第九章__雙因素和多因素方差分析.ppt

1、第九章 雙因素和多因素方差分析,學(xué)習(xí)目標,掌握：兩因素交叉分組（有重復(fù)觀察值、無重復(fù)觀察值）資料的方差分析方法。 熟悉：多因素試驗線性模型和不同變異來源期望均方構(gòu)成。 了解：缺失數(shù)據(jù)的估計原理及方差分析方法。,講授內(nèi)容,第一節(jié) 雙因素方差分析概述 第二節(jié) 不同實驗類型的雙因素方差分析 第三節(jié) 多因素試驗的方差分析 第四節(jié) 缺失數(shù)據(jù)的估計 第五節(jié) 數(shù)據(jù)變換,第一節(jié) 雙因素方差分析概述,一、雙因素試驗匯中的幾個基本概念 1、主效應(yīng)（main effect）：各實驗因素相對獨立的效應(yīng)，該效應(yīng)水平的改變會造成因素效應(yīng)的改變，如包裝方式對果汁銷售量的影響。 2、互作效應(yīng)（interaction）：兩個或

2、多個實驗因素的相互作用而產(chǎn)生的效應(yīng)。,3、無交互作用的雙因素方差分析或無重復(fù)雙因素方差分析(Two-factor without replication)：兩個因素對試驗結(jié)果。兩個因素對試驗數(shù)據(jù)的影響。 4、有交互作用的雙因素方差分析或可重復(fù)雙因素方差分析 (Two-factor with replication)：如果兩個因素對試驗數(shù)據(jù)的單獨影響外，兩個因素的搭配還會對結(jié)果產(chǎn)生一種新的影響。,二、雙因素交叉分組試驗設(shè)計的描述,（一）雙因素試驗的數(shù)據(jù)描述 （二）觀測值的描述 （三）平方和與自由度的分解 （四）平方和的簡便計算公式 （五）各項均方的計算,（一）試驗數(shù)據(jù)的描述,（二）觀測值的描述,

3、對于上表中的每一個觀測值可用線性統(tǒng)計模型描述,（三）平方和與自由度的分解,1、平方和的分解 總平方和SST被分解為A因素所引起的平方和SSA、B因素所引起的平方和SSB、AB交互作用所引起的平方和SSAB、誤差平方和SSe,A因素誤差平方和 B因素誤差平方和 AB交互作用誤差平方和 隨機誤差項平方和,2、平方和的分解 與平方和相應(yīng)的自由度分別為： 總自由度：dfT=abn-1 A因素處理間自由度：dfA=a-1 B因素處理間自由度：dfB=b-1 交互作用自由度：dfAB=(a-1)(b-1) 處理內(nèi)自由度：dfe=ab(n-1) dfT=dfA+dfB+dfAB+dfe,（四）平方和的簡便計

4、算方式,（五）各項均方的計算,第二節(jié) 不同實驗類型的雙因素方差分析,一、固定模型 （一）重復(fù)試驗時的雙因素方差分析 1、觀察值的線性統(tǒng)計模型 2、提出假設(shè),3、檢驗統(tǒng)計量的計算 在F檢驗時，A因素、B因素和互作效應(yīng)的檢驗統(tǒng)計量均以MSe做分母：FA=MSA/MSe FB=MSB/MSe FAB=MSAB/MSe 用F分布的上尾檢驗，拒絕域為FF 4、均方期望,（二）無重復(fù)實驗時的雙因素方差分析 1、觀測值的描述 2、提出假設(shè),3、檢驗統(tǒng)計量的計算 在F檢驗時，A因素、B因素的檢驗統(tǒng)計量均以MSe做分母 FA=MSA/MSe FB=MSB/MSe 用F分布的上尾檢驗，拒絕域為FF,（三）交互作用

5、的判斷,Tukey提供的方法進行因素間是否存在交互作用的判斷 P150,二、隨機模型 1、觀察值的線性統(tǒng)計模型 2、提出假設(shè),3、檢驗統(tǒng)計量的計算 在F檢驗時，A因素、B因素主效應(yīng)的檢驗統(tǒng)計量是以MSAB做分母；互作效應(yīng)的檢驗統(tǒng)計量以MSe做分母 FA=MSA/MSAB FB=MSB/MAB FAB=MSAB/MSe 用F分布的上尾檢驗，拒絕域為FF 注意：檢驗統(tǒng)計量的分母與統(tǒng)計量的第二自由度與固定效應(yīng)不同,4、均方期望,三、混合模型（以A為固定因素、B為隨機因素為例） 在混合模型中，A、B因素的效應(yīng)為非可加性， 為固定效應(yīng)， 為隨機效應(yīng) 對A做檢驗時用隨機模型，對B及AB交互效應(yīng)做檢驗時用固

