擴展有限元法研究綜述-畢業(yè)論文

畢業(yè)設(shè)計（論文）題目擴展有限元法研究綜述學(xué)院（全稱）土木建筑學(xué)院專業(yè)、年級工程力學(xué)2005級學(xué)生姓名趙松華學(xué)號05980110指導(dǎo)教師鄭佳艷前言俗話說“千里之堤潰于蟻穴”，棋盤上雖然一個很小的失誤便會全盤皆輸。下棋如此，生活如此，工程上亦如此。工程中往往都存在大量不連續(xù)問題，比如裂紋、雜質(zhì)和孔隙。一般而言不連續(xù)部位對整個結(jié)構(gòu)或破壞起控制作用，而同時這些問題又是不可避免，難以計算和監(jiān)控，且時刻存在的。由于各個數(shù)值方法分析裂紋擴展的局限性限制了它們的實際應(yīng)用，不得不尋求新的解決裂紋擴展問題的途徑。從通用性和理論基礎(chǔ)成熟性角度而言，有限單元法是最好的數(shù)值方法。有限元法的運用的確在一些實際的工程問題中起到了很大的作用，為我們的設(shè)計、計算和監(jiān)控工程實際帶來了很大的方便。但它對工程中大量存在的裂紋，雜質(zhì)，孔隙和復(fù)雜流體等不連續(xù)問題的處理卻不盡人意。傳統(tǒng)的有限元分析靜態(tài)裂紋問題的缺點主要是數(shù)據(jù)準(zhǔn)備復(fù)雜，分析動態(tài)裂紋問題能力不強，若能夠改進(jìn)傳統(tǒng)的有限元，讓有限元的形函數(shù)既能滿足常規(guī)部分的連續(xù)性又能反映裂紋部分的不連續(xù)性，則有限元就具有較強的處理裂紋問題的能力。處理像裂紋這樣的不連續(xù)問題時，需要將裂紋面設(shè)置為單元的邊、裂尖設(shè)置為單元的結(jié)點、在裂尖附近不連續(xù)體的奇異場內(nèi)需進(jìn)行高密度網(wǎng)格劃分以及在模擬裂紋擴展時需要不斷的進(jìn)行網(wǎng)格的重新劃分，使得有限元程序設(shè)計相當(dāng)復(fù)雜，且效率極低。在處理多裂紋問題時，其求解規(guī)模之大、網(wǎng)格剖分之難是不可想象的。1999年以來，在有限元框架內(nèi)發(fā)展起來的擴展有限元法XFEM，以解決不連續(xù)問題為著眼點，對常規(guī)有限元在求解裂紋問題時所遇到的困難提出了近乎完美的解決方案。擴展有限元是迄今為止求解不連續(xù)力學(xué)問題最有效的數(shù)值方法，它在標(biāo)準(zhǔn)有限元框架內(nèi)研究問題，在單位分解的基礎(chǔ)上保留了傳統(tǒng)有限元的所有優(yōu)點，且不需要對結(jié)構(gòu)內(nèi)存在的幾何或者物理界面進(jìn)行網(wǎng)格剖分。為了解決這個問題，且同時充分利用有限元的優(yōu)化模型和計算方法，我們在傳統(tǒng)有限元的基礎(chǔ)上引入擴展有限元。目錄前言II目錄III摘要IABSTRACTII第1章緒論111研究背景和意義1111擴展有限元基礎(chǔ)有限元1112課題研究的現(xiàn)狀212研究的目的和意義313主要研究內(nèi)容414擴展有限元發(fā)展趨勢4第2章有限元基本理論521有限元法概述522平面桁架單元分析步驟8221整體坐標(biāo)系9222位移9223應(yīng)變10224單元節(jié)點位移向量10225應(yīng)變位移矩陣10226應(yīng)力11227虛位移11228單元節(jié)點力向量11229虛功112210虛應(yīng)變112211虛變形能122212單元剛度矩陣122213變體虛功原理122214單元平衡方程132215單元剛度矩陣性質(zhì)1323平面桁架實例分析14231單元114232單元215233單元316234單元416235單元517236節(jié)點受力分析18237方程組裝19238整體剛度矩陣特點19239位移邊界約束202310求解方程20第3章擴展有限元基本理論分析2131單位分解法（PUM）2132不連續(xù)位移場的建立22321裂紋貫穿單元位移模式23322裂紋尖端所在單元的改進(jìn)24323含任一裂紋的位移場UX2533離散方程的建立26331虛功方程26332支配方程26333形函數(shù)偏導(dǎo)2834水平集法（LSM）30341基本概念30342水平集對裂紋的描述3035積分方案3136擴展有限元法應(yīng)用32第5章結(jié)論及展望3551結(jié)論3552展望35521XFEM自身的研究35522XFEM在非均勻介質(zhì)中的應(yīng)用36523XFEM在非線性固體力學(xué)問題中的應(yīng)用36523XFEM在其他問題中的應(yīng)用36致謝37主要參考文獻(xiàn)38摘要隨著人類的進(jìn)步，科技的發(fā)展，在諸多工程領(lǐng)域，比如航空航天，土木工程，機械制造等眾多領(lǐng)域方面，求解不連續(xù)力學(xué)問題越來越多，而且精度要求也越來越高。但在實際計算中，不連續(xù)力學(xué)問題的求解往往是解決整個計算的瓶頸，如何正確有效的求解不連續(xù)問題便成了我們的當(dāng)務(wù)之急。20世紀(jì)50年代發(fā)展而來的有限元（FEM）為解決復(fù)雜的力學(xué)問題帶來了極大的便利。同樣，1999年美國西北大學(xué)的BELYTSCHKO教授提出了擴展有限元方法（XFEM），用來解決復(fù)雜的不連續(xù)力學(xué)問題。時至今日，擴展有限元（XFEM）已經(jīng)在人類社會的發(fā)展中做出了很大的貢獻(xiàn)，對科學(xué)發(fā)展起著舉足輕重的作用。隨著問題的深入，科學(xué)的發(fā)展，擴展有限元（XFEM）將在眾多科學(xué)家的研究下，發(fā)展成為一門貫穿諸多學(xué)科（比如斷裂力學(xué)，巖土力學(xué)，航空航天等），具有獨立的，成熟的理論指導(dǎo)，能夠完美解決實際問題的學(xué)科。本文在有限元得基礎(chǔ)上，闡述了擴展有限元的基本理論和相關(guān)概念，并簡要介紹了現(xiàn)今擴展有限元的應(yīng)用狀況，對擴展有限元（XFEM）的理論應(yīng)用具有指導(dǎo)意義。