力學(xué)授課課件pdf第6章振動

1、力學(xué)第六章振動n 振動對于平衡系統(tǒng)的某種周期性的偏離n 狹義定義某種具有時間周期性的運動稱為振動n 機械振動物體（系統(tǒng)）在平衡位置附近作往復(fù)運動 其運動形式有直線、平面和空間振動. 例如一切發(fā)聲體、心臟、海浪起伏、地震以及晶體中原子的振動等.u 周期和非周期振動u 簡諧運動最簡單、最基本的振動.復(fù)雜振動簡諧運動合成分解u 諧振子作簡諧運動的物體.6.1 簡諧振動1. 簡諧振動的幾個例子例6.1 彈簧振子的運動受力f= -kxd 2 x即有mdt 2=f= -kx12勢能U ( x) =kxx +kmx2= 0x + wx令w =k則= 0m例6.1 彈簧振子的運動（續(xù)）解得x=Acos(wt

2、+j0 )v =x = -w A sin(wt + j 0 )0a = x = -w 2 A cos(wt +j)A、j是待定常數(shù)，由初始條件而定初始條件x |t =0 =x0,v |t =0 = v0x02+ 0v 2w2可得A =j0 = tg 0 -1 -v x0w 例6.1 彈簧振子的運動（續(xù)）n 是圓頻率（或角頻率）n 0稱為固有圓頻率（本征圓頻率），它僅與彈簧本身性 km0質(zhì)有關(guān)。w = w=n A為振幅，0為初相位，由初始條件決定。n 彈簧振子的振動圖示k:Xx一A A。 彈簧拫子F= -kxA。n 彈簧振子的振動圖示x = Acos(wt + j )積分常數(shù)，根據(jù)初始條件確定F

3、 = -kx = mxk令 w 2=mv = dx= -Aw sin(wt + j )d 2 x dt2= -w2 xdtd 2 xa =dt2= -Aw2 cos(wt + j )例6.2單擺對O點，僅有重力矩M = -mgl sinq = ml2q整理得到q +glsinq= 0 單擺運動并非嚴(yán)格意義的簡諧運動例6.2單擺（續(xù)）將sin展開sinq = q - 1 q 3 +1 q 5 -1 q 7 + 3!5!7!若很小，可取一級近似sin則方程變?yōu)閝 +g q= 0l可解得q = cos(w t + j 0 )例6.2單擺（續(xù)）gln 其中，w = w0它與單擺系統(tǒng)本身的屬性有關(guān)，與運

4、動狀態(tài)無關(guān)。n A為振幅，0 為初相位，由初始條件決定。例6.3復(fù)擺對O點，僅有重力矩M = -mgrc sinq -mgrcqM =I0q I0q= -mgrcq即I0q + mrc gq =0q +gq = 0I0mrc例6.3復(fù)擺（續(xù)）Imk 2k 2令r0= 0mrc=mrcrc則有q+g q= 0r0gr0又令w0 =0方程為q+ wq= 0可解得q =Acos(w0t + j0 )r0稱為等值擺長2. 簡諧振動表達式n 當(dāng)物體的和外力（力矩）正比于變量x的負值，F(xiàn)x，則有簡諧振動方程的形式x + w2 x= 0n 簡諧振動的運動數(shù)學(xué)表達式為x(t) = Acos(wt + j0 )

5、n 簡諧振動表達式p 簡諧振動的幾個特征參量振幅AA = xmax A表示振動的強弱，由初始條件確定；周期 T和圓（角）頻率 圓頻率，單位是弧度/秒 固有圓頻率0（也稱本征圓頻率），僅與力學(xué)系統(tǒng)屬性有關(guān)，與運動狀態(tài)無關(guān)n 簡諧振動表達式周期 T 和頻率 圓頻率。單位是弧度/秒 固有圓頻率0。僅與力學(xué)系統(tǒng)屬性有關(guān)，與運動狀態(tài)無關(guān) 頻率 / 2，單位：次/ 秒（Hz） 周期T1/ = 2/ ,單位秒相位 t + 0 0為初相位，又初始條件確定。n 簡諧振動表達式p 振幅A = xmaxp 周期、頻率x = Acos(wt + j )= Acosw(t + T) + j 注意：彈簧振子周期 周期T=

