行列式的計算方法 畢業(yè)論文1

行列式的計算方法摘要行列式是高等代數(shù)的一個基本概念。求解行列式是在高等代數(shù)的學習中經(jīng)常遇到的基本問題。本文主要介紹了求行列式值的常用方法和一些特殊的行列式求值方法。如化三角形法、降階法、升階法、歸納發(fā)、范德蒙行列式等十多種方法。并對相應(yīng)例題進行了分析和歸納，總結(jié)與每種方法相適應(yīng)的行列式的特征。關(guān)鍵詞行列式的定義行列式的性質(zhì)計算方法1行列式的基本理論（1）行列式的定義行列式的定義N階行列式用符號表示，它代表N項的代數(shù)NNNAA212112ND和，這些項是一切可能的取自于中不同行不同列的N個元素的乘積，項NNJJA21的符號為，即當為偶（奇）排列時該項的符號為正（負）NJJA2121JJ21，也就是說這里表示對所有N階排列求和。NNNJJJJA212121NDNJ21（2）行列式的性質(zhì)首先我們應(yīng)該熟練掌握并會運用行列式的以下性質(zhì)性質(zhì)1行與列互換，行列式的值不變。性質(zhì)2某行或列的公因子可以提到行列式的符號外。性質(zhì)3如果某行列所有元素都可以寫成兩項的和，則該行列式可以寫成兩個行列式的和；這兩個行列式的這一行列的元素分別對應(yīng)的兩個加數(shù)之一，其余各行列的元素與原行列式相同。性質(zhì)4兩行列對應(yīng)的元素相同，行列式的值為零。性質(zhì)5兩行列對應(yīng)的元素成比例，行列式的值為零。性質(zhì)6某行列的倍數(shù)加到另一行列，行列式的值不變。性質(zhì)7交換兩行列的位置，行列式的值變號。2行列式的計算方法21直接展開法和拉普拉斯展開法直接展開法即運用行列式的定義直接將行列式展開計算。例1（1）證明NNKKKNNKNKKKBABCAD11111110（2）證明。00521432542215AAAD證（1）設(shè)，NNKKKB1121,IJDD,21,，其中。NK,NJIDKJIADJKIIJ,由定義得D1212121NKKKNKNKRRRRRRIJD111211NKNKNPRPRRPBA1211121NKNKNKRPRRPKRKNNNKKRPKPKRRRA111212。KNNNKKRPPRRRB1112121212D則。NNKKKNNKNKKBABCA1111110（2）由行列式的定義可知。由于在中至少543251151PPPPAD543,P有一個大于等于3，因此始終有，故0543A15543215PPPPAD我們引入以下定理，拉普拉斯定理任意取定N階行列式D的某K行列，由這K行列元素所組成的一切K階子式共有個與它們的代數(shù)余子式NK1KNC的乘積的和等于行列式D。拉普拉斯定理的四種特殊形式1）2）0NNMMABC0NMNMAB3）4）1NNAB1NNMCAB。例2計算2N階行列式322143112NNNNDN解N130214301112NNNDN行展開按N21）（02214310NNN列展開第二個行列式按第行展開第一個行列式按第1N2212212N3NDD1212123NNNDD于是可得。NN2122利用行列式的基本性質(zhì)計算有些行列式直接展開比較復(fù)雜，我們可以運用行列式的基本性質(zhì)將行列式簡化然后再展開計算。例3計算N階行列式。NDNNNBABA21221211解將第一行的1倍加到第2,3,N行，得當N3時，由于上式右端的行列式中至少有兩ND1231RR1112211AABNNN行成比例，則0。當N1時，；當N2時，DB2D21BA1121212ABABA例4計算2N階行列式。DCBADN002解NNNBDCBAD2112200001行展開按第120000NCDBA121212NNNDBCADBCAD2132DBCADDBCABADNN。NDC123計算行或列相等的行列式對于一些行或列相等的行列式我們一般將其各行或列加到第一行或列然后再化簡計算。例5計算下面行列式XAXAADNN32121解將其各列加到第1列，并提出公因子可得D1NIAXXAXAAXNNI322111312RRNIANAXAX2312100NIINIX1124兩條線型行列式的計算計算兩條線型行列式要根據(jù)行列式的特點和性質(zhì)進行化簡、計算。