2020屆天一大聯(lián)考皖豫聯(lián)盟高中畢業(yè)班第二次考試數(shù)學（理）試題（解析版）

2020屆天一大聯(lián)考皖豫聯(lián)盟高中畢業(yè)班第二次考試數(shù)學（理）試題一、單選題1已知集合，則（ ）ABCD【答案】B【解析】先求出集合，然后求出，再與集合取交集即可.【詳解】依題意，得，則，所以.故選：B.【點睛】本題考查集合的運算、不等式的解法考查運算求解能力以及化歸與轉化思想，屬于基礎題.2若復數(shù)為純虛數(shù)，則（ ）ABCD【答案】D【解析】結合復數(shù)的四則運算及純虛數(shù)的概念，可求出答案.【詳解】.復數(shù)為純虛數(shù),得解得.故選：D.【點睛】本題考查復數(shù)的運算、純虛數(shù)的概念，考查運算求解能力以及函數(shù)與方程思想，屬于基礎題.32019年10月1日，為了慶祝中華人民共和國成立周年，某校聚集名學生站成一個方陣.方陣中間部分學生身穿紅色衣服，組成“”的字樣，其余學生身穿白色衣服.若任選名學生，選到身穿紅色衣服的學生的概率為，則任選名學生，名學生身穿紅色衣服，另名學生身穿白色衣服的概率為（ ）ABCD【答案】C【解析】分別求出身穿紅色衣服和白色衣服的人數(shù)，然后求出選出名學生身穿紅色衣服，另名學生身穿白色衣服的選法，及名學生選出2名學生的選法，結合古典概形的概率公式可求出答案.【詳解】名學生中，身穿紅色衣服的有人，身穿白色衣服的有人，故任選名學生，名學生身穿紅色衣服，另名學生身穿白色衣服的概率.故選：C.【點睛】本題考查排列組合，考查古典概型的概率，考查推理能力，屬于基礎題.4記遞增等比數(shù)列的公比為，前項和為.若，則（ ）ABCD【答案】B【解析】結合，及，可求出公比，進而求出.【詳解】依題意，得，所以，解得或者.又因為數(shù)列是遞增數(shù)列，所以，所以.故選：B.【點睛】本題考查等比數(shù)列的通項公式、前項和公式，考查運算求解能力以及化歸與轉化思想，屬于基礎題.5運行如圖所示的程序框圖；若輸入的的值為，輸出的的值為，則判斷框中可以填（ ）ABCD【答案】C【解析】運行該程序，可知，不滿足判斷框，滿足判斷框，從而可選出答案.【詳解】由于輸入的的值為，輸出的的值為，可知：運行該程序，第一次，不滿足判斷框；第二次，不滿足判斷框；第三次，不滿足判斷框；第四次，滿足判斷框，輸出的值為，故判斷框可以填.故選：C.【點睛】本題考查算法與程序框圖，考查推理論證能力以及化歸與轉化思想，屬于基礎題.6地震震級是衡量地震本身大小的尺度，由地震所釋放出來的能量大小來決定，釋放出的能量愈大，則震級愈大.震級的大小可通過地震儀測出.中國使用的震級標準，是國際上通用的里氏分級表，地震釋放的能量與地震里氏震級之間的關系為.已知地區(qū)最近兩次地震的震級，的值分別為，釋放的能量分別為，.記，則（ ）ABCD【答案】B【解析】分別求出和，可得到，然后比較的大小關系即可選出答案.【詳解】依題意，故，要比較與的大小關系，可比較與的大小關系，易知，而，故.同理可得，所以.故選：B.【點睛】本題考查數(shù)學文化，考查指數(shù)的運算性質，考查運算能力、推理論證能力以及化歸與轉化思想，屬于基礎題.7已知三棱錐滿足，則三棱錐外接球的表面積為（ ）ABCD【答案】A【解析】可將三棱錐置于一個長、寬、高分別為，的長方體中，可得，從而可求出及外接球半徑，進而可求出該三棱錐外接球的表面積.【詳解】三棱錐的對棱相等，可將此三棱錐置于一個長、寬、高分別為，的長方體中，則，三式相加可得，設三棱錐外接球的半徑為,則，即.則所求外接球的表面積.故選：A.