6、2mkwT= 2 頻率n= 1=w周期和頻率僅與振動系統(tǒng)本身的物理性質(zhì)有關(guān)T2 圓頻率w = 2n= 2 T相位 t + 0 相位j = wt + j0I. wt + j0 ( x, v)存在一一對應(yīng)的關(guān)系;II. 相位在02內(nèi)變化，質(zhì)點無相同的運動狀態(tài)；相差 2N（N為整數(shù)） 質(zhì)點運動狀態(tài)全同（周期性）;III. 初相位 j0 (t= 0)描述質(zhì)點初始時刻的運動狀態(tài)；IV. 0取值范圍：-或02x - t 圖n 簡諧振動的位移，速度和加速度的相位關(guān)系x = Acos(wt + j )A x2pT =w圖像中 j =0o- A vtTv - t 圖v = - Aw sin(wt + j )=

7、Aw cos(wt + j + p )2a = - Aw2 cos(wt + j )= Aw2 cos(wt + j+ )Awo- AwaAw 2o- Aw 2Tta - t圖Ttn A 和0 的確定x =Acos(wt + j0 )v = -Awsin(wt + j0 )A =x+2v200w2初始條件t= 0, x =x0 , v = v0x= Acosjtanj0=-v0wx000v0= -wAsinj0對給定振動系統(tǒng)，周期由系統(tǒng)本身性質(zhì)決定，振幅和初相由初始條件決定.3. 簡諧振動的描述方法(1) xt曲線圖示法 簡諧振動可以用三角函數(shù)表示，也可用圖6.1的曲線圖表示， 圖上已將振幅、

8、周期和初相標(biāo)出。圖6.1簡諧振動的x-t曲線表示法3.簡諧振動的描述方法(2) 振幅矢量法圖6.2振幅矢量法 簡諧振動還可以用旋轉(zhuǎn)振幅矢量（也稱相矢量）表示。 自原點畫一條長等于振幅的矢量A，t=0 時，矢量A與x軸的夾角等于振動的初位相，令A(yù) 以角速度（就是振動角頻率）逆時針方向旋轉(zhuǎn)， 則矢量在x軸上的投影就是振動的位移（如圖6.2）。3. 簡諧振動的描述方法(3) 復(fù)數(shù)法 利用三角函數(shù)與復(fù)數(shù)的關(guān)系，簡諧振動也可用復(fù)數(shù)表示x =Aei(wt+j0 )或x = Aeiwt 其中：A =Aeij0是復(fù)數(shù)，稱復(fù)振幅，它已包含了初位相。但要注意，有意義的是表達式的實部。4. 彈簧諧振子的能量n 動能

9、E= 1 mx2 = 1 mw2 A2 sin2 (wt + j )k220n 勢能E= 1 kx 2 = 1 kA2cos2 (wt + j)p22w 2 =km Ep= 1 mw 2 A220cos2 (wt + j0 )n 機械能E= E+ E= 1 mw 2 A2= 1 kA2簡諧振動的機械能是守恒的kP224. 諧振子的能量（續(xù)）n 機械能為常量，但Ek、EP隨時間作周期變化；n Ek、EP在運動過程中相互轉(zhuǎn)化 在平衡位置 在最大位移處，x = 0,x = 0,Ep = 0,Ek = 0,E = EkE = EP4. 諧振子的能量（續(xù)）EEPEk0/23/22t04.諧振子的能量（續(xù)

10、）n 振幅決定機械能2E = kA2，2E A2Ek2Emw2A2 = 2E=2E或A =kmw2n 在一個周期內(nèi)的平均值TE=1Edt =EkT0k 2TE=1Edt =EPT0p 24. 諧振子的能量（續(xù)）n 振幅的有效值A(chǔ)effA定義eff=1A =2Ek或E= kA2eff則E=E=E=kA2kP22eff6.2 振動的合成與分解n 簡諧振動是最簡單、最基本的振動，任何一個復(fù)雜的振動都可以看成若干個簡諧振動的合成。1. 方向、頻率相同，初位相不同的兩個簡諧振動的合成2. 方向相同，頻率不同的兩個簡諧振動的合成3. 方向垂直、頻率相同的兩個簡諧振動的合成（二維振動）4. 方向垂直、頻率不