關(guān)鍵詞有限元法，擴展有限元法，應(yīng)用ABSTRACTWITHTHEPROGRESSOFMANKIND,SCIENCEANDTECHNOLOGYDEVELOPMENTPROJECTSINMANYAREAS,SUCHASAEROSPACE,CIVILENGINEERING,MACHINERYMANUFACTURING,ANDMANYOTHERFIELDS,THEDISCRETEMECHANICALPROBLEMSOLVINGHASBECOMEMOREANDMORE,ANDINCREASINGLYHIGHPRECISIONISIMPORTANT。HOWEVER,INPRACTICALCALCULATION,THEMECHANICALPROBLEMOFDISCONTINUOUSFORSOLVINGISOFTENTHEBOTTLENECKOFTHEWHOLECALCULATION,HOWTOCORRECTANDEFFECTIVESOLUTIONTOTHEPROBLEMHASBECOMEOURTOPPRIORITY。THE20THCENTURYFROMTHE50STHEDEVELOPMENTOFFINITEELEMENTFEMISAGREATCONVENIENCETOSOLVECOMPLEXMECHANICALPROBLEMSSIMILARLY,THEUNITEDSTATESIN1999,PROFESSORBELYTSCHKOOFNORTHWESTERNUNIVERSITYADVANCESEXTENDEDFINITEELEMENTMETHODXFEMFORSOLVINGCOMPLEXMECHANICALPROBLEMSTODAY,THEEXPANSIONOFTHEFINITEELEMENTXFEMHASMADEGREATCONTRIBUTIONSDURINGTHEDEVELOPMENTOFHUMANSOCIETYANDPLAYSAVITALROLEINTHEDEVELOPMENTOFSCIENCEWITHINDEPTHOFTHEPROBLEMSANDSCIENTIFICDEVELOPMENT,THEEXPANSIONOFTHEFINITEELEMENTXFEMSCIENTISTSINMANYSTUDIESWILLDEVELOPINTOANEWDISCIPLINERUNINGTHROUGHANUMBEROFDISCIPLINESSUCHASFRACTUREMECHANICS,ROCKANDSOILMECHANICS,AEROSPACE,ETC,ITISANINDEPENDENTANDMATURETHEORETICALGUIDANCETOTHEPERFECTDISCIPLINETOSOLVEPRACTICALPROBLEMTHISARTICLEELABORATESTHEBASICTHEORYANDRELATEDCONCEPTSOFTHEFINITEELEMENTOFTHEEXPANSIONINTHEBASEOFFEM,ANDBRIEFLYINTRODUCEDTHECURRENTEXPANSIONOFTHEAPPLICATIONOFFINITEELEMENTITHASTHEGUIDINGSIGNIFICANCETOAPPLICATIONOFTHEEXPANSIONOFTHEFINITEELEMENTXFEMKEYWORDSFINITEELEMENTMETHOD,EXTENDEDFINITEELEMENTMETHOD,APPLICATION第1章緒論11研究背景和意義111擴展有限元基礎(chǔ)有限元有限元（FEMFINITEELEMENTMETHOD）作為一種有效的求解不連續(xù)問題的數(shù)字方法，已經(jīng)歷了50余年的發(fā)展。20世紀(jì)50年代，它作為處理固體力學(xué)問題的方法出現(xiàn)。1943年，COURANT第一次提出單元概念。19451955年ARGYRIS等人在結(jié)構(gòu)矩陣分析方法取得了很大進(jìn)展。1956年，TURNER、CLOUGH等人把剛架位移法的思路推廣應(yīng)用于彈性力學(xué)平面問題。1960年，CLOUGH首先把解決彈性力學(xué)平面問題的方法稱為“有限元法”，并描繪為“有限元法REYLEIGHRITZ法分片函數(shù)”。幾乎與此同時，我國數(shù)學(xué)家馮康也獨立提出了類似方法。FEM理論研究的重大進(jìn)展引起了數(shù)學(xué)界的高度重視。自20世紀(jì)60年代以來，人們加強了對FEM數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的研究。如大型線性方程組和特征值問題的數(shù)值方法、離散誤差分析、解的收斂性和穩(wěn)定性等。FEM理論研究成果為其應(yīng)用奠定了基礎(chǔ)，計算機技術(shù)的發(fā)展為其提供了條件。20世紀(jì)70年代以來，相繼出現(xiàn)了一些通用的有限元分析（FEAFINITEELEMENTANALYSIS）系統(tǒng)，如SAP、ASKA、NASTRAN等，這些FEA系統(tǒng)可進(jìn)行航空航天領(lǐng)域的結(jié)構(gòu)強度、剛度分析，從而推動了FEM在工程中的實際應(yīng)用。20世紀(jì)80年代以來，隨著工程工作站的出現(xiàn)和廣泛應(yīng)用，原來運行于大中型機上的FEA系統(tǒng)得以在其上運行，同時也出現(xiàn)了一批通用的FEA系統(tǒng)，如ANSYSPC、NISA、SUPER、SAP等。20世紀(jì)90年代以來，隨著微機性能的顯著提高，大批FEA系統(tǒng)紛紛向微機移植，出現(xiàn)了基于WINDOWS的微機版FEA系統(tǒng)。經(jīng)過半個多世紀(jì)的發(fā)展，F(xiàn)EM已從彈性力學(xué)平面問題擴展到空間問題、板殼問題；從精力問題擴展到動力問題、穩(wěn)定問題、和波動問題；從線性問題擴展到非線性問題；從固體力學(xué)領(lǐng)域擴展到流體力學(xué)、傳熱學(xué)、電磁學(xué)等其他連續(xù)介質(zhì)領(lǐng)域；從單一物理場計算擴展到多物理場的耦合計算。它經(jīng)歷了從低級到高級、從簡單到復(fù)雜的發(fā)展過程，目前已成為工程計算最有效的方法之一。人類社會的進(jìn)步?jīng)Q定了有限元的發(fā)展不會止步于此。對于不連續(xù)力學(xué)問題的完善解決始終困擾著我們。