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常用均值不等式及證明證明概念：1、調(diào)和平均數(shù)調(diào)和平均數(shù)： 2、幾何平均數(shù)： 3、算術(shù)平均數(shù)： 4、平方平均數(shù)：這四種平均數(shù)滿足 ，當且僅當時取“=”號均值不等式的一般形式：設函數(shù)函數(shù)(當 時);(當時）（即則有：當r=-1、1、0、2注意到HnGnAnQn僅是上述不等式的特殊情形，即D(-1)D(0)D(1)D(2)由以上簡化，有一個簡單結(jié)論，中學常用 均值不等式的變形：(1) 對實數(shù)a,b，有 (當且僅當a=b時取“=”號)， (2)對非負實數(shù)a,b，有，即 (3)對負實數(shù)a,b，有 (4)對實數(shù)a,b，有 (5)對非負實數(shù)a,b，有 (6)對實數(shù)a,b，有 (7)對實數(shù)a,b,c，有 (8)對實數(shù)a,b,c，有 (9)對非負數(shù)a,b，有 (10)對實數(shù)a,b,c，有 均值不等式的證明：方法很多，數(shù)學歸納法數(shù)學歸納法（第一或反向歸納）、拉格朗日乘數(shù)、拉格朗日乘數(shù)法法、琴生不等式、琴生不等式法、排序不等式排序不等式法、柯西不等式柯西不等式法等等用數(shù)學歸納法證明，需要一個輔助結(jié)論。引理：設A0，B0，則注：引理的正確性較明顯，條件A0，B0可以弱化為A0，A+B0,有興趣的同學可以想想如何證明(用數(shù)學歸納法)。原題等價于：。 當n=2時易證；假設當n=k時命題成立，即 。那么當n=k+1時，不妨設是中最大者，則設 用引理。用歸納假設下面介紹個好理解的方法琴生不等式法琴生不等式：上凸函數(shù)是函數(shù)在區(qū)間(a,b)內(nèi)的任意n個點，則有

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