有理函數(shù)積分

1、,第四節(jié),基本積分法 : 直接積分法 ;,換元積分法 ;,分部積分法,初等函數(shù),初等函數(shù),一、有理函數(shù)的積分,二、可化為有理函數(shù)的積分舉例,有理函數(shù)的積分,本節(jié)內(nèi)容:,第四章,一、 有理函數(shù)的積分,有理函數(shù):,時,為假分式;,時,為真分式,有理函數(shù),多項式 + 真分 式,分解,其中部分分式的形式為,若干部分分式之和,1. 有理函數(shù)的分解,（1）分母中若有因式 ，則分解后為,有理函數(shù)化為部分分式之和的一般規(guī)律：,特殊地：,分解后為,其中 都是常數(shù),注:,關(guān)于部分分式分解,例如,但若,矛盾,特殊地：,分解后為,其中 都是常數(shù),例1. 將下列真分式分解為部分分式 :,解:,(1) 用拼湊法,(2)

2、用賦值法,故,(3) 比較系數(shù)法,原式 =,2. 有理函數(shù)的積分,變分子為,再分項積分,四種典型部分分式的積分:,討論積分,令,則,記,這三類積分均可積出, 且原函數(shù)都是初等函數(shù).,結(jié)論,有理函數(shù)的原函數(shù)都是初等函數(shù).,遞推公式,注意,以上介紹的雖是有理函數(shù)積分的普遍方法，但對 一個具體問題而言，未必是最簡捷的方法，應(yīng)首先考慮用其它的簡便方法.,基本思路,盡量使分母簡單降冪、拆項、同乘等,化部分分式，寫成分項積分,可考慮引入變量代換,例2. 求積分,解：,例3. 求,解: 已知,例4. 求,解: 原式,思考: 如何求,提示:,變形方法同例4,例5. 求,解:,說明: 將有理函數(shù)分解為部分分式進

3、行積分雖可行,但不一定簡便 ,因此要注意根據(jù)被積函數(shù)的結(jié)構(gòu)尋求,簡便的方法.,例6. 求,解: 原式,例7. 求,解: 原式,注意本題技巧,按常規(guī)方法較繁,按常規(guī)方法解:,第一步 令,比較系數(shù)定 a , b , c , d . 得,第二步 化為部分分式 . 即令,比較系數(shù)定 A , B , C , D .,第三步 分項積分 .,此解法較繁 !,二 、可化為有理函數(shù)的積分舉例,設(shè),表示三角函數(shù)有理式 ,令,萬能代換,t 的有理函數(shù)的積分,1. 三角函數(shù)有理式的積分,則,令,（萬能置換公式）,例8. 求,解: 令,則,例9. 求,解:,說明: 通常求含,的積分時,往往更方便 .,的有理式,用代換,

4、例10. 求積分,解法 1：,解法 2：,令,解法 3：,可以不用萬能置換公式.,結(jié)論,比較以上三種解法, 便知萬能置換不一定是最佳方法, 故三角有理式的計算中先考慮其它手段, 不得已才用萬能置換.,如,若用萬能代換，則,化部分分式比較困難,但若是湊微分，則比較簡單,基本思路,2. 簡單無理函數(shù)的積分,令,令,被積函數(shù)為簡單根式的有理式 , 可通過根式代換,化為有理函數(shù)的積分.,例如:,令,例13. 求,解: 令,則,原式,例14. 求,解: 為去掉被積函數(shù)分母中的根式 , 取根指數(shù) 2 , 3 的,最小公倍數(shù) 6 ,則有,原式,令,例15. 求,解: 令,則,原式,例16. 求積分,解：,先對分母進行有理化,原式,內(nèi)容小結(jié),1. 可積函數(shù)的特殊類型,有理函數(shù),分解,多項式及部分分式之和,三角函數(shù)有理式,萬能代換,簡單無理函數(shù),三角代換,根式代換,2. 特殊類型的積分按上述方法