第三節(jié)二維隨機(jī)變量函數(shù)的分布

*第三節(jié) 二維隨機(jī)變量函數(shù)的分布在實際應(yīng)用中，有些隨機(jī)變量往往是兩個或兩個以上隨機(jī)變量的函數(shù). 例如，考慮全國年齡在40歲以上的人群，用和分別表示一個人的年齡和體重，表示這個人的血壓，并且已知與，的函數(shù)關(guān)系式 ,現(xiàn)希望通過的分布來確定的分布. 此類問題就是我們將要討論的兩個隨機(jī)向量函數(shù)的分布問題. 在本節(jié)中，我們重點討論兩種特殊的函數(shù)關(guān)系: (i) ; (ii) 和，其中與相互獨立. 注：應(yīng)指出的是，將兩個隨機(jī)變量函數(shù)的分布問題推廣到個隨機(jī)變量函數(shù)的分布問題只是表述和計算的繁雜程度的提高，并沒有本質(zhì)性的差異.內(nèi)容分布圖示 引言 離散型隨機(jī)向量的函數(shù)的分布 例1 例2 例3 連續(xù)型隨機(jī)向量的函數(shù)的分布 例4 連續(xù)型隨機(jī)向量函數(shù)的聯(lián)合概率密度 例5 和的分布 例6 例7 正態(tài)隨機(jī)變量的線性組合 例8 例9 例10 商的分布 例11 積的分布 例12 最大、最小分布 例13 例14 內(nèi)容小結(jié) 課堂練習(xí) 習(xí)題3-3 內(nèi)容要點： 一、 離散型隨機(jī)變量的函數(shù)的分布設(shè)是二維離散型隨機(jī)變量, 是一個二元函數(shù), 則作為的函數(shù)是一個隨機(jī)變量, 如果的概率分布為設(shè)的所有可能取值為, 則的概率分布為 二、 連續(xù)型隨機(jī)變量的函數(shù)的分布設(shè)是二維連續(xù)型隨機(jī)向量, 其概率密度函數(shù)為, 令為一個二元函數(shù), 則是的函數(shù). 可用類似于求一元隨機(jī)變量函數(shù)分布的方法來求的分布.a) 求分布函數(shù)其中, b) 求其概率密度函數(shù), 對幾乎所有的z, 有定理1 設(shè)是具有密度函數(shù)的連續(xù)型隨機(jī)向量.(1) 設(shè)是到自身的一一映射, 即存在定義在該變換的值域上的逆變換:(2) 假設(shè)變換和它的逆都是連續(xù)的;(3) 假設(shè)偏導(dǎo)數(shù)存在且連續(xù);(4) 假設(shè)逆變換的雅可比行列式,即對于在變換的值域中的是不為0的. 則具有聯(lián)合密度定理2 設(shè)相互獨立，且 則仍然服從正態(tài)分布，且更一般地，可以證明：有限個相互獨立的正態(tài)隨機(jī)變量的線性組合仍然服從正態(tài)分布, 即有 定理3 若且它們相互獨立，則對任意不全為零的常數(shù)，有 . 三、 及的分布設(shè)隨機(jī)變量相互獨立,其分布函數(shù)分別為和, 由于不大于z等價于和都不大于z, 故有類似地, 可得的分布函數(shù)例題選講： 離散型隨機(jī)變量的函數(shù)的分布例1 (講義例1) 設(shè)隨機(jī)變量的概率分布如下表 YX0120.20.150.10.320.100.10.05求二維隨機(jī)變量的函數(shù)Z的分布: 解由的概率分布可得0.20.150.10.30.100.10.05(-1,-1)(-1,0)(-1,1)(-1,2)(2,-1)(2,0)(2,1)（2,2）-2-101123410-1-2-2024與一維離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布的求法相同, 把值相同項對應(yīng)的概率值合并可得:的概率分布為-2 -1 0 1 2 3 40.2 0.15 0.1 0.4 0 0.1 0.05的概率分布為Z-2-101240.40.10.150.20.10.05.例2 設(shè)和相互獨立, 求的分布.解這里我們利用第二章中二項分布的直觀解釋求之. 若 則是在次獨立重復(fù)試驗中事件出現(xiàn)的次數(shù), 每次試驗中出現(xiàn)的概率都為同樣, 是在次獨立重復(fù)試驗中事件出現(xiàn)的次數(shù), 每次試驗中出現(xiàn)的概率為故是在次獨立重復(fù)試驗中事件出現(xiàn)的次數(shù), 每次試驗中出現(xiàn)的概率為 于是是以為參數(shù)的二項隨機(jī)變量, 即例3 (講義例2) 若和相互獨立, 它們分別服從參數(shù)為的泊松分布, 證明服從參數(shù)為的泊松分布.