1999年，以美國西北大學(xué)BELYTSCHKO教授為代表的研究組首先提出擴展有限元思想，2000年，他們正式使用擴展有限元（XFEM）這一術(shù)語。XFEM是迄今為止求解不連續(xù)力學(xué)問題最有效的數(shù)值方法，它在標(biāo)準(zhǔn)有限元框架內(nèi)研究問題，保留了CFEM的所有優(yōu)點，但并不需要對結(jié)構(gòu)內(nèi)存在的幾何或物理界面進(jìn)行網(wǎng)格剖分。XFEM與CFEM的最根本區(qū)別在于所使用的網(wǎng)格與結(jié)構(gòu)內(nèi)部的幾何或物理界面無關(guān)，從而克服了在諸如L裂紋尖端等高應(yīng)力和變形集中區(qū)進(jìn)行高密度網(wǎng)格剖分所帶來的困難，當(dāng)模擬裂紋擴展時也無需對網(wǎng)格進(jìn)行重新剖分。例如在處理裂紋問題時，XFEM包括以下三方面內(nèi)容第一，不考慮結(jié)構(gòu)的任何內(nèi)部細(xì)節(jié)（例如材料特性的變化和內(nèi)部幾何的跳躍），按照結(jié)構(gòu)的幾何外形尺寸生成有限元網(wǎng)格；第二，采用其他方法（如水平集法）確定裂紋的實際位置，跟蹤裂紋的生長；第三，借助于對所研究問題解的已有知識不必知道封閉形式解，改進(jìn)影響區(qū)內(nèi)單元的形狀函數(shù)，以反映裂紋的存在和生長由于改進(jìn)的形狀函數(shù)在單元內(nèi)部具有“單位分解”特性，擴展有限單元的剛度矩陣具有與常規(guī)有限單元一樣的優(yōu)點，即對稱、稀疏且?guī)羁梢?，單位分解概念保證了XFEM的收斂，基于此，XFEM的逼近空間中增加了與問題相關(guān)的特定函數(shù)；水平集法是XFEM中確定內(nèi)部界面位置和跟蹤其生長的常用數(shù)值技術(shù)，任何內(nèi)部界面可用它的零水平集函數(shù)表示112課題研究的現(xiàn)狀在國內(nèi)，擴展有限元的研究處于理論初步形成以及一些工程問題的簡化處理階段。比如西安交通大學(xué)的李錄賢39綜述了XFEM的基本思想，實施步驟及其應(yīng)用，初步展望了該領(lǐng)域需進(jìn)一步研究的課題。董玉文，余天堂等51直接計算應(yīng)力強度因子的擴展有限元法也只是對擴展有限元的一些簡單的應(yīng)用方法進(jìn)行研究。在國外，擴展有限元已經(jīng)得到了快速發(fā)展和廣泛應(yīng)用。在靜態(tài)和模擬動態(tài)裂紋擴展研究方面都有很大的突破，并且得到了實踐的驗證。理論較為成熟，分析方法靈活多樣。在實際問題研究上考慮的比較周全，更加貼合實際。比如STOLARSKA等5把水平集法LSM和XFEM結(jié)合起來研究裂紋擴展問題，LSM用以表征裂紋和裂尖位置，XFEM用于計算應(yīng)力和位移，以確定裂紋擴展率。PATZAK和JIRASEX33將XFEM應(yīng)用于非局部連續(xù)損傷力學(xué)中，通過引入能準(zhǔn)確捕捉局部變化概貌的特殊形狀函數(shù)，在非常粗糙的網(wǎng)格上改進(jìn)標(biāo)準(zhǔn)的位移逼近等等。12研究的目的和意義所有的工程中都存在大量的不連續(xù)問題，比如裂紋，雜質(zhì)和孔隙。一般而言不連續(xù)部位對整個結(jié)構(gòu)或破壞起控制作用，而同時這些問題又是不可避免的，難以計算和監(jiān)控，且時刻存在的。固體力學(xué)中存在兩類典型的不連續(xù)問題，一類是因材料特性突變引起的弱不連續(xù)問題，這類問題以雙材料問題和夾雜問題為代表，其復(fù)雜性由物理界面處的應(yīng)變不連續(xù)性引起。另一類是因物體內(nèi)部幾何突變引起的強不連續(xù)問題，這類問題以裂紋問題為代表，其復(fù)雜性由集合界面處的位移不連續(xù)性和端部的奇異性引起。物體內(nèi)部物理界面的脫粘或起裂，是上述兩類問題的混合，也屬于這里所討論的范圍。另外，在復(fù)雜流體、復(fù)雜傳熱、物質(zhì)微結(jié)構(gòu)演變等復(fù)雜問題中，也存在許多不連續(xù)力學(xué)問題。數(shù)值方法，如有限元、邊界元、無單元法等，一直是處理不連續(xù)問題的主要途徑。有限元具有其他數(shù)值方法無可比擬的優(yōu)點，即適用于任意幾何形狀的邊界條件、材料和幾何非線性問題、各向異性問題、容易編程等，因而成為數(shù)值分析裂紋等不連續(xù)問題的主要手段。比如ORTIZ以及BELYTSCHKO等通過使用多場應(yīng)變分原理，用可以橫貫有限單元的“弱”應(yīng)變間斷模擬剪切帶。在強間斷分析中，位移包括常規(guī)部分及改進(jìn)部分，其中改進(jìn)部分在橫貫不連續(xù)界面時出現(xiàn)跳躍。使用假定改進(jìn)應(yīng)變變分公式，可以在單元層次上對改進(jìn)自由度進(jìn)行靜力凝聚，以獲得單元切向剛度矩陣。JIRASEK給出了這方面工作的全面評述與其他嵌入式不連續(xù)方法進(jìn)行了比較。模擬斷裂現(xiàn)象的另以個途徑是XU和NEEDLEMAN提出的內(nèi)聚力模型，這已被用于模擬脆性材料的損傷問題。內(nèi)聚力公式是一種唯象框架，材料的斷裂特征體現(xiàn)在粘結(jié)表面的勉勵位移關(guān)系中。此方法在建模時使用了本證長度，并且不需要K主導(dǎo)型斷裂準(zhǔn)則，可以得到裂紋的生長路徑。常規(guī)有限元采用連續(xù)函數(shù)作為形狀函數(shù)，要求在單元內(nèi)部形狀函數(shù)連續(xù)且材料性能不能跳躍，在處理像裂紋這樣的強不連續(xù)（位移不連續(xù)）問題時，必須將裂紋面設(shè)置為單元的邊、裂尖設(shè)置為單元的節(jié)點、在裂尖附近的高應(yīng)力區(qū)需要令人難以接受的網(wǎng)格密度，同時在模擬裂紋生長時還需要對網(wǎng)格進(jìn)行重新劃分，效率極低甚至無能為力。在處理多裂紋問題時，要求解規(guī)模之大、網(wǎng)格劃分之難是不可想象的，使問題變得更加復(fù)雜。處理雜質(zhì)問題時，要求單元的邊必須位于雜質(zhì)與基體的界面處，即使對于網(wǎng)格自動化程度很高的二位問題也不容易。為了解決這樣的問題，1999年以來在有限元的框架內(nèi)發(fā)展起來的擴展有限元法，以解決不連續(xù)性問題為著眼點，對常規(guī)有限元法在求解裂紋問題時所遇到的困難提出了近乎完美的解決方案。