高中數學-平面向量專題

第一部分：平面向量的概念及線性運算一.基礎知識 自主學習1向量的有關概念名稱定義備注向量既有 又有 的量；向量的大小叫做向量的 (或稱 )平面向量是自由向量零向量長度為 的向量；其方向是任意的記作0單位向量長度等于 的向量非零向量a的單位向量為平行向量方向 或 的非零向量0與任一向量 或共線共線向量 的非零向量又叫做共線向量相等向量長度 且方向 的向量兩向量只有相等或不等，不能比較大小相反向量長度 且方向 的向量0的相反向量為02.向量的線性運算向量運算定義法則(或幾何意義)運算律加法求兩個向量和的運算(1)交換律：abba.(2)結合律：(ab)ca(bc)減法求a與b的相反向量b的和的運算叫做a與b的差 法則aba(b)數乘求實數與向量a的積的運算(1)|a|a|.(2)當0時，a的方向與a的方向 ；當b；(2)若|a|b|，則a與b的長度相等且方向相同或相反；(3)若|a|b|，且a與b方向相同，則ab；(4)由于零向量的方向不確定，故零向量不與任意向量平行；(5)若向量a與向量b平行，則向量a與b的方向相同或相反；(6)若向量與向量是共線向量，則A，B，C，D四點在一條直線上；(7)起點不同，但方向相同且模相等的幾個向量是相等向量；(8)任一向量與它的相反向量不相等題型二平面向量的線性運算例2如圖，以向量a，b為邊作OADB，用a、b表示、.變式訓練2 ABC中，DEBC交AC于E，BC邊上的中線AM交DE于N.設a，b，用a、b表示向量、.題型三平面向量的共線問題例3設e1，e2是兩個不共線向量，已知2e18e2，e13e2，2e1e2.(1)求證：A、B、D三點共線；(2)若3e1ke2，且B、D、F三點共線，求k的值變式訓練3 設兩個非零向量a與b不共線，(1)若ab，2a8b，3(ab)求證：A、B、D三點共線；(2)試確定實數k，使kab和akb共線五思想與方法5用方程思想解決平面向量的線性運算問題試題：如圖所示，在ABO中，AD與BC相交于點M，設a，b.試用a和b表示向量.六思想方法 感悟提高方法與技巧1將向量用其它向量(特別是基向量)線性表示，是十分重要的技能，也是向量坐標形式的基礎2可以運用向量共線證明線段平行或三點共線問題如且AB與CD不共線，則ABCD；若，則A、B、C三點共線失誤與防范1解決向量的概念問題要注意兩點：一是不僅要考慮向量的大小，更重要的是要考慮向量的方向；二是考慮零向量是否也滿足條件要特別注意零向量的特殊性2在利用向量減法時，易弄錯兩向量的順序，從而求得所求向量的相反向量，導致錯誤七課后練習1給出下列命題：兩個具有公共終點的向量，一定是共線向量；兩個向量不能比較大小，但它們的模能比較大小；a0 (為實數)，則必為零；，為實數，若ab，則a與b共線其中錯誤命題的個數為()A1B2 C3D42若A、B、C、D是平面內任意四點，給出下列式子：；=；+.其中正確的有()A0個 B1個C2個 D3個3. 已知O、A、B是平面上的三個點，直線AB上有一點C，滿足=0，則等于()A. B.2C. D.4.如圖所示，在ABC中，3，若a，b，則等于()A.ab BabC.ab Dab5. 在四邊形ABCD中，a2b,4ab，5a3b，則四邊形ABCD的形狀是()A矩形 B平行四邊形C梯形 D以上都不對6. 8，5，則的取值范圍是_7給出下列命題：向量的長度與向量的長度與向量的長度相等；向量a與b平行，則a與b的方向相同或相反；兩個有共同起點而且相等的向量，其終點必相同；兩個有公共終點的向量，一定是共線向量；向量與向量與向量是共線向量，則點A、B、C、D必在同一條直線上其中不正確的個數為_8.如圖，在ABC中，點O是BC的中點.過點O的直線分別交直線AB、AC于不同的兩點M、N.若m，n，則mn的值為_9設a與b是兩個不共線向量，且向量ab與(b2a)共線，則_.10.在正六邊形ABCDEF中，a，b，求，.11.如圖所示，ABC中，點M是BC的中點，點N在邊AC上，且AN2NC，AM與BN相交于點P，求APPM的值12.已知點G是ABO的重心，M是AB邊的中點.