6、定模型。 P177,例1：隨機選擇4個小麥品種，施以三種肥料，小區(qū)產(chǎn)量列于下表，該問題屬于哪種模型？從方差分析的結(jié)果可得出什么結(jié)論？,題解,解：本題影響產(chǎn)量的因素包括肥料種類和小麥品種。該問題屬于混合模型中無重復(fù)的兩因素分組交叉分析。,小麥品種間差異極顯著，肥料間無顯著差異。,例2：用兩種不同的飼料添加劑A和B，以不同比例搭配飼養(yǎng)大白鼠，每一種飼料添加劑取4個水平，每一處理設(shè)兩個重復(fù)。大白鼠增重結(jié)果列于下表。請進行統(tǒng)計分析，并回答下列問題。,該實驗有可能屬于哪幾種模型？前提是什么？ 如果認為是隨機模型，設(shè)置重復(fù)與不設(shè)重復(fù)對分析結(jié)果有無影響？ 若實驗本身是固定模型，但分析時誤認為隨機模型，對結(jié)論

7、有何影響？若不設(shè)重復(fù)，又有何影響？,題解：（1）該實驗可能屬于固定模型、隨機模型、混合模型。取決于添加劑本身的性質(zhì)，即添加劑的效果能否嚴格重復(fù)。 （2）分析：固定模型下：,查F分布表：,所以FA、FB、FC均達極顯著，所以大白鼠增重與添加劑A、B及其交互作用都有顯著關(guān)系。,隨機模型下： 查F分布表： FA顯著但未達極顯著，F(xiàn)B不顯著，F(xiàn)AB極顯著。 所以大白鼠增重與A、AB的交互作用有顯著關(guān)系。 綜合上面可知，隨機模型和固定模型對主效應(yīng)的認識不同；若不設(shè)重復(fù)，對固定模型，統(tǒng)計檢驗無法進行。,第三節(jié) 多因素試驗的方差分析,一、觀測值的描述 假設(shè)在一個試驗中，A因素有a個水平，B因素有b個水平，C

8、因素有c個水平，每個因素有n次重復(fù)，那么觀測值的線性統(tǒng)計模型為,A3,B1,A3,B1,(a) 無交互效應(yīng) (b) 有交互效應(yīng),圖中每條曲線代表B因素的一個水平。若各曲線平行或近似平行，可認為無交互效應(yīng)，否則為有交互效應(yīng)。以上只是一種直觀的判斷，在多因素方差分析的過程中，我們對交互作用的有無也可進行統(tǒng)計檢驗。,交互效應(yīng),H01: i =0, i=1, 2, a H02:j=0, j=1, 2, b H03:()ij=0, i=1, 2, a, j=1, 2, b 備擇假設(shè)為: HA: 上述各參數(shù)中至少有一個不為0。(這實際上是三個備擇假設(shè)。),零假設(shè),方差分析的基本思想仍是總變差分解： 即：

9、SST = SSA + SSB + SSAB + SSe 自由度：abn-1 a-1 b-1 (a-1) (b-1) ab(n-1),總變差分解,均方數(shù)學(xué)期望,檢驗兩個主效應(yīng)及一個交互效應(yīng)的下述三個統(tǒng)計量中，分母全部采用MSe即可。 檢驗H01，H02，H03的統(tǒng)計量分別為：,檢驗H01，H02，H03的統(tǒng)計量,從前述的各均方期望可知，只有當各H0成立時，上述三個分子才是2的無偏估計量，此時各統(tǒng)計量均服從F分布；若某個H0不成立，則相應(yīng)的分子將有偏大的趨勢，從而使對應(yīng)的統(tǒng)計量也有偏大的趨勢，因此可用F分布上單尾分位數(shù)進行檢驗。,各效應(yīng)的估計值,其中i=1, 2 a, j=1, 2, b。,計算

10、公式,計算排列如下表： 表中最下一行是各列的平均，最右一列是各行的平均,計算步驟,方差分析表,把計算所得結(jié)果填入上表后，再根據(jù)各F統(tǒng)計量的自由度查出其F0.95及F0.99分位數(shù)，并將F計算值與相應(yīng)分位數(shù)相比，大于F0.95則在統(tǒng)計量F右上角標一個“*”號；大于F0.99則再加一個“*”號。最后用一句話對上述方差分析的結(jié)果加以總結(jié)，即哪些主效應(yīng)或交互效應(yīng)達到顯著或極顯著水平，哪些不顯著,F測驗,如果MSAB小于或約等于MSe，即FAB小于或約等于1，說明此時交互作用不存在，在這種情況下也可把MSAB和MSe合并在一起(即把平方和和自由度都合并)作為2的估計量，這樣可以提高檢驗的精確度。具體計算