13主要研究內(nèi)容本文在有限元發(fā)展的基礎(chǔ)上引入擴展有限元，從有限元的背景、現(xiàn)狀、模型建立及實施有限元法的基本步驟和方法逐步給予介紹，同時闡述了擴展有限元的產(chǎn)生、發(fā)展背景、現(xiàn)狀及擴展有限元的基本理論和方法。最后對擴展有限元發(fā)展至今所取得的成就做了簡要的介紹，總結(jié)前人的成功實例，提出個人對于擴展有限元需要改進(jìn)的地方，同時展望擴展有限元的未來發(fā)展前景。14擴展有限元發(fā)展趨勢未來，擴展有限元將繼續(xù)在有限元的基礎(chǔ)上，密切結(jié)合斷裂力學(xué)，巖土力學(xué)等相關(guān)科目，形成一門新的，獨立的，成熟的學(xué)科，能夠多層次，多角度的深入分析靜態(tài)和動態(tài)裂紋等不連續(xù)問題，在模擬界面、裂紋增長、復(fù)雜流體等不連續(xù)工程實際的研究中取得突破性進(jìn)展，從而能夠更加精確有效的監(jiān)控和設(shè)計工程實際。第2章有限元基本理論21有限元法概述有限元法的基本思路是將一個連續(xù)求解區(qū)域分割成有限個不重疊且按一定方式相互連接在一起的子域單元，利用在每一個單元內(nèi)假設(shè)的近似函數(shù)來分片地表示全求解域上待求的未知場函數(shù)。單元內(nèi)的場函數(shù)通常由未知場函數(shù)或其導(dǎo)數(shù)在單元各個節(jié)點的數(shù)值和其插值函數(shù)來近似表示。這樣，未知場函數(shù)或其導(dǎo)數(shù)在各個節(jié)點上的數(shù)值即成為未知量自由度。根據(jù)單元在邊界處相互之間的連續(xù)性，將各單元的關(guān)系式集合成方程組，求出這些未知量，并通過插值函數(shù)計算出各個單元內(nèi)場函數(shù)的近似值，從而得到全求解域上的近似解。有限元將一個連續(xù)的無限自由度問題變成離散的有限自由度問題進(jìn)行求解。如果將區(qū)域劃分成很細(xì)的網(wǎng)格，也即單元的尺寸變得越來越小，或隨著單元自由度的增加及插值函數(shù)精度的提高，解的近似程度將不斷被改進(jìn)。如果單元是滿足收斂要求的，近似解最后可收斂于精確解。有限元法分析過程包括1結(jié)構(gòu)離散化結(jié)構(gòu)離散化就是將結(jié)構(gòu)分成有限個小的單元體，單元與單元、單元與邊界之間通過結(jié)點連接結(jié)構(gòu)的離散化是有限單元法分析的第一步關(guān)系到計算精度與計算效率，是有限單元法的基礎(chǔ)步驟，包含以下兩個方面的內(nèi)容1單元類型選擇離散化首先要選定單元類型，這包括單元形狀、單元結(jié)點數(shù)與結(jié)點自由度數(shù)等的內(nèi)容?；镜膯卧愋鸵娤卤?單元劃分劃分單元時應(yīng)注意以下幾點I網(wǎng)格的加密網(wǎng)格劃分越細(xì)，結(jié)點越多，計算結(jié)果越精確對邊界曲折處、應(yīng)力變化大的區(qū)域應(yīng)加密網(wǎng)格，集中載荷作用點、分布載荷突變點以及約束支承點均應(yīng)布量結(jié)點，同時要兼顧機時、費用與效果。網(wǎng)格加密到一定程度后計算精度的提高就不明顯，對應(yīng)力應(yīng)變變化平緩的區(qū)域不必要細(xì)分網(wǎng)格II舊單元形態(tài)應(yīng)盡可能接近相應(yīng)的正多邊形或正多面體。如三角形單元三邊應(yīng)盡量接近，且不出現(xiàn)鈍角，如圖21所示；矩陣單元長寬不宜相差過大等，如圖22所示。III單元結(jié)點應(yīng)與相鄰單元結(jié)點相連接，不能置于相鄰單元邊界上。如圖23所示IV同一單元由同一種材料構(gòu)成。V網(wǎng)格劃分應(yīng)盡可能有規(guī)律，以利于計算機自動生成網(wǎng)格。3結(jié)點編碼整體結(jié)點編碼和單元結(jié)點編碼。2單元分析單元分析有兩個方面的內(nèi)容1選擇位移函數(shù)位移法分析結(jié)構(gòu)首先要求解的是位移場要在整個結(jié)構(gòu)建立位移的統(tǒng)一數(shù)學(xué)表達(dá)式往往是困難的甚至是不可能的結(jié)構(gòu)離散化成單元的集合體后，對于單個的單元，可以遵循某些基本難則，用較之以整體為對象時簡單得多的方法設(shè)定一個簡單的函數(shù)為位移的近似函數(shù)，稱為位移函數(shù)。位移函數(shù)一般取為多項式形式，有廣義坐標(biāo)法與插值法兩種設(shè)定途徑，殊途同歸。最終都整理為單元結(jié)點位移的插值函數(shù)。2分析單元的力學(xué)特征I單元應(yīng)變矩陣B單元應(yīng)變矩陣反映出單元結(jié)點位移與單元應(yīng)變之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系，由幾何學(xué)條件導(dǎo)出。II單元應(yīng)力矩陣S單元應(yīng)力矩陣反映出單元結(jié)點位移與單元應(yīng)力之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系，由物理學(xué)條件導(dǎo)出。III單元剛度矩陣EK單元剛度矩陣反映出單元結(jié)點位移與單元結(jié)點力之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系，由EEF平衡條件導(dǎo)出，所得到的轉(zhuǎn)換關(guān)系式稱為單元剛度方程（21）EEF3整體分析整體分析包括以下幾方面內(nèi)容1集成整體結(jié)點載荷向量R結(jié)構(gòu)離散化后，單元之間通過結(jié)點傳遞力所以有限單元法在結(jié)構(gòu)分析中只采用結(jié)點載荷。所有作用在單元上的集中力、體積力與表面力都必須靜力等效地移置到結(jié)點上去，形成等效結(jié)點載荷。最后，將所有結(jié)點載荷按照弊體結(jié)點編碼順序組集成整體結(jié)點載荷向量。2集成整體剛度方程K集合所有的單元剛度方程就得到總體剛度方程（22）R式中稱為總體剛度矩陣，直接由單元剛度矩陣組集得到；為整體結(jié)點R載荷向量。