（1）求；(2)若PQ過ABO的重心G,且a, b，ma，nb，求證：3.第二部分：平面向量的基本定理及坐標表示一基礎知識 自主學習1兩個向量的夾角定義范圍已知兩個 向量a，b，作a，b，則AOB叫做向量a與b的夾角(如圖)向量夾角的范圍是 ,當 時,兩向量共線，當 時，兩向量垂直，記作ab.2.平面向量基本定理及坐標表示(1)平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面內的兩個 向量，那么對于這一平面內的任意向量a， 一對實數1，2，使a .其中，不共線的向量e1，e2叫做表示這一平面內所有向量的一組 (2)平面向量的正交分解及坐標表示把一個向量分解為兩個 的向量，叫做把向量正交分解(3)平面向量的坐標表示在平面直角坐標系中，分別取與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量i，j作為基底，對于平面內的一個向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一對實數x，y，使axiyj，這樣，平面內的任一向量a都可由x，y唯一確定，把有序數對 叫做向量a的坐標，記作a ，其中 叫做a在x軸上的坐標， 叫做a在y軸上的坐標設xiyj，則向量的坐標(x，y)就是 的坐標，即若(x，y)，則A點坐標為 ，反之亦成立(O是坐標原點)3平面向量坐標運算(1)向量加法、減法、數乘向量及向量的模設a(x1，y1)，b(x2，y2)，則ab ，ab ，a ，|a| .(2)向量坐標的求法若向量的起點是坐標原點，則終點坐標即為向量的坐標設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則 ，| .4平面向量共線的坐標表示：設a(x1，y1)，b(x2，y2)，其中b0.ab .二難點正本疑點清源1基底的不唯一性只要兩個向量不共線，就可以作為平面的一組基底，對基底的選取不唯一，平面內任意向量a都可被這個平面的一組基底e1，e2線性表示，且在基底確定后，這樣的表示是唯一的2向量坐標與點的坐標的區(qū)別在平面直角坐標系中，以原點為起點的向量a，點A的位置被向量a唯一確定，此時點A的坐標與a的坐標統一為(x，y)，但應注意其表示形式的區(qū)別，如點A(x，y)，向量a(x，y)當平面向量平行移動到時，向量不變即(x，y),但的起點O1和終點A1的坐標都發(fā)生了變化三基礎自測1已知向量a(2，1)，b(1，m)，c(1,2)，若(ab)c，則m_.2已知向量a(1,2)，b(3,2)，若kab與b平行，則k_.3設向量a(1，3)，b(2,4)，c(1，2)若表示向量4a、4b2c、2(ac)、d的有向線段首尾相接能構成四邊形，則向量d_.4已知四邊形ABCD的三個頂點A(0,2)，B(1，2)，C(3,1)，且2，則頂點D的坐標為 ( )A. B.C(3,2) D(1,3)5已知平面向量a(x,1)，b(x，x2)，則向量ab()A平行于y軸 B平行于第一、三象限的角平分線C平行于x軸 D平行于第二、四象限的角平分線四題型分類 深度剖析題型一平面向量基本定理的應用例1如圖，在平行四邊形ABCD中，M，N分別為DC，BC的中點，已知c，d，試用c，d表示，.變式訓練1 如圖，P是ABC內一點，且滿足條件230，設Q為CP的延長線與AB的交點，令p，試用p表示.題型二向量坐標的基本運算例2已知A(2,4)，B(3，1)，C(3，4)設a，b，c，且3c，2b，(1)求3ab3c；(2)求滿足ambnc的實數m，n；(3)求M、N的坐標及向量的坐標變式訓練2 (1)已知點A、B、C的坐標分別為A(2，4)、B(0，6)、C(8,10)，求向量2的坐標；(2)已知a(2,1)，b(3,4)，求：3a4b；a3b；ab.題型三平行向量的坐標運算例3平面內給定三個向量a(3,2)，b(1,2)，c(4,1)，請解答下列問題：(1)求滿足ambnc的實數m，n；(2)若(akc)(2ba)，求實數k；(3)若d滿足(dc)(ab)，且|dc|，求d.