11、公式如下,交互作用不存在,然后可用作統(tǒng)計量FA和FB的分母，對兩個主效應(yīng)進行統(tǒng)計檢驗。注意查表時分母自由度要相應(yīng)改變。,例3 選擇最適發(fā)酵條件,本題中顯然溫度是一個因素，原料種類是另一個因素。這兩個因素各有三個水平。由于它們的影響都是可控制、可重復(fù)的，因此都是固定因素。在同樣溫度、原料下所做的幾次實驗應(yīng)視為重復(fù)，它們之間的差異是由隨機誤差所造成的 。,固定因素,各處理平均數(shù),發(fā)酵實驗方差分析表,查F分布表，得：F0.95(2,27)F0.95(2,30)=3.316, F0.99(2,27)F0.99(2,30)=5.390, F0.95(4,27)F0.95(4,30)=2.690, F0.

12、99(4,27)F0.99(4,30)=4.018, FA,FB均達極顯著，標上“* *”，F(xiàn)AB只達顯著，標上“*”。因此酒精產(chǎn)量不僅與原料和溫度的關(guān)系極顯著，與它們的交互作用也有顯著關(guān)系。即對不同原料應(yīng)選用不同的發(fā)酵溫度。,F測驗,在固定效應(yīng)模型中，若各F統(tǒng)計量有達到顯著或極顯著水平時，常常還需要在各處理間進行多重比較，以選出所需要的條件組合。,各處理間進行多重比較,如果有交互作用存在，則一般需要把所有ab個水平組合放在一起比。比較的方法仍與單因素方差分析相同，最常用Duncan法。,當交互作用存在時，對固定模型若不設(shè)置重復(fù)，則無法把SSAB與SSe分開，這樣將無法進行任何統(tǒng)計檢驗。因此在

13、固定模型中有交互作用時，不設(shè)置重復(fù)的試驗是無意義時。 對固定模型來說，結(jié)論只能適用于參加實驗的幾個水平，不能任意推廣到其他水平上去。,幾點注意事項：,二、平方和與自由度的分解（P179） 三、檢驗統(tǒng)計量的計算 在各種模型中，要特別注意統(tǒng)計量F的計算一定要根據(jù)因素的性質(zhì)來決定。 對于固定因素主效應(yīng)做檢驗時用隨機模型，對隨機因素主效應(yīng)做檢驗時用固定模型。 四、各均方的數(shù)學(xué)期望,由于FAB1，為提高檢驗精度，可將SSAB與SSe合并：,查表，得：F0.95(2, 22) = 3.44, F0.99(2, 22) = 5.72, 由于FA = 12.77 F0.99(2, 22), FB = 14.2

14、1 F0.99(2, 22), 因此兩因素（飲料與窩別）的主效應(yīng)均達極顯著水平。交互效應(yīng)顯然不顯著。,四、方差分析的規(guī)律總結(jié) 一、假設(shè) (1) 對于固定效應(yīng)A的假設(shè)： (2) 對于隨機效應(yīng)B的假設(shè)： 二、平方和與自由度的分解 平方和的分解根據(jù)線性統(tǒng)計模型計算 自由度的分解規(guī)律如下：每一組因素主效應(yīng)的自由度為該因素的水平減1，每一交互作用的自由度是產(chǎn)生交互作用各因素的自由度的乘積，誤差自由度是各因素水平與重復(fù)數(shù)減1的乘積,三、均方期望的推演方法 （一）對均方期望做規(guī)律性規(guī)定 方差分析中均方數(shù)學(xué)期望的推導(dǎo)是選擇合適檢驗統(tǒng)計量的前提。以多因素實驗為例，均方期望的規(guī)律性做如下規(guī)定：,1、下標： 中的下標寫為 ，括號中的ijk為不同處理水平組合的下標，稱為 “活下標”；括號外的l和其他方差分量中的下標均稱為“活下標”。 2、固定模型中各因素的效應(yīng)分別改模型分量的平方和除以自由度表示，如A因素的效用 表示，,3、隨機模型中各因素的效應(yīng)分別以希臘字母為下標的方差表示，如A因素的效應(yīng)記為 ；B因素的效應(yīng)記為 ，AB交互作用的效應(yīng)記為 ，以上各量分別稱為各因素的