3引進(jìn)邊界約束條件，解總體剛度方程求出結(jié)點位移分量位移法有限元分析的基本未知量，由上述可知，有限元在桿系結(jié)構(gòu)，桁架結(jié)構(gòu)，梁系結(jié)構(gòu)，板系結(jié)構(gòu)等的工程結(jié)構(gòu)中都有廣泛的應(yīng)用。下列以平面桿系結(jié)構(gòu)為例，簡要概述有限元實施的步驟和基本方法。22平面桁架單元分析步驟整體坐標(biāo)系標(biāo)系如圖，桿件的彈性模量為E，泊松比為，截面半徑為R，長度為，分LJIYX,別為I節(jié)點和J節(jié)點上沿X和Y方向的節(jié)點力，分別為I節(jié)點上沿X和Y方向的IVU,節(jié)點位移，分別為J節(jié)點上沿X和Y方向的節(jié)點位移，為桿與X軸正方向夾JVU,角，分別為I和J節(jié)點沿桿軸方向的節(jié)點位移。采用一次線性位移插值模式函數(shù),IJ221整體坐標(biāo)系任意位置下桿單元的坐標(biāo)表示（是任意的）（23COSINCOSINIIIIIJJJJUUVV）整體坐標(biāo)系表示（24COSIN00COSINIIJJUUV）222位移整體的位移表示（25COSIN00COSINCOSINCOSINIIJJIIJJIIJJJUUXNUVUVNN）其中為單元形函數(shù)，為桿單元長度,IJNL223應(yīng)變桿單元應(yīng)變的向量表示（261COSIN00COSIN1COSINCOSINIJIJIJULUVLUVL）虛應(yīng)變的向量表示（271COSINCOSINIEJUVBL）224單元節(jié)點位移向量單元節(jié)點的位移向量表示如下（28）IEJUV225應(yīng)變位移矩陣應(yīng)變位移矩陣表示（291COSINCOSINBL）226應(yīng)力應(yīng)力矩陣表示（210）EBE227虛位移虛位移表示（211）IIEJJUV228單元節(jié)點力向量單元節(jié)點向量表示（212）IEJXYF229虛功桿系結(jié)構(gòu)中虛功表示方法（213IIJJIIIJJJEWXUYVUYVXYF）2210虛應(yīng)變桿系結(jié)構(gòu)中虛應(yīng)變表示方法（214）EB2211虛變形能桿系結(jié)構(gòu)中虛應(yīng)變能表示方法（215VEELALEEEUDBEDALK）2212單元剛度矩陣桿系結(jié)構(gòu)中單元剛度矩陣表示方法（216）ELAKBEDLAB2213變體虛功原理桿系結(jié)構(gòu)中變體虛功原理表示方法（由能量守恒定律，作用在結(jié)構(gòu)上的虛功與虛變形能相等）（217）UW由上述式子推導(dǎo)求得可知（上面式子帶入變體虛功原理）（218EEEKF）如圖由虛位移的任意性，可得下列式子虛位移的任意性（219）EEKF2214單元平衡方程任意單元剛度矩陣的表示方法（220121342341243IIJJUXKVY）2215單元剛度矩陣性質(zhì)單元剛度矩陣具有對稱性，半正定性，如下式子表示可知（2212222COSINSINCOSINSICOCICOSININSCOSINSOINIIISEKEALBLEAL）（222010EEAKL時）23平面桁架實例分析1234UVUV如圖，桿件的彈性模量為E，泊松比為，截面半徑均為R，長度均為，此模型L中有四個節(jié)點，五個單元，左端為固定鉸支座，右端為滑動鉸支座，分別為方向的節(jié)點位移，P為外荷載。,1,234IUVYX,離散把桿系結(jié)構(gòu)離散為五個桿單元，以便于分析和計算。一單元劃分每個桿單元為一個獨立的單元，各個桿單元之間相互鉸接，且桿二單元只承受軸力（忽略彎矩的影響），采用一次線性位移插值模式函數(shù)。節(jié)點編號每個桿單元有兩個節(jié)點編號（兩個桿端所在位置編號），相鄰單三元節(jié)點編號有重合，但受力按照材料力學(xué)橫切面內(nèi)力來區(qū)別。231單元1單元1的單元剛度矩陣局部向量方程表示（22311112342312114243UKXVY）單元1的單元剛度矩陣整體向量方程表示（224）111123422312114243340000UKXVYUV232單元2單元2的單元剛度矩陣局部向量方程表示（2252221113413323224143UKXVY）單元2的單元剛度矩陣整體向量方程表示（226）222111341222233134344000000UKKXVYUVKKY233單元3單元3的單元剛度矩陣局部向量方程表示（22733331214233234124UKXVY）單元3的單元剛度矩陣整體向量方程表示（228）1333241224313332421400000000UVKXYUV234單元4單元4的單元剛度矩陣局部向量方程表示（22944441213232444123UKXVY）單元4的單元剛度矩陣整體向量方程表示（230）144433122344413124200000000UVKKXYUVKKY235單元5單元5的單元剛度矩陣局部向量方程表示（2315553121343234555441243UKXVY）單元5的單元剛度矩陣整體向量方程表示（232）144433122344413124200000000UVKKXYUVKKY236節(jié)點受力分析如圖所示分別為1節(jié)點方向上的外力；為作用在4節(jié)點方向的1,XYR,XY4YRY外力；分別為與1節(jié)點相連的1單元作用在1節(jié)點方向上的力，分1,XY,X21,XY別為與1節(jié)點相連的2單元作用在1節(jié)點方向上的力；分別為與2節(jié)點相,12XY連的1單元作用在2節(jié)點方向上的力；分別為與2節(jié)點相連的3單元作用,XY32XY在2節(jié)點方向上的力；分別為與2節(jié)點相連的4單元作用在2節(jié)點方,XY42XY,XY向上的力；分別為與3節(jié)點相連的3單元作用在3節(jié)點方向上的力；3XY,XY分別為與3節(jié)點相連的2單元作用在3節(jié)點方向上的力；分別為與23,XY53,XY3節(jié)點相連的5單元作用在3節(jié)點方向上的力；分別為與4節(jié)點相連的4,XY4XY單元作用在4節(jié)點方向上的力；分別為與4節(jié)點相連的5單元作用在4節(jié),XY54XY點方向上的力。