為了更好的研究兩條線型行列式的計算首先我們要討論一些特殊行列式的值。1上下三角行列式等于其主對角線上的元素的乘積，即NNNNNAAAA21211221（2）次三角形行列式的值等于添加適當正、負號的次對角線元素的乘積，即1,211,12,111,221NNNNNNNAAAA分塊三角形行列式可化為低級行列式的乘積，即NNMMNNNMNMBCABCA11111111100NNMBA1110011111111NNMNMNMNNMBACCBANNMMNBA11例6計算階行列式。ABBDN00解按第一列展開得NNNNBBABABDN210010211221222123AANNNNNN25箭形行列式的計算對于形如,NNNAA1211NNNA12,211NNNA211的箭形爪形行列式，可以利用對角元素或次對角元素將一邊NNAA21,1消為0然后直接利用行列式的性質(zhì)化為三角形或次三角形行列式來計算。例7計算。100211ND解0012112NCDNN1122N26三對角行列式的計算形如的行列式我們稱之為三對角行列式，可以直接展開NNAA1,321得到兩項地推關(guān)系然后用一下方法求解。2D方法1若N較小，可以直接遞推計算。方法2用第二數(shù)學歸納法證明驗證N1時結(jié)論成立，假設(shè)N時結(jié)論成立，如K果能證明NK1時結(jié)論成立則對任意自然數(shù)結(jié)論都成立。方法3將變形為，其中21NND211NNNPDQP有韋達定理可知P和Q是一元二次方程的兩個根。令PQ,02X，則利用遞推求出，再由遞推求1NDXFFFF1NFN出。N方法4設(shè)。代入可得。稱NX021NND021NNXX為特征方程，求出其根，則。其中，02XX和21假設(shè)NKD211K可以通過令N1和N2來求得。2K例8計算N階行列式。11ND解按第1列展開得變形為11211NND21NND由于，211NN1，利用以上遞推公式可得222D故有1N3221NNNNDDNND12NA11NNNND121例9證明NAAANCOS21COSCS21OCS解第二數(shù)學歸納法當N1時，左邊右邊；當N2時，左邊右邊。AA2COS1S2CO1S假設(shè)對于任意階數(shù)小于N的行列式等號都成立，然后證明N階行列式成立。記左邊的N階行列式為，按最后一行展開，可得ND21COS2NDA由歸納假設(shè)可得，有，AN1COS1，2COS2ANANSISIC所以D1ISCSNANANANCOS1COSI1SICO1S注第二數(shù)學歸納法是先驗證N1時命題成立，假設(shè)命題對于的一切自然數(shù)成K立，若推出NK1時命題也成立，則命題對于所有自然數(shù)N成立。27HESSENBERG型行列式的計算形如，213,1,211321321,2311,32111NNNNNNNAAAAAAA，的行列式稱為HESSENBERG型行列式，對于這種行列NNNAAA321,式可以直接展開得到遞推公式，也可以利用行列式的性質(zhì)化簡計算例10計算N階行列式。122113NNNDN解將第1,2,，N1列加到第N列，可得122101221132121NNDNNN21N28可采用升階法計算的行列式行列式的計算的一般方法是降階法，但對于某些特殊行列式，如除對角元（或次對角元）外，其余元素相同或成比例的行列式，有時加上一行一列變成N1階的行列式，特別是第1列為并適當選擇第1行的元素，就可以使化簡更加方便，且化簡后T0,常變成箭形行列式，這一方法稱為升階法或加邊法。例11設(shè)X是矩陣，Y是矩陣，其中A是實數(shù)，證明1NN1AYXE1證明設(shè)，則TNX,2,2NY升階NNNYAXYAXAYE11212212111012212212211NNNNNNNAXYYRYAXYAX1121112NYCAXYXNII129將行列式拆成兩個行列式的和計算行列式的拆分NNNNNBABABAAAA321,1,1,223221111NNNNNNNBBAAAAA321,1,1,2232111321,1,22321例12計算N階行列式。