變式訓練3 已知a(1,0)，b(2,1)(1)求|a3b|；(2)當k為何實數時，kab與a3b平行，平行時它們是同向還是反向？五易錯警示8忽視平行四邊形的多樣性致誤試題：已知平行四邊形三個頂點的坐標分別為(1,0)，(3,0)，(1，5)，求第四個頂點的坐標六思想方法 感悟提高方法與技巧1平面向量基本定理的本質是運用向量加法的平行四邊形法則，將向量進行分解2向量的坐標表示的本質是向量的代數表示，其中坐標運算法則是運算的關鍵，通過坐標運算可將一些幾何問題轉化為代數問題處理，從而向量可以解決平面解析幾何中的許多相關問題3在向量的運算中要注意待定系數法、方程思想和數形結合思想的運用失誤與防范1要區(qū)分點的坐標與向量坐標的不同，盡管在形式上它們完全一樣，但意義完全不同，向量坐標中既有方向也有大小的信息2若a(x1，y1)，b(x2，y2)，則ab的充要條件不能表示成，因為x2，y2有可能等于0，所以應表示為x1y2x2y10.同時，ab的充要條件也不能錯記為x1x2y1y20，x1y1x2y20等七課后練習1已知向量a(1，2)，b(1m,1m)，若ab，則實數m的值為()A3 B3 C2 D22已知平面向量a(1,2)，b(2，m)，且ab，則2a3b等于()A(2，4) B(3，6)C(4，8) D(5，10)3.設向量a(3，)，b為單位向量，且ab，則b等于()A.或 B.C. D.或4.已知向量a(1，m)，b(m2，m)，則向量ab所在的直線可能為()Ax軸 B第一、三象限的角平分線Cy軸 D第二、四象限的角平分線5已知A(7,1)、B(1,4),直線與線段AB交于C,且2，則實數a等于()A2 B1 C. D.6若三點A(2,2)，B(a,0)，C(0，b) (ab0)共線，則的值等于_7已知向量a(1,2)，b(x,1)，ua2b，v2ab，且uv，則實數x的值為_8若向量a與相等，其中A(1,2)，B(3，2)，則x_.9若平面向量a，b滿足|ab|1，ab平行于y軸，a(2，1)，則b_.10 a(1,2)，b(3,2)，當k為何值時，kab與a3b平行？平行時它們是同向還是反向？11三角形的三內角A，B，C所對邊的長分別為a，b，c，設向量m(3cb，ab)，n(3a3b，c)，mn.(1)求cos A的值；(2)求sin(A30)的值12在ABC中，a、b、c分別是角A、B、C的對邊，已知向量m(a，b)，向量n (cos A，cos B)，向量p，若mn，p29，求證：ABC為等邊三角形第三部分：平面向量的數量積一基礎知識 自主學習1平面向量的數量積已知兩個非零向量a和b，它們的夾角為，則數量_叫做a和b的數量積(或內積)，記作_.規(guī)定：零向量與任一向量的數量積為_.兩個非零向量a與b垂直的充要條件是 ，兩個非零向量a與b平行的充要條件是 .2平面向量數量積的幾何意義數量積ab等于a的長度|a|與b在a的方向上的投影_的乘積3平面向量數量積的重要性質(1)eaae ；(2)非零向量a，b，ab ；(3)當a與b同向時，ab ；當a與b反向時，ab ，aaa2，|a|；(4)cos ；(5)|ab|_|a|b|.4平面向量數量積滿足的運算律(1)ab (交換律)；(2)(a)b (為實數)；(3)(ab)c .5平面向量數量積有關性質的坐標表示設向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，則ab ，由此得到(1)若a(x，y)，則|a|2 或|a| .(2)設A（x1,y1）,B(x2,y2),則A、B兩點間的距離|AB|= .(3)設兩個非零向量a，b，a(x1，y1)，b(x2，y2)，則ab .二難點正本疑點清源1向量的數量積是一個實數兩個向量的數量積是一個數量，這個數量的大小與兩個向量的長度及其夾角的余弦值有關，在運用向量的數量積解題時，一定要注意兩向量夾角的范圍2數量積的運算只適合交換律、加乘分配律及數乘結合律，但不滿足向量間的結合律，即(ab)c不一定等于a(bc)這是由于(ab)c表示一個與c共線的向量，而a(bc)表示一個與a共線的向量，而c與a不一定共線三基礎自測1已知向量a和向量b的夾角為30，|a|2，|b|，則向量a和向量b的數量積ab_.2.