文登考研數(shù)學--線性代數(shù)--習題集及其答案.doc

1、第一章 行列式一. 填空題1. 四階行列式中帶有負號且包含a12和a21的項為_.解. a12a21a33a44中行標的排列為1234, 逆序為0; 列標排列為2134, 逆序為1. 該項符號為“”, 所以答案為a12a21a33a44.2. 排列i1i2in可經(jīng)_次對換后變?yōu)榕帕衖nin1i2i1.解. 排列i1i2in可經(jīng)過1 + 2 + + (n1) = n(n1)/2 次對換后變成排列inin1i2i1.3. 在五階行列式中=_.解. 15423的逆序為5, 23145的逆序為2, 所以該項的符號為“”.4. 在函數(shù) 中, x3的系數(shù)是_.解. x3的系數(shù)只要考察. 所以x3前的系數(shù)為

2、2.5. 設a, b為實數(shù), 則當a = _, 且b = _時, .解. . 所以a = b = 0.6. 在n階行