,XY（233）一121XYXRY二（234）134220（235）三2350XYP（236）四454YR237方程組裝按照對應(yīng)法則，將各個單元的剛度矩陣整體向量方程疊加在一起，組成總的結(jié)構(gòu)整體剛度矩陣向量方程，如下所示12121122341314224334433313211144234414225130KKKK1255511332223244314132555544410UVUVKK1123412534450XYYRXYPXRY（237）238整體剛度矩陣特點整體剛度矩陣有如下特點1對稱2帶狀3半正定（238）121341561782223334124345647855566671273475678888KKKKKK239位移邊界約束在方程總加入位移邊界約束條件，可得如下（239）121341561782223334124345647855566671273475678888KKKKKK1134400XYYRUVUPVR為1節(jié)點方向的外力，為4節(jié)點方向的外力，P為外荷載1,XYR,XYYRY2310求解方程第3章擴展有限元基本理論分析擴展有限元是20世紀(jì)數(shù)值分析計算領(lǐng)域中最杰出的成果，至今它仍在諸多計算領(lǐng)域中發(fā)揮作用。有限元采用連續(xù)函數(shù)作為形函數(shù)，要求在單元內(nèi)部形狀函數(shù)連續(xù)且材料性能不能跳躍，對于處理像裂紋這樣的不連續(xù)問題時，需要將裂紋面設(shè)置為單元的邊、裂尖設(shè)置為單元的結(jié)點、在裂尖附近不連續(xù)體的奇異場內(nèi)需進(jìn)行高密度網(wǎng)格劃分以及在模擬裂紋擴展時需要不斷的進(jìn)行網(wǎng)格的重新劃分，使得有限元程序設(shè)計相當(dāng)復(fù)雜，且效率極低。在處理多裂紋問題時，其求解規(guī)模之大、網(wǎng)格剖分之難是不可想象的。1999年以來，在有限元框架內(nèi)發(fā)展起來的擴展有限元法XFEM，以解決不連續(xù)問題為著眼點，對常規(guī)有限元在求解裂紋問題時所遇到的困難提出了近乎完美的解決方案，擴展有限元是迄今為止求解不連續(xù)力學(xué)問題最有效的數(shù)值方法，它在標(biāo)準(zhǔn)有限元框架內(nèi)研究問題，在單位分解的基礎(chǔ)上保留了傳統(tǒng)有限元的所有優(yōu)點，且不需要對結(jié)構(gòu)內(nèi)存在的幾何或者物理界面進(jìn)行網(wǎng)格剖分。31單位分解法（PUM）1996年MELENK和BABUSKA及DUARTE和ODEN先后提出了單位分解法（PUM），其基本思想是任意函數(shù)都可以用域內(nèi)一組局部函數(shù)表示，即XINX（31）INX式子中，是有限元形函數(shù)，它形成一個單位分解，基于此，可以IN1INX對有限元形函數(shù)加以改進(jìn)。單位分解函數(shù)從構(gòu)造方法上看，其著眼點在于先分片盡可能精確的將局部函數(shù)逼近真實函數(shù)，再將各片“粘合”，從而形成對函數(shù)的全局逼近?？臻g上的局部逼近既可以通過分片變小H型實現(xiàn)，也可以通過在局部逼近中有良好特性的P型實現(xiàn)。如果單位分解中的局部逼近空間選作多項式空間，PUM就可以看作是經(jīng)典H型和P型的推廣，以這種方式構(gòu)造的PUM空間在逼近特征上與傳統(tǒng)有限元空間非常相似。這種方法由于采用了有限元網(wǎng)格，同時也帶來了其它頗具吸引力的新特點這種方法自由度全部定義在結(jié)點上，不同于P型方法自由度主要定義在單位區(qū)域內(nèi)，且不同的結(jié)點可以有不同階次的多項式，也可以是非多項式，非常靈活。這是對P型有限元一大發(fā)展。單位分解聯(lián)系局部到整體分析，不存在非協(xié)調(diào)問題，即不像傳統(tǒng)有限元模擬裂紋時單元之間存在不協(xié)調(diào)性。本文采用擴展有限元方法模擬裂紋的擴展是基于單位分解的思想基礎(chǔ)進(jìn)行的。PUM的基本原理，給定重疊分片，它構(gòu)成區(qū)域D的覆蓋令為定義在II覆蓋上的單位分解。在每一片上，用函數(shù)空間反映局部逼近，那么，總體試探空間IVV由V給出空間上的局部逼近既可通過分片變小H型實現(xiàn)，也可通過IIV的良好特性P型實現(xiàn)?？傮w空間V既繼承了局部空間的逼近特性，也繼承了單II位分解以及空間的光滑性，總體空間V可通過恰當(dāng)選取單位分解使之協(xié)調(diào)，并通I過使用足夠光滑的單位分解很容易地構(gòu)造出更光滑的試探空間，對板殼模型這一點是必須的。在PUM實施過程中需要注意三方面問題1PUM中形狀函數(shù)的積分。2尋求PUM空間的基，控制PUM所產(chǎn)生的剛度矩陣的條件數(shù)。3強制邊界條件的實現(xiàn)。以上三點在無網(wǎng)格法中也必須注意。32不連續(xù)位移場的建立擴展有限元的最基本的思想就是用一些附加函數(shù)來改進(jìn)傳統(tǒng)有限元位移空間符合單位分解概念的向量函數(shù)U的逼近具有下列形式（32）XHNIMIAX11式中，為有限元形函數(shù)，為改進(jìn)函數(shù)，表示改進(jìn)函數(shù)的個數(shù)，根據(jù)式IN（32），有限元空間（，其他）將是改進(jìn)空間的子空間。1I0321裂紋貫穿單元位移模式裂紋把單元貫穿圖31裂紋貫穿單元如圖31所示，裂紋貫穿單元的位移場為XUJJJJKUXNXUBHX（33）式中，是節(jié)點位移向量的連續(xù)部分（即與CFEM相同的部分），是被裂紋分割JJB單元的改進(jìn)自由度（每個自由度方向增加一個自由度），為被裂紋分割的所有節(jié)K點集。為節(jié)點的形函數(shù)，HX為HEAVISIDE函數(shù)。在裂紋上端，HX取1在裂紋JN下端，HX取1。用HX函數(shù)反映裂紋分割單元的位移不連續(xù)性，表達(dá)式為34，在圖31中，被裂紋分割單元的結(jié)點集，用方形符號10XNH（34）式中，為考察點，為裂紋上靠最近的一點，為處裂紋的單位外法線向XXXNX量。