在ABC中，AB=3，AC=2，BC=,則_.3已知a(2,3)，b(4,7)，則a在b方向上的投影為_4已知|a|6，|b|3，ab12，則向量a在向量b方向上的投影是 ( )A4 B4 C2 D25已知向量a(1，1)，b(1,2)，向量c滿足(cb)a，(ca)b，則c等于( )A(2,1) B(1,0)C. D(0，1)四題型分類 深度剖析題型一求兩向量的數量積例1(1)在RtABC中，C90，AB5，AC4，求； (2)若a(3，4)，b(2,1)，試求(a2b)(2a3b)變式訓練1 (1)若向量a的方向是正南方向，向量b的方向是正東方向，且|a|b|1，則(3a)(ab)_.(2)如圖，在ABC中，ADAB， ，|1，則等于()A2 B. C. D. 題型二求向量的模例2已知向量a與b的夾角為120，且|a|4，|b|2，求：(1)|ab|；(2)|3a4b|；(3)(a2b)(ab)變式訓練2 設向量a，b滿足|ab|2，|a|2，且ab與a的夾角為，則|b|_.題型三利用向量的數量積解決夾角問題例3已知a與b是兩個非零向量，且|a|b|ab|，求a與ab的夾角變式訓練3 設n和m是兩個單位向量，其夾角是60，求向量a2mn與b2n3m的夾角題型四平面向量的垂直問題例4 已知a(cos ，sin )，b(cos ，sin )(0)(1)求證：ab與ab互相垂直；(2)若kab與akb的模相等，求.(其中k為非零實數)變式訓練4 已知平面內A、B、C三點在同一條直線上，(2，m)，(n,1)，(5，1)，且，求實數m，n的值五答題規(guī)范5思維要嚴謹，解答要規(guī)范試題：設兩向量e1、e2滿足|e1|2，|e2|1，e1、e2的夾角為60，若向量2te17e2與向量e1te2的夾角為鈍角，求實數t的取值范圍六思想方法 感悟提高方法與技巧1 向量的數量積的運算法則不具備結合律，但運算律和實數運算律類似如(ab)2a22abb2；(ab)(satb)sa2(ts)abtb2(，s，tR)2求向量模的常用方法：利用公式|a|2a2，將模的運算轉化為向量的數量積的運算3利用向量垂直或平行的條件構造方程或函數是求參數或最值問題常用的方法技巧失誤與防范1(1)0與實數0的區(qū)別：0a00，a(a)00，a000；(2)0的方向是任意的，并非沒有方向，0與任何向量平行，我們只定義了非零向量的垂直關系2ab0不能推出a0或b0，因為ab0時，有可能ab.3一般地，(ab)c(bc)a即乘法的結合律不成立因ab是一個數量，所以(ab)c表示一個與c共線的向量，同理右邊(bc)a表示一個與a共線的向量，而a與c不一定共線，故一般情況下(ab)c(bc)a.4abac(a0)不能推出bc.即消去律不成立5向量夾角的概念要領會，比如正三角形ABC中，應為120，而不是60.七課后練習1.設向量a(1,0)，b(，)，則下列結論中正確的是()A|a|b| BabCab Dab與b垂直2.若向量a(1,1)，b(2,5)，c(3，x)，滿足條件(8ab)c30，則x等于()A6 B5 C4 D33.已知向量a，b的夾角為60，且|a|2，|b|1，則向量a與a2b的夾角等于()A150 B90 C60 D304.平行四邊形ABCD中，AC為一條對角線，若(2,4)，(1,3)，則等于()A6 B8 C8 D65.若e1、e2是夾角為的單位向量，且向量a2e1e2，向量b3e12e2，則ab等于()A1 B4 C D.6若向量a，b滿足|a|1，|b|2且a與b的夾角為，則|ab|_.7已知向量a，b滿足|a|3，|b|2，a與b的夾角為60，則ab_，若(amb)a，則實數m_.8設a、b、c是單位向量，且abc，則ac的值為_9.（O是平面上一點，A、B、C是平面上不共線的三點.平面內的動點P滿足若時，的值為_10不共線向量a，b的夾角為小于120的角，且|a|1，|b|2，已知向量ca2b，求|c|的取值范圍11已知平面向量a(1，x)，b(2x3，x)，xR.