【點睛】本題考查三棱錐的外接球，考查球的表面積計算，考查空間想象能力，屬于中檔題.8將曲線繞原點順時針旋轉角后第一次與軸相切，則（ ）ABCD【答案】D【解析】易知直線是曲線過原點的切線，設切點坐標為，結合導數(shù)的幾何意義，可求出，從而可求出.【詳解】依題意，是曲線過原點的切線.設切點坐標為，而，所以.把切點坐標代入，得，解得，即.故選：D.【點睛】本題考查導數(shù)的運算、導數(shù)的幾何意義，考查運算求解能力以及化歸與轉化思想,屬于中檔題.9記雙曲線的左、右焦點分別為，點在雙曲線的漸近線上，且在第二象限，（為坐標原點），線段的中點滿足，則雙曲線的離心率為（ ）ABCD【答案】A【解析】先求出的坐標，進而可得到的坐標，由滿足，可知點在雙曲線的右支上，將坐標代入方程，計算可求得離心率.【詳解】雙曲線的漸近線為，設的坐標為，由，可得，即，則.，則點在雙曲線的右支上，所以，整理得，即，解得，因為，所以只有符合題意.故選：A.【點睛】本題考查雙曲線的離心率，考查雙曲線的方程與性質，考查學生的計算能力與推理論證能力，屬于中檔題.10已知在體積為的正方體中，分別是，的中點.若平面平面，則在正方形中的線段長度為（ ）ABCD【答案】D【解析】延長，交于點，連接，可知在正方形中的線段為線段，由和全等，及，可得，從而可求得進而可求得.【詳解】如圖，延長，交于點，連接，其中，則在正方形中的線段即為線段.依題意，得，則.又易知和全等，所以，又，則，.所以，.故選：D.【點睛】本題考查空間線面的位置關系，考查空間想象能力以及數(shù)形結合思想,屬于基礎題.11已知函數(shù)的圖象的一個最高點為，是與相鄰的兩個最低點，且，則函數(shù)的單調遞減區(qū)間為（ ）ABCD【答案】A【解析】由函數(shù)圖象的一個最高點為，可知，由，結合二倍角公式，可求得，進而由圖象可知，從而可求得，即可求得的表達式及單調遞減區(qū)間.【詳解】依題意，得，解得或，因為，所以只有符合題意，函數(shù)圖象的一個最高點為，得，則，又，得，解得.因為，所以，則.令，解得.故選：A.【點睛】本題考查三角函數(shù)的圖象與性質，考查正切的二倍角公式的應用，考查推理論證能力以及數(shù)形結合思想，屬于中檔題.12已知橢圓與軸交于，兩點，與軸交于，兩點，點在橢圓上，且四邊形的面積為，則橢圓的方程為（ ）ABCD【答案】A【解析】由角的關系可求得和的值，然后設，可得，聯(lián)立可求得的關系，將點的坐標代入橢圓方程，可求得的關系，結合四邊形的面積為，可得，進而可求得的值.【詳解】由，可得.又，所以.不妨設，則，即，即.則將代入橢圓方程可得，即.又四邊形的面積為，即，聯(lián)立，解得，.故橢圓的方程為.故選：A.【點睛】本題考查三角恒等變換、橢圓的方程和性質，考查運算求解能力以及化歸與轉化思想，屬于中檔題.二、填空題13對一批產(chǎn)品的內(nèi)徑進行測量，所得數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下圖所示，估計這批產(chǎn)品內(nèi)徑的中位數(shù)為_.【答案】【解析】由小矩形的面積之和等于1可求出的值，計算前個小矩形的面積可知中位數(shù)在第四組中，列式子計算即可.【詳解】由題意，得，解得.前個小矩形的面積，故所求中位數(shù)為.故答案為：26.【點睛】本題考查中位數(shù)的求法，考查頻率分布直方圖，考查運算求解能力，屬于基礎題.14已知中，是線段上靠近的三等分點，是線段的中點.若，則_.【答案】【解析】結合平面向量的線性運算，用表示，進而可求出的值，即可求出答案.【詳解】如圖，所以，所以.故答案為：.【點睛】本題考查平面向量的基本定理，考查平面向量的線性運算，考查推理論證能力，屬于基礎題.15記數(shù)列的前項和為，已知，.