XAAXAADN解將第N行寫成兩項的和再分成兩個行列式，然后把第2個行列式的第N列分別加到前面各列，可得AAXAAXAXAXAADN00AXXDAXN0022111NNAXDX同理，將第N行寫成另外兩項之和再分成兩個行列式，又可得AXAXAADN00AAXAXAAAXXDXN0220111NNAXDX聯(lián)立，解方程組，解得。21NNND210相鄰行（列）元素差1的行列式的計算以數(shù)字1,2,3，N為（大部分）元素，且相鄰兩行（列）元素差1的N階行列式可以用以下方法計算從第1行（列）開始，前行（列）減去后行（列）；或從第N行（列）減去前行（列），即可出現(xiàn)大量元素為1或1的行列式，再進一步化簡即得出現(xiàn)大量零元素。對于相鄰兩行（列）元素相差倍數(shù)K的行列式，采用前行（列）減去后行（列）的K倍，或后行（列）減去前行（列）K倍的方法，即可使行列式中出現(xiàn)大量的零元素例13計算N階行列式121543211NNND解從第N1行開始，每行乘（1）加到下一行直到第1行得110311321211NNCNNDNN111121121NNCNNNNN221121120021NNNNNRN211NN211范德蒙型行列式的計算形如的行列式我們稱之為范德蒙型行列式，1121221NNNAA11212211NNNAA122313NNNJINJIAAA即等于這N個數(shù)所有可能的差的乘積,211IJJI例14計算4階行列式。4422DCBAD分析可以看到D不是范德蒙型行列式，但它具有范德蒙型行列式的一些特點?？梢詷?gòu)造5階的范德蒙型行列式，再利用范德蒙型行列式的結(jié)果，間接地求出D的值。解構(gòu)造5階范德蒙型行列式，44433322211XDCBAD5435215AXXAD列展開按其中的系數(shù)為，再利用范德蒙型行列式的結(jié)果得3XA551DXCDBXCAXCD34ADBDAB其中的系數(shù)為3XCBACC故可得。DAD例15證明NKJNIIIJNNNXXXX1122212證記左端行列式為，則DNNNNNNNXXCXXD221211221211001升階把第一行拆成兩項之和，再利用范德蒙型行列式的結(jié)果，得NNNNNXXD2221211002NNNNNXXX221212212100NKJJNKJIIJ111右端211INIINKJJXX例16計算行列式。4434243332221131214COSSCOSSSAAD解根據(jù)倍角公式，有，1COSIIA代入行列式得IIIA3COS43S24134342433222131214COSSCOSSAA8COSCOSS8JIJIAA212利用行列式乘法公式計算行列式設(shè),則其行列式具有性質(zhì)。這一結(jié)果也給出了如何NIJNIJBBAA,BA把兩個N階行列式相乘得到一個N階行列式的方法，即其中NNNNNNNNCCBBAA212112212112212112JIJIJIIJC2,JI這一公式也成為行列式乘法公式，靈活運用該公式可以簡化行列式的計算例17計算4階行列式。ABCDDAD4分析所給的行列式利用行列式乘法公式求得，再確定出的符號即可TD4244求出。4D解根據(jù)行列式乘法公式得ABCDDABCDAT424222222220000DCBADCACBA所以422DCBA224BD根據(jù)行列式定義可知的展開式中有一項為，故可得432134A224CD例18計算4階行列式3434324314223413132131BABAD分析直接展開計算量較大，注意到每一項都能展開成4項之和，即，可考慮用行列式乘法公式，將原行列式分解成兩個容323BA易計算的行列式的乘積，然后化簡計算。解將行列式中每一項展開，并利用行列式乘法公式和范德蒙型行列式的結(jié)果，得343212432314323124234123119BBAABBAD19JIJIJIJI213按行列展開計算行列式我們先引進代數(shù)余子式的概念。定義在N階行列式中，把元素所在的第I行和第J列元素劃去后，所留下的NIJA1階行列式，稱為元素A的代數(shù)余子式，記為M，即A的代數(shù)余子式，而稱為的代數(shù)余子式，記NJNJNNIJIJIINJJIJAAAAM1,1,1,1,1111,IJI1IJA為，即。