(1)若ab，求x的值；(2)若ab，求|ab|.12向量a(cos 23，cos 67)，向量b(cos 68，cos 22)(1)求ab；(2)若向量b與向量m共線，uam，求u的模的最小值第四部分：平面向量應用舉例一基礎知識 自主學習1向量在平面幾何中的應用平面向量在平面幾何中的應用主要是用向量的線性運算及數量積解決平面幾何中的平行、垂直、平移、全等、相似、長度、夾角等問題(1)證明線段平行或點共線問題，包括相似問題，常用共線向量定理：ab .(2)證明垂直問題，常用數量積的運算性質ab .(3)求夾角問題，利用夾角公式cos (為a與b的夾角)2平面向量在物理中的應用(1)由于物理學中的力、速度、位移都是 ，它們的分解與合成與向量的 相似，可以用向量的知識來解決(2)物理學中的功是一個標量，這是力F與位移s的數量積即WFs|F|s|cos (為F與s的夾角)3平面向量與其他數學知識的交匯平面向量作為一種運算工具，經常與函數、不等式、三角函數、數列、解析幾何等知識結合，當平面向量給出的形式中含有未知數時，由向量平行或垂直的充要條件可以得到關于該未知數的關系式在此基礎上，可以求解有關函數、不等式、三角函數、數列的綜合問題此類問題的解題思路是轉化為代數運算，其轉化途徑主要有兩種：一是利用平面向量平行或垂直的充要條件；二是利用向量數量積的公式和性質二難點正本疑點清源1向量兼具代數的抽象與嚴謹和幾何的直觀，向量本身是一個數形結合的產物在利用向量解決問題時，要注意數與形的結合、代數與幾何的結合、形象思維與邏輯思維的結合2要注意變換思維方式，能從不同角度看問題，要善于應用向量的有關性質解題三基礎自測1在平面直角坐標系xOy中，四邊形ABCD的邊ABDC，ADBC.已知A(2,0)，B(6,8)，C(8,6)則D點的坐標為_2已知平面向量、，|1，|2，(2)，則|2|的值是_3平面上有三個點A(2，y)，B，C(x，y)，若，則動點C的軌跡方程為_4已知A、B是以C為圓心，半徑為的圓上兩點，且|，等于 ( )A B. C0 D.5某人先位移向量a：“向東走3 km”，接著再位移向量b：“向北走3 km”，則ab表示 ( )A向東南走3 km B向東北走3 kmC向東南走3 km D向東北走3 km四題型分類 深度剖析題型一向量在平面幾何中的應用例1 如圖，在等腰直角三角形ABC中，ACB90，CACB，D為BC的中點，E是AB上的一點，且AE2EB.求證：ADCE.變式訓練1 在平面直角坐標系xOy中，已知點A(1，2)，B(2,3)，C(2，1)(1)求以線段AB、AC為鄰邊的平行四邊形的兩條對角線的長；(2)設實數t滿足(t)0，求t的值題型二平面向量在解析幾何中的應用例2 已知點P（0，-3），點A在x軸上，點M滿足=0，當點A在x軸上移動時，求動點M的軌跡方程變式訓練2 已知圓C：(x-3)+(y-3)=4及點A（1,1），M是圓上的任意一點，點N在線段MA的延長線上，且2，求點N的軌跡方程題型三平面向量與三角函數例3已知向量a(sin x，cos x)，b(sin x，sin x)，c(1,0)(1)若x，求向量a與c的夾角；(2)若x，求函數f(x)ab的最值；(3)函數f(x)的圖象可以由函數ysin 2x (xR)的圖象經過怎樣的變換得到？變式訓練3 已知A(3,0)，B(0,3)，C(cos ，sin )(1)若1，求sin的值；(2) 若|+|，且(0，)，求與的夾角五易錯警示9忽視對直角位置的討論致誤試題：已知平面上三點A、B、C，向量(2k,3)，(2,4)(1) 若三點A、B、C不能構成三角形，求實數k應滿足的條件；(2)若ABC為直角三角形，求k的值六思想方法 感悟提高方法與技巧1 向量的坐標運算將向量與代數有機結合起來，這就為向量和函數的結合提供了前提，運用向量的有關知識可以解決某些函數問題2 以向量為載體，求相關變量的取值范圍，是向量與函數、不等式、三角函數等相結合的一類綜合問題通過向量的坐標運算，將問題轉化為解不等式或求函數值域，是解決這類問題的一般方法3 有關線段的長度或相