322裂紋尖端所在單元的改進(jìn)裂尖單元圖32含有裂尖的單元改進(jìn)如圖32所示，裂紋尖端單元的位移場為XU41LMMKUXNDB（35）式中，是節(jié)點位移向量的連續(xù)部分，為裂尖單元改進(jìn)自由度（每個自由度MULMD方向增加四個自由度），為網(wǎng)格中所有單元的節(jié)點集。是與裂尖單元有關(guān)單元的IK節(jié)點集。為裂尖單元節(jié)點的形函數(shù)，用裂尖函數(shù)反映裂尖單元的位移不連續(xù)NXBL性。在圖32中，用圓形符號表示裂尖單元，一個節(jié)點如果同時屬于裂尖單元和被裂紋分割單元時，這優(yōu)先屬于裂尖單元。裂尖函數(shù)XBL41,SIN,COS,INSI,COSIN222LLRRRRR（36）式中第一個函數(shù)在橫穿裂紋時不連續(xù)。（）是局部裂尖場坐標(biāo)系2SINR,R統(tǒng)中的極坐標(biāo)。引入裂尖函數(shù)的目的如果裂紋在單元內(nèi)部停止，用HEAVISIDE函數(shù)改進(jìn)裂尖單元將不再準(zhǔn)確，因為這樣做，裂尖就被模擬為好像延伸到了單元的邊上。裂尖函數(shù)就是用來保證裂紋精確地終止在單元內(nèi)部使用線彈性漸進(jìn)裂尖場作為改進(jìn)函數(shù)是恰當(dāng)?shù)?，一方面由于它具有正確的裂尖性態(tài)，另一方面它的使用可在相對粗糙的二維有限元網(wǎng)格上獲得較好的精度。323含任一裂紋的位移場UX裂尖裂尖圖33含有兩個裂尖的單元改進(jìn)14122LJIMIJLIIJKMKLAUXUDNXXHNBXVV（37）式中、為節(jié)點的形函數(shù)，為網(wǎng)格中所有單元的節(jié)點集。（）IJMI,IUV是節(jié)點位移向量的連續(xù)部分，是被裂紋分割單元的節(jié)點改進(jìn)自由度，（12,JA）為裂尖單元的節(jié)點改進(jìn)自由度。為被裂紋分割的所有單元的節(jié)點集，用12,LMDK方形符號表示，為裂尖改進(jìn)單元的節(jié)點集，用圓形符號表示。K式（37）表明，若單元中沒有裂紋經(jīng)過，則該單元的位移場為等式右邊第一項；若單元被裂紋貫穿，則該單元的位移場為等式右邊的前兩項；若單元是裂尖所在單元，則該單元的位移場為等式右邊第一項和第三項之和。由上述位移模式可知，為了在常規(guī)有限元位移模式中考慮裂紋對位移的影響，需對裂紋周圍的節(jié)點自由度進(jìn)行加強。加強節(jié)點通過水平集函數(shù)自動搜索。綜上所述，對于平面問題，裂紋完全貫穿的單元，在常規(guī)每個自由度方向增加1個自由度，其每個節(jié)點的自由度為4個；裂縫尖端所在的單元，在常規(guī)每個自由度方向增加4個自由度，其每個節(jié)點的自由度為10個。33離散方程的建立331虛功方程位移模式構(gòu)造后，可以和常規(guī)有限元方法一樣，由虛功原理推到擴展有限元的支配方程。假設(shè)結(jié)構(gòu)產(chǎn)生了一個允許的虛位移，其虛功方程為HUHHHBSUCDFUDF（38）式中，和分別為分布體力、分布面力和集中力；為彈性矩陣；BFSC為應(yīng)變。U332支配方程擴展有限元的支配方程為KUR（39）式中為整體剛度矩陣，由單元剛度矩陣集合而成KUAUBIJIJIJEIJBIJIJIJK（310）311ETRSRSIJIJKBDD,RSUAB分別代表單元位移向量的連續(xù)部分、被裂紋分割單元和裂紋尖端所在單元,UAB的節(jié)點改進(jìn)自由度；代表單元節(jié)點數(shù)目。分別為是常規(guī)應(yīng)變矩陣，裂紋,IJ,UABII穿過單元以及裂紋尖端單元的附加應(yīng)變矩陣。0IUIIIINXBYX1,234I（312）0IIAIIINHXBYX1,234I（313）1112223334440000TIIIIIIIIBIIIIIIIIINNXYXXYNXBXYXNNXYX1,234I（314）為整體荷載列陣，由單元荷載列陣集合而成R1234,TEUABBIIIIRRR（315）式中為常規(guī)單元的荷載列陣向量；，分別為被裂紋穿過UIAI1234,TBBIIR單元和裂尖單元的荷載附加列陣；在無裂紋穿過單元荷載列陣取第一項，由裂紋穿過單元荷載列陣取前兩項，裂紋尖端所在單元取除第二項之外的其余所有項。EUIISIBIRNFDNF（316）EAIISIBIRHDDH（317）EBAIIASIABIARNFDDNF（318）上述式中為面力，為體力，為集中力。SB333形函數(shù)偏導(dǎo)形函數(shù)的偏導(dǎo)形式為IIIINHXY（319）1,234,IJJIJIIJJIJINXXYY（320）裂紋與X軸夾角為裂紋X1軸與R軸夾角為圖34裂紋的局部坐標(biāo)裂尖函數(shù)要對整體坐標(biāo)（X,Y）求偏導(dǎo)數(shù)，需先轉(zhuǎn)換成對坐標(biāo)（X1,X2）求偏導(dǎo)，如J圖34所示12COSINJJJXX（321）12SINCOSJJJYX（322）為了計算和（J1，2，3，4），可先計算和，和及和1JXJJRJ1RX2RX，其中為裂縫尖端切線與軸夾角。2XX1SIN2XR（323）21COSXR（324）313SIN2XR（325）413COSIN2XR（326）12COSXR（327）21SINXR（328）3213SINCOS2XR（329）4213COSCOS2XR（330）34水平集法（LSM）341基本概念水平集法是一種確定界面位置和追蹤界面移動的數(shù)值技術(shù)，該方法中，界面可以用比界面維數(shù)高一維的函數(shù)的零水平集表示，界面的變化方程可以表示成,XT關(guān)于變化的方程。移動界面可表示為函數(shù)的水平集曲線2R,XT，其中2,0TT的移動可由的演化方程得到T0,TFX給定其中，是界面上點在界面外法線方向的速度。FT342水平集對裂紋的描述水平集函數(shù)常取下列符號距離函數(shù)，即,MINXTT若位于所定義的裂紋上側(cè)，上式前面的符號取正，否則取負(fù)。如圖35所示XT考察點位于裂紋面上方時,INXTT裂紋面X考察點位于裂紋面下方時,MINXTT圖35裂紋面及考察點處的水平集函數(shù)35積分方案由于擴展有限元在裂紋經(jīng)過單元不需要網(wǎng)格的重新劃分，所以在裂紋經(jīng)過單元采用和常規(guī)有限元相同數(shù)目的積分顯然是不能達(dá)到要求的。