若，則的最大值為_.【答案】【解析】利用，將等式轉化為只含的關系式，進而可得到，即數(shù)列是等差數(shù)列，從而可求出的表達式，解不等式，可求出答案.【詳解】依題意，得，則，即，所以，則，即，所以.故數(shù)列是首項為，公差為的等差數(shù)列，則，所以.故可化為，解得，因為，所以的最大值為.故答案為：19.【點睛】與關系問題的求解思路：根據(jù)所求結果的不同要求，將問題向不同的兩個方向轉化.利用，轉化為只含的關系式，再求解；利用，轉化為只含的關系式，再求解.16已知函數(shù)，函數(shù)，若函數(shù)有個零點，則實數(shù)的取值范圍為_.【答案】【解析】作出函數(shù)的圖象，令，解得或，結合圖象易知有4個解，從而只需有三個解，結合圖象討論的取值范圍即可.【詳解】時，在上單調遞減，在上單調遞增，且，當時，圖象始終在的下方；當時，在上單調遞減，在上單調遞增，且.作出函數(shù)的圖象如下圖所示：令，解得或，而和的圖象有個交點，即有個實數(shù)根，所以只需有個實數(shù)根即可.觀察可知，當或時，符合題意，解得或.故答案為：.【點睛】本題考查函數(shù)的圖象性質，考查函數(shù)的零點，考查推理論證能力以及數(shù)形結合思想，屬于中檔題.三、解答題17如圖所示，在平面四邊形中，.（1）若，求的長；（2）若，求的面積.【答案】（1）（2）【解析】（1）由，可求出，結合，可求得，在中，由余弦定理可求出的長；（2）先求得，則，然后利用正弦定理，可求出，進而可求出的面積.【詳解】（1）,則是鈍角，可求得.因為，所以.因為，所以.在中，由余弦定理得，即.解得，或（舍去）.所以.（2）由（1）可知，.在中，因為，所以.由正弦定理得，所以.故的面積.【點睛】本題考查正弦定理、余弦定理、三角形的面積公式的應用，考查運算求解能力、推理論證能力，屬于基礎題.18如圖，三棱錐中，是等邊三角形，是線段的中點，是線段上靠近的四等分點，平面平面.（1）求證：；（2）若，求二面角的余弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）【解析】（1）取的中點為，連接，由是等邊三角形，可得，結合平面平面，易證平面，從而可證明結論；（2）連接，易知，兩兩垂直，以，所在直線為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標系，然后分別求出平面、的法向量，設二面角為，則，可求出答案.【詳解】（1）如圖，取的中點為，連接.因為是等邊三角形，所以.由題意知，從而.因為平面平面，平面平面，所以平面.又平面，所以.（2）如圖，連接.因為，所以.又平面平面，平面平面，所以平面.所以，兩兩垂直.分別以，所在直線為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標系.因為，為等邊三角形，所以，所以，從而，.設平面的法向量.由，得，即.可取.取平面的一個法向量.設二面角為，則.由題意可知二面角為銳角，故二面角的余弦值為.【點睛】本題考查空間線面的位置關系、向量法求二面角，考查空間想象能力、推理論證能力，屬于基礎題.19由于工作需要，某公司準備一次性購買兩臺具有智能打印、掃描、復印等多種功能的智能激光型打印機.針對購買后未來五年內(nèi)的售后，廠家提供如下兩種方案：方案一：一次性繳納元，在未來五年內(nèi)，可免費上門維修次，超過次后每次收取費用元；方案二：一次性繳納元，在未來五年內(nèi)，可免費上門維修次，超過次后每次收取費用元.