11、同的兩個簡諧振動的合成，利薩如圖形5. 振動的分解、諧波分析（Fourier分析）6.2 振動的合成與分解1. 同方向，同頻率的兩個振動的合成設(shè)兩振動x1=x2=A1cos(wt A2 cos(wt+ j1 )+ j2 )合振動x = x1 + x2 =A1 cos(wt +j1 ) + A2cos(wt + j2 )= (A1cosj1 + A2 cosj2 )coswt -(A1sinj1 + A2 sinj2 )sin wt1. 同方向，同頻率的兩個振動的合成（續(xù)）令A(yù)1 cosj1 +A1 sinj1 +A2 cosj2A2 sinj2= Acosj= Asinj 合振動 合振幅tgj

12、 =A1sinj1 + A2 sinj2A1cosj1 + A2 cosj2 初相位x= Acos(wt + j )A =A2 + A2 + 2A A co（sj- j)111212 兩個同方向同頻率簡諧運動合成后仍為簡諧運動A2 + A2 + 2A Acos(j-j)121221討論A =1）相位差 Dj = j2-j1= 2k(k = 0，1， 2,L)xx ooTAA1t2 w Ax = ( A1 + A2 ) cos(wt +j)A = A1 + A2j = j2= j1+ 2kA2 + A2 + 2A Acos(j-j)121221討論A =2） 相位差Dj = j2 -j1 = (

13、2k +1)(k = 0，1, L)x =(A2 - A1) cos(wt +)x1 = A1coswtx2= A2cos(wt + )xxA =A1- A2Aj = j2j1 oo2TtAA2A2 + A2 + 2A Acos(j-j)121221討論A =1） 相位差 j2 -j1= 2k(k = 0，1，L)相互加強A = A1 + A22） 相位差 j2-j1= (2k +1)(k = 0，1，L)相互削弱A =A1 - A23） 一般情況A1+ A2 A A1- A2u 多個同方向同頻率簡諧運動的合成x1 =x2=A1 cos(wtA2 cos(wt+j1)AvA3j3vv jA2v

14、2oj1 A1x+ j2 )xn= An cos(wt + jn )x = Acos(wt +j)x = x1 + x2+L+ xn多個同方向同頻率簡諧運動合成仍為簡諧運動01x= Acoswtx= Acos(w+ Dj)20tx3= A0 cos(wt+ 2Dj)0Nvovvvvv AxA1A2A3A4A5A = Ai= NA0vivA DjA4vDjD3jA5vDjv OD A2ADj vj6Ax1A =0x= Acoswt + (N -1)Dj討論1）Dj= 2k(k = 0,1,2,L)2）NDj = 2k (kkN , k= 1,2,L)N個矢量依次相接構(gòu)成一個閉合的多邊形.2. 同

15、方向，不同頻率的兩個振動的合成設(shè)兩振動x1 =A1cos(w1t +j1 )x2 = A2 cos(w2 t +j2 )為簡單計算，又不失一般性，令A(yù)1 = A2 = A1j 1 = j 2 = j = 0合振動x = x+ x= 2Acos w1-w2 t cosw1 + w2 t1222n 討論若21，x = 2 Acos2 w2 t =2A + Acosw2t 若2 1， 21 x = 2 AcosDw2t coswt = A coswtA = 2 A cos Dw t2 這是隨時間緩慢變化的周期變量n 討論差拍p 差拍：由于頻率相近的簡諧振動合成而產(chǎn)生的振幅作緩慢周期性變化的現(xiàn)象稱為，

