（1）求橢圓的方程及離心率；（2）設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)的動(dòng)直線與橢圓交于兩點(diǎn)，是否存在常數(shù)，使得為定值？若存在，求的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.22設(shè)函數(shù).若曲線在點(diǎn)處的切線方程為（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若關(guān)于的不等式在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.參考答案1C 2B 3B 4D 5B 6C 7B 8C 9D 10A 11B 12A131 14 15 16.17（1）cos24cos=0，22cos24cos=0，x2+y2x24x=0，即y2=4x 4分（2）把為（為參數(shù)，為傾斜角）代入y2=4x得：sin2t24cost4a=0， 6分 8分當(dāng)a=2時(shí)，為定值 10分18（1）命題為真，當(dāng)時(shí)，； 2分當(dāng)時(shí)，不等式恒成立.4分綜上知，.6分（2）若為真，則且 8分若為真，為真，為假，為真.10分.12分19證明：（1）圓的圓心為，半徑為，所以圓心到直線的距離.所以直線與圓相交，即直線與圓總有兩個(gè)不同的交點(diǎn)；5分（2）設(shè)中點(diǎn)為，因?yàn)橹本€恒過定點(diǎn)，6分當(dāng)直線的斜率存在時(shí)， ，又，化簡得.9分當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)， ，此時(shí)中點(diǎn)為，也滿足上述方程.10分所以的軌跡方程是，11分它是一個(gè)以為圓心，以為半徑的圓.12分20證明：（1）因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，所以平?分又平面，所以在等邊中，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以4分因?yàn)?，所以平?分（2）解：由（1）知平面，所以即為與平面所成角，于是在直角中，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，所在的方向作為軸、軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系設(shè)等邊的邊長為，則，.設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即，令，則，于是.7分設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即，解得，令，則，于是9分所以.11分由題意知二面角為銳角，所以二面角的余弦值為12分21（1）由已知可得，點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，又點(diǎn)的坐標(biāo)為，且，即，解得，所以橢圓的方程為.因?yàn)?，所以離心率.5分（2）當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，的坐標(biāo)分別為，聯(lián)立得，其判別式，所以，7分從而， 9分所以，當(dāng)時(shí)，即為定值，11分當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，直線即為直線，此時(shí)，故存在常數(shù)，使得為定值.12分22 （1）函數(shù)定義域?yàn)?得， ，即所以.所以， .函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是.5分（2）由題得函數(shù)對(duì)任意恒成立，即不等式對(duì)任意恒成立.又，當(dāng)即恒成立時(shí)，函數(shù)遞減，設(shè)，則，所以，即，符合題意；7分當(dāng)時(shí)，