IJAIJIIJM引理如果N階行列式中，第行元素除外均為零，ND,2I,21NJAI則該行列式等于元素與其代數(shù)余子式的積，即IJAIJAIJJIIJNAD1定理行列式等于它的任意一行或列個元素與其代數(shù)余子式乘積的和，即（1）或,21121NIAAAADNIKIIIN（2）,121JNKJJNJJN（1）式稱為行列式按第I行的展開式，（2）式稱為行列式按第J列的展開式，NDND其中與均為N1階行列式。IKAJ用按行（列）展開法計算行列式時，反復(fù)使用此定理，把高階行列式降成低階行列式，直到求出結(jié)果。為了計算簡便，每次展開前應(yīng)首先利用行列式的性質(zhì)，使行列式某行或某列出現(xiàn)盡量多的零（最好出現(xiàn)N1個零），這樣才能達到簡化計算的目的。例19計算階行列式。4NABBABDN0000解此行列式中各行各列有N2個零元素，現(xiàn)在直接按第一行展開00011NNDABABD上三角形,00112再按第一列展開NNDABBABD012NNNBAA下三角形NNY推論行列式任意一行或列的元素與其他行或列對應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積的和為零，即，021RIAAAARNIRIRIKJKJKJKJ214歸納與遞推法在行列式的計算與證明中，歸納與遞推法也是一種行之有效的方法，舉例說明如下例20計算2N階行列式。DCBADN2解首先按第一行展開，得1212000NNDCBAD1221000NNCDBAB再將右邊兩個（2N1）階行列式按最后一列展開，便得22122NNNDCBADAD2212NNDCBA22NNDBCABADD按此規(guī)律遞推下去，共經(jīng)過次展開，終得1。NNNNBCADCBADBCAD1212215利用方陣特征值與行列式的關(guān)系例21計算如下行列式的值BAABAMNNN321321解BAABAAMNNN321321NNNNAEAABE321321顯然的個特征值為。的個特征值為。故的特NBB,NNIA10,NM征值為。由矩陣特征值與對行列式的關(guān)系知。INBA11,1INNBAD例21中，主對角線上的元素為，我們使得主對角線上的元素為,21NIBAI，可得下列一般的行列式。N,21NNNAAAD321321分析根據(jù)這題行列式的特點，每行都有相同的因子，所以本題適用加,21邊法。本題有多種解法，據(jù)上分析，僅以加邊法推出。解NNNAAAD32132100121310000,2NNIAAARN12132111000,2NNIAIAAANICII1111NIJJJNIINIINIAAAI特別地，當時與例21的答案一致。BII,211NNNIIDBBA216行列式計算的雜例例22計算N階行列式。ACBADN解（1）當BC時，是行的和相等的行列式，從而NBABNRABNACDNN0111212B（2）當時，將的第N列元素寫成兩個數(shù)的和，所以CDB,可將拆成兩個行列式之和NDBCCABBACBANN210列展開第NNCADBA1110011CABABDAN對按上面方法推導(dǎo)可得。11NNTD1NTNTNBCA由于，則有TD11NNNBACA聯(lián)立求解二元一次方程組得11NNNCBCACABCBDNNNN11例23求極限，其中存在2階導(dǎo)數(shù)。2LIM310HXSSXGGFFH,XSGF分析把行列式展開再取極限比較復(fù)雜，觀察行列式中各項的特點，利用行列式的性質(zhì)做適當變形，然后再運用洛必達法則計算。解由于存在2階導(dǎo)數(shù)，把所求極限進行適當變形，可得,XSGF原式2LIM231013XSHXSHXSGGGFFFFCH200200LIMLIMLILIHXSXSHXSXSGGGFHFFFFFHHH利用導(dǎo)數(shù)定義及洛必達法則HXSXSXSGGGHFFFH2LILI00。XSXSGGFF例24計算。NNXBAAD321解（1）當AB時，用第一行的（1）倍分別加到其他各行得按第一行展開可得AXXAXAAXDNN013213132AXANNN。11XX（2）當時，將第N列拆成兩項的和，則有BABBXAA