16、簡稱拍。p 拍的周期T拍，頻率v拍由2Acos(21)t/2 變化的周期滿足21 T拍 / 2即得T拍 = 2/ 21 v拍 21 / 2= v2v1 u 兩個同方向不同頻率簡諧運動的合成頻率較大而頻率之差很小的兩個同方向簡諧運動的合成，其合振動的振幅時而加強時而減弱的現(xiàn)象叫拍.x = x1 + x2x1 = A1cosw1t =A1cos 2n1tx2= A2 cosw2t = A2 cos 2 n 2t討論A1 =A2,n2 -n1 n1 +n 2 的情況合振動n 2+n12(2A cos 2 n 2-n1 t)12x = x1 + x2= A1 cos 2 n1t + A2 cos 2

17、n2tx =cos 2t振幅部分合振動頻率n 2 +n12(2A cos 2 n 2 -n1 t)12x =cos 2t振幅部分合振動頻率振動頻率n = (n+n2 )21n2 -n1Amax= 2A1振幅A =n2A1 cos 2t2-nAmin= 0221 T =T = 12n 2-n1n =n2 -n1 拍頻（振幅變化的頻率）3. 相互垂直同頻率簡諧振動的合成設(shè)兩振動x = A1cos(wt + j1)y = A2 cos(wt + j2 )解得運動軌跡（橢圓方程）xy2x2y22cos(j- j=j- jA 2 +A 2 -A A21)sin(21 )1212 橢圓的形狀由(j2-j1

18、) 決定u 兩個相互垂直的同頻率簡諧運動的合成x = A1 cos(wt + j1)y = A2cos(wt+ j2 ) 質(zhì)點運動軌跡（橢圓方程）x2+y2-2xycos(j-j=2 j-jA2A2A A21)sin(21 )Ay2xA1o1212討論1）j2 -j1= 0 或2y = A2xA1x2+y2-2xycos(j-j=2 j-jA2A2A A21)sin(21 )yAx1A2yA1xA2o1212AA2） j2-j1=y = -2x3）j2-j11= 2+x2y2= 1AAo2221x = A1y = A2coswtcos(wt + )2用旋轉(zhuǎn)矢量描繪振動合成圖兩相互簡垂諧直運同動

19、頻的率不成合同圖相位差4. 相互垂直，不同頻率簡諧振動合成n 若頻率成簡單的整數(shù)比，合成運動將沿一條穩(wěn)定的閉合曲線進行，曲線的形狀由分振幅、初相、初相差 和 頻 率 比 決 定 。 這 種 曲 線 稱 為 利 莎 如（Lissajous）圖形。u 兩相互垂直不同頻率的簡諧運動的合成李薩如圖11x = A1 cos(w t + j )y = A2 cos(w2t + j2 )1j= 0j2=0, 3,8482ww1= m測量振動頻率和相位的方法2n5. 振動的分解與頻譜分析（1） 周期運動的分解n 任一周期為T的運動可分解為一系列頻率為2/T 的整數(shù)倍的簡諧振動。（1）周期運動的分解設(shè)周期運動f

20、 (t) =f (t +T ),則af (t) = 0+ acos nwt +bsin nwt2n=1nnn=1或f (t)=A0 + Aco（snwt + jn） 2n=1n式中：2/ T 稱為基頻， nn 稱為諧頻。（1） 周期運動的分解（續(xù)）n 常數(shù)項A0為直流分量；2n N1的項A1 cos(wt+ j1 )為基頻成分;n N2的項n N項A2 cos(2wt An cos(nwt+ j2 )+ jn )為二次諧頻成分； 為n次諧頻成分； 以上是在時域空間描述 f (t)（1） 周期運動的分解（續(xù)）n 當(dāng)f(t)確定，必有唯一的一組an，bn，a0或A0，An與之對應(yīng)2a = Tt+T

21、tf (t)dt2 t +T2 t +TTTan =f (t) cos nwtdt，bn =f (t) sin nwtdtttbna2 + b2nnAn =， tanjn= - ann 一組an，bn，a0 或A0，An 是f(t)的頻譜。n an，bn，a0 是f(t)在頻域空間的描述。n 周期信號的頻譜是離散的。（2） 非周期運動的分解n 非周期振動，可視為T，或0。此時，用傅立葉積分（變換）進行分解。f (t) = a(w) coswtdw + b(w) sin wtdw00或f (t) =A(w) coswt0+ j (w)dwp式中a(w) =1f (t) coswtdt,b(w)