該公司搜集并整理了臺這款打印機使用五年的維修次數(shù)，所得數(shù)據(jù)如下表所示：維修次數(shù)臺數(shù)以這臺打印機使用五年的維修次數(shù)的頻率代替臺打印機使用五年的維修次數(shù)的概率，記表示這兩臺智能打印機五年內(nèi)共需維修的次數(shù).（1）求的分布列及數(shù)學期望；（2）以兩種方案產(chǎn)生的維修費用的期望值為決策依據(jù)，寫出你的選擇，并說明理由.【答案】（1）詳見解析（2）應使用方案一,詳見解析【解析】（1）的所有可能取值為，分別求出對應概率，列出分布列并求出數(shù)學期望即可；（2）分別求出兩種方案產(chǎn)生的修理費用的分布列，進而可求出對應的期望值，比較二者大小可得出答案.【詳解】（1）依題意，臺打印機使用五年維修1次的概率為，維修2次的概率為，維修3次的概率為，維修4次的概率為.的所有可能取值為，.故的分布列為故.（2）設使用方案一，產(chǎn)生的費用為元，則的分布列為故.設使用方案二，產(chǎn)生的費用為元，則的分布列為故.故應使用方案一.【點睛】本題考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學期望在實際生活中的應用,考查學生的計算能力，屬于基礎題.20已知拋物線：，四點都在拋物線上.（1）若線段的斜率為，求線段中點的縱坐標；（2）記，若直線，均過定點，且，分別為，的中點，證明：，三點共線.【答案】（1）；（2）證明見解析【解析】（1）設，分別代入拋物線方程并作差，結合線段的斜率為，可求出的值；（2）設出直線，的方程，分別與拋物線方程聯(lián)立，結合韋達定理，可得到，坐標的表達式，進而求得直線方程的表達式，結合，證明在直線上即可.【詳解】（1）設，由，在拋物線上，得，兩式相減可得.由題意知，所以，則，則線段中點的縱坐標為.（2）因為，故直線，的斜率存在且不為零.設直線，直線.易知，.由，得，則.設.則，即.同理可得，.所以，則直線.因為，所以，即.所以直線，故直線過點，即，三點共線.【點睛】本題考查拋物線的方程、直線與拋物線的位置關系，考查運算求解能力、推理論證能力以及函數(shù)與方程思想，屬于中檔題.21已知函數(shù)，.（1）若，求證：當時，；（2）若函數(shù)在上單調遞減，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）證明見解析；（2）【解析】（1）時，求導并判斷函數(shù)的單調性，可得在上單調遞增，即當時，；（2）構造函數(shù)，求導并判斷單調性可得在上單調遞增，可求出與，然后分、和三種情況討論，使得在上單調遞減所滿足的條件，可求出實數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）依題意，定義域為，.令，則.所以當時，當時，.所以在上單調遞減，在上單調遞增.所以，即，所以函數(shù)在上單調遞增.所以當時，.（2）設，則.易知當時，即，故在上單調遞增.所以，.若，則在上，所以.所以.令.在上，要使單調遞減，則，從而.因為，所以在上單調遞減.所以，所以.若，即，則在上，所以，由可知.所以當時，從而，所以在上單調遞減.若，則存在，使得，從而.而，從而在區(qū)間上不單調遞減.綜上所述，實數(shù)的取值范圍為.【點睛】本題考查導數(shù)的計算，考查利用導數(shù)研究函數(shù)的性質，考查構造函數(shù)的數(shù)學思想，考查學生的推理論證能力，屬于難題.22在平面直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，直線的極坐標方程為，且與交于，兩點，已知點的極坐標為.（1）求曲線的普通方程和直線的直角坐標方程，并求的值；（2）若矩形內(nèi)接于曲線且四邊與坐標軸平行，求其周長的最