解 由離散型卷積公式得即服從參數(shù)為的泊松分布. 連續(xù)型隨機(jī)變量的函數(shù)的分布例4 (講義例3) 設(shè)隨機(jī)變量與相互獨立, 且同服從上的均勻分布, 試求的分布函數(shù)與密度函數(shù).解先求的分布函數(shù)于是的概率密度為例5 設(shè)的密度函數(shù)為 令試用表示和的聯(lián)合密度函數(shù).和的分布：設(shè)和的聯(lián)合密度為, 求的密度.卷積公式: 當(dāng)和獨立時, 設(shè)關(guān)于的邊緣密度分別為 則上述兩式化為以上兩個公式稱為卷積公式.解令 則逆變換為故由定理1知, 和的聯(lián)合密度函數(shù)為例6 設(shè)和是兩個相互獨立的隨機(jī)變量. 它們都服從分布, 其概率密度為解由卷積公式得 即例7 (講義例5) 設(shè)某種商品一周的需要量是一個隨機(jī)變量, 其概率密度函數(shù)為如果各周的需要量相互獨立, 求兩周需要量的概率密度函數(shù).解分別用和表示第一、二周的需求量 則從而兩周需求量 利用卷積公式計算.當(dāng)時, 若 則 若 則 從而當(dāng)時, 若 則 若 即 則故 從而例8 設(shè)與相互獨立, 均服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布, 求的概率密度函數(shù).解由卷積公式,對 有因為 所以作變量代換, 令 則 它表明注: 進(jìn)一步可以證明, 設(shè) 且和相互獨立, 則例9 設(shè)相互獨立且分別服從參數(shù)為的分布(分別記成的概率密度分別為 試證明服從參數(shù)為的分布.證明由卷積公式, 知當(dāng)時, 的概率密度 當(dāng)時, 的概率密度記為 其中 再來計算由概率密度性質(zhì), 有即有 于是 亦即服從參數(shù)為的分布, 即例10 在一簡單電路中, 兩電阻和串聯(lián)連接, 設(shè)相互獨立,它們的概率密度均為 求總電阻的概率密度.解的概率密度為易知僅當(dāng) 即時上述積分的被積函數(shù)不等于零(如圖), 由此即得 將的表達(dá)式代入上式得商的分布：設(shè)二維隨機(jī)向量的密度函數(shù)為, 求的密度函數(shù).例11 設(shè)X與Y相互獨立, 它們都服從參數(shù)為的指數(shù)分布. 求的密度函數(shù).解依題意, 知因與相互獨立, 故由商的分布, 知 當(dāng)時, 當(dāng)時, 故的密度函數(shù)為積的分布： 設(shè)具有密度函數(shù), 則的概率密度為 例12 設(shè)二維隨機(jī)向量在矩形上服從均勻分布, 試求邊長為和的矩形面積的密度函數(shù).解法1二維隨機(jī)變量的密度函數(shù)為令為的分布函數(shù), 則顯然時, 時, 而當(dāng)時(如圖), 有于是從而解法2二維隨機(jī)變量的密度函數(shù)為于是因為僅當(dāng)時, 所以其它情形, 例13 (講義例6) 設(shè)隨機(jī)變量相互獨立, 并且有相同的幾何分布:，求的分布.解一解二例14 設(shè)系統(tǒng)由兩個相互獨立的子系統(tǒng)聯(lián)接而成，聯(lián)接方式分別為串聯(lián)、并聯(lián)、備用（當(dāng)系統(tǒng)損壞時，系統(tǒng)開始工作），如圖336所示. 設(shè)的壽命分別為, 已知它們的概率密度分別為 其中且 試分別就以上三種聯(lián)接方式寫出壽命的概率密度.解(1) 串聯(lián)的情況由于當(dāng)中有一個損壞時, 系統(tǒng)就停止工作, 所以這時的壽命為由題設(shè)知的分布函數(shù)分別為于是的分布函數(shù)為的概率密度為(2)并聯(lián)的情況由于當(dāng)且僅當(dāng)都損壞時, 系統(tǒng)才停止工作, 所以這時的壽命于是的分布函數(shù)為于是的概率密度為(3)備用的情況由于這時系統(tǒng)損壞時系統(tǒng)才開始工