22、= 1p f (t) sinwtdt-a2 (w) + b2 (w)A(w) =, tanj= - b(w) a(w) 非周期信號的頻譜是連續(xù)的（3） 頻譜分析n 頻譜信號的各階諧頻與振幅的對應(yīng)關(guān)系n 將信號的各階諧頻和振幅進行分析就是頻譜分析例6.4電視機產(chǎn)生的鋸齒波可描述為f(t)=ht/T, 0tT其n階諧波的振幅An和頻率n為An=h/n，A0=hn=n=2n/TT2T3T4T5Ttn01234567n0234567Anhh/h/2h/3h/4h/5h/6h/7霞又二l18t ru 2 I-例6.5對單個矩形脈沖進行頻譜分析n 脈沖函數(shù)為 0- t - ttt2f (t) =h- t

23、22t 0 t 0過阻尼振動12x(t) = Ae-(b +bt）t+ A e-(b -bt）tb2- w20bt =1. 阻尼振動0欠阻尼振動w2- b20l= -b+ iw2 - b 2，l= -b- i102ww2 =2 - b 2120x = ( Aeiwt+A e-iwt )e-b t取實部x = A0e-btcos(wt + a ) v+ b x2w式中：A0 =x 2 +00 00a = tg -1 - v0 + b xw x01. 阻尼振動0臨界阻尼振動此時的方程解為x = (C+ C t)e-bt12n 阻尼的作用： b w0臨界阻尼：不可能振動，但趨于平衡最快； 過阻尼：不

24、可能振動，但趨于平衡變慢。xAO阻尼振動位移時間曲線Ae- b tAe -bt cos wtt(j = 0)ATm d 2 x + gdx+ kx = 0dt2Ae-b tx =w20-b2w =dtcos(wt + j )xoc三種阻尼的比較btawb0a） 欠阻尼22wb20b） 過阻尼2w0c） 臨界阻尼2= b 2臨界阻尼過阻尼t(yī)xO欠阻尼n 阻尼的作用： b w0臨界阻尼：不可能振動，但趨于平衡最快；過阻尼：不可能振動，但趨于平衡變慢。1. 阻尼振動能量的衰減E(t) = E+ E= 1 mx2 + 1 kx2kP22x = A 0e-btcos(wt + a )b eex = -

25、A- b t cos(wt + a ) - A w- b t sin(wt + a )000 - A w e-b t sin(wt + a )(b0)00 -2b tE(t) w -2b t 2 mA e= Ee=mwA0 0其中A=Ae- b t1. 阻尼振動一個周期內(nèi)，能量的損失dE =0-2b E e-2b tdtDE =t+T t-2b E0e-2btdt= -E0e-2bt (1- e-2bT )=2bTE0e-2bt(-2bT )2(e2bT= 1- 2bT+ 1- 2!2bT )0dE= -2bdtEe-2b t1. 阻尼振動品質(zhì)因數(shù)Q 值n 定義：振子的機械能Q2一個周期中損耗

26、的能量Q=2pE (t )=2pEe -2 b t2bTEe -2b tDE (t )w00=p=wo=m wbT2b2bgo Q-1 定義為內(nèi)耗例6.6有一單擺在空氣（室溫為 20C ）中來回擺動，其擺線長l =1.0m ，擺錘是一半徑 r=5.0 10 -3 m 的鉛球。求（ 1）擺動周期；（2）振幅減小10所需的時間；（3）能量減小10所需的時間；（4）從以上所得結(jié)果說明空氣的粘性對單擺周期、振幅和能量的影響。（已知鉛球密度為 = 2.65 10 3 kg.m-3，20C時空氣的粘度 =1.78 10-5Pa. s ）gl解（1）w0 = 3.13s-1Fr = -6prhv = -g