為了保證積分的精度，采用以下積分方案（1）沒有節(jié)點加強的單元，其積分方案和常規(guī)有限元中的積分一樣，采用2X2個高斯積分點。（2）沒有裂紋穿過，若由HEAVISIDE函數(shù)加強節(jié)點的單元，采用2X2個高斯積分點，若有裂尖函數(shù)加強節(jié)點的單元，采用4X4個高斯積分點。（3）在裂紋貫穿單元，裂紋將單元分為兩個子域，分別由每個子域的角點形成DELAUNAY三角形，每個三角形內(nèi)采用三個高斯積分點。（4）在裂紋尖端單元，縫尖延長，將單元分為兩個子域，將裂尖點與裂尖單元四個角點相連，由此將該子域劃成六個三角形單元圖38偽，在每個三角形單元內(nèi)采用13個高斯點積分。在積分時將積分區(qū)分為這些三角形，并不增加整體的自由度數(shù)，只是積分的需要。在積分方案中，采用了將單元劃分為若干子單元的方法進(jìn)行積分，這與傳統(tǒng)有限元模擬不連續(xù)問題所采用的網(wǎng)格細(xì)分或重新劃分有所不同，下面討論兩者之間的區(qū)別。網(wǎng)格重構(gòu)的核心是增加逼近基函數(shù)數(shù)目，擴充離散空間，通過對奇異性附近網(wǎng)格的加密來改善逼近能力。網(wǎng)格重構(gòu)要求基函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在任何單元上不能太大，由于形狀糟糕的單元對有限元方法的精度和收斂性會產(chǎn)生很大影響，裂紋裂紋單元裂尖子單元A被裂紋分割單元B裂尖所在單元圖36裂紋單元的積分方案均勻性條件一般通過強制約束單元形狀得以采用滿足。擴展有限元單元分解與網(wǎng)格重構(gòu)的不同反映在以下幾個方面（1）在XFEM中，單元分解的目的是進(jìn)行數(shù)值積分，在離散空間中并不引入額外自由度。2由于基函數(shù)與結(jié)點相連，它們維系在母單元上而不是在子三角形上，因而XFEM對分解所得的單元形狀沒有限制。36擴展有限元法應(yīng)用擴展有限元（EXTENDEDFINITEELEMENTMETHOD）是基于單位分解的思想在常規(guī)有限元位移模式中加進(jìn)一些特殊的函數(shù)，即跳躍函數(shù)和裂尖漸近位移場，從而反映裂紋的存在。擴展有限單元法將結(jié)點位移分為常規(guī)位移和加強位移兩部分，加強位移是由于裂紋的存在而產(chǎn)生的，采用跳躍函數(shù)和漸近裂尖位移函數(shù)來模擬。在XFEM中，不連續(xù)裂紋面與計算網(wǎng)格是相互獨立的，劃分單元時不依賴于裂紋的幾何界面，在裂紋擴展后也不要重新劃分網(wǎng)格，因此能方便地分析不連續(xù)力學(xué)問題1XFEM在計算斷裂力學(xué)中的研究與應(yīng)用XFEM問世后在國際上引起了極大關(guān)注，得到了快速發(fā)展和廣泛應(yīng)用。KARIHALOO和XIAO1綜述了XFEM在靜態(tài)和擴展裂紋問題中的應(yīng)用，并與早先提出的廣義有限元GFEM進(jìn)行了比較。SUKUMAR等2用XFEM對任意材料細(xì)觀結(jié)構(gòu)準(zhǔn)靜態(tài)裂紋擴展問題進(jìn)行了模擬，并提出了一種用新的約束三角化算法形成初始有限元網(wǎng)格。NAGASHIMA等3采用XFEM研究了雙材料界面裂紋問題的應(yīng)力強度因子的計算。SUK切MAR等4把XFEM用于研究三維裂紋問題中，采用單位分解概念，在傳統(tǒng)有限元的逼近中增加了不連續(xù)函數(shù)和二維裂紋的裂尖漸近位移場，解決裂紋存在問題。STOLARSKA等5把水平集法LSM和XFEM結(jié)合起來研究裂紋擴展問題，LSM用以表征裂紋和裂尖位置，XFEM用于計算應(yīng)力和位移，以確定裂紋擴展率。DAUX等6利用XFEM研究了任意源自孔洞的分支和交叉裂紋，根據(jù)不連續(xù)幾何特征的相互作用，對逼近空間進(jìn)行了改進(jìn)。MOES等7,8利用XFEM研究了非共面三維裂紋擴展問題，其中不但使用了HEAVISIDE跳躍函數(shù)表征裂紋，而且引入了分支函數(shù)表示裂紋波前以改善方法的精度。CHESSA等10通過擴展應(yīng)變法改善了擴展有限元自由度和標(biāo)準(zhǔn)有限元自由度混合出現(xiàn)始時單元的性能。DOLBOW等11利用XFEM求解了板的斷裂問題，提出了一種恰當(dāng)形式的相互作用積分。DOLBOW和GOS12用XFEM研究了功能梯度材料中的混合型應(yīng)力強度因子。JRTHOR6等14,15采用XFEM模擬動態(tài)裂紋的擴展，其正確性通過與理論解或試驗數(shù)據(jù)得到驗證。對動載荷的靜態(tài)裂紋，該方法具有靜態(tài)情況一樣的優(yōu)點對移動裂紋，證明該方法是穩(wěn)定的且能滿足能量守恒。TMENOULNARD等16采用XFEM模擬動態(tài)裂紋擴展，他們得到了這樣的結(jié)論XFEM模擬動態(tài)裂紋擴展時，采用合適的時間步，可以使用顯示時間積分技術(shù)。TEDBELYTSCHK。等17采用XFEM和水平集模擬率無關(guān)材料的動力開裂。TEDBELYTSCHK。等18采用XFEM模擬彈性動力裂紋擴展。BPRABEL等19采用XFEM模擬彈塑性介質(zhì)中的動態(tài)裂紋擴展，數(shù)值模擬和試驗結(jié)果一致。JEONG一HOONSONG等20通過重新安排XFEM基函數(shù)和結(jié)點自由度，用疊置單元和虛結(jié)點描述不連續(xù)體。算例表明該方法模擬動態(tài)裂紋的擴展具有有效性和健壯性。GOANGSEUPZI等21采用XFEM模擬動態(tài)裂紋的擴展，數(shù)值分析表明XFEM能很好地捕捉?jīng)_擊載荷下混合模式斷裂的實驗現(xiàn)象。JOHNDOLBOW等9采用XFEM模擬摩擦接觸裂紋的擴展，接觸面采用三種不同的非線性本構(gòu)關(guān)系完全接觸、摩擦接觸和無摩擦接觸，用LATIN法迭代求解非線性邊值問題，數(shù)值結(jié)果和解析解或?qū)嶒灲Y(jié)果吻合得很好。ARKHOEI和MNIKBAKLLT13采用只用跳躍函數(shù)加強的XFEM模擬摩擦接觸引起的不連續(xù)問題。基