27、vw22- bb = g2m = 9h4r2r = 6.04 10-4 s-1b w0A 0(Ah 0)w2bwj tan-1 pp-w2p tan-1 0 = p4. 共振現(xiàn)象w2n 由p= w 2 - 2b 202發(fā)生振幅共振h2(wwA=2 - w2 )2 cosj + 4b 220pp對p求極值dA-h22(w 2 - w 2 )(-2w) + 8b 2w(w2- w)+ 4bw22220pp2A = dw0ppp= 0p4p (022 )820ppw02 + w2 + 2b 2= 0pwp=w02 2b 2wp= wr=w20- 2b 2振幅A達到極大，即振幅共振則有即解得4. 共振

28、現(xiàn)象 共振時的振幅Ar2bw20- b 2hAr= 共振時的相位差rw2 - 2b 20btgjr= -A共振頻率小阻尼阻尼 0大阻尼ow0wP共振振幅A=fr2bw2- b20共振頻率 w=w2-2b2r0共振演示實驗123456單擺1作垂直于紙面的簡諧運動時，單擺5將作相同周期的簡諧運動，其它單擺基本不動.p 共振頻率w=w2- 2b2r0p 共振振幅A=fr2bw2- b20p 共振現(xiàn)象在實際中的應(yīng)用 樂器、收音機n 共振現(xiàn)象的 1940 年7月1日美國 Tocama 懸索橋因共振而坍塌4. 共振現(xiàn)象n 品質(zhì)因數(shù)Q 共振時w 2= w 2= w2 - 2b 2w 2pr00(w0 b )

29、 一個周期的平均能量E= 1 mA2 (w2 + w 2 ) = 1 mw2 A24p020r 一個周期的外部輸入能量rDE = gwp A2p= gw0 A2p4. 共振現(xiàn)象 品質(zhì)因數(shù)QEQ=2pDE=2p2 A22mgw 0 A rp02mwrQ=g0=w02b6.4 二自由度振動體系與簡正模1. 問題的提出n 一個復(fù)雜的系統(tǒng)可視為由多個彈簧振子耦合在一起的系統(tǒng)，各振子有不同的固有頻率，整個系統(tǒng)將怎樣運動？n 系統(tǒng)可能以統(tǒng)一的頻率振動，統(tǒng)一的頻率由什么決定？2. 簡諧振動的復(fù)數(shù)表示簡諧振動的復(fù)數(shù)形式f (t) =Acos(wt +j0 )f (t) =Aei(wt+j0 )=Aeij0 e

30、iwt=Aeiwt A =Aeij0若f(t)表示位移，則速度和加速度為v =dfdtd 2= iwAeiwt fdf= iw f2a = iwdt 2dt= iw(iw f ) = -wf3. 舉例例6.7 圖為線形三原子分子A2B的模型。假定相鄰原子間的結(jié)合力是彈性力，它們正比于原子間距，求分子可能的縱向運動形式和相應(yīng)的振動角頻率?！窘狻繌淖蟮接以O(shè)三個原子的坐標(biāo)依次為x1、x2、x3， 則它們的運動方程為md 2 x12= -k(x1 - x2 );Adtd 2 xmBdt 22d 2 xm3Cdt 2= -k( x2- x1 ) -= -k(x3 - x2 )k( x2- x3 );j設(shè)

31、解具有復(fù)數(shù)形式：x= Ajeiwt( j = 1,2,3)代入上列方程，并消去公共因子eit，可得(w2 -k) A+kA+ 0 A= 0mm123AA123kA+ (w 2 -2k ) A+kA= 0mmm3m2m1B kB2 kB0 A+A+ (w-) A= 0AA該齊次方程組可解的條件是w 2 -kk0mAmAkw 2 -2kk= 0mBmBmB0kw 2 -kmAmA即(w2 -k)2 (w2 -2k) - 2(w2 -k)k= 02mAmBmAmAmB因式分解，得w w2-k 2 k(2m+ m) w2= 0- ABmAmAmB由此得到2的三個根：w2=k， w2=k(2m+ m)w2 1m2mA mB，AAB將三個2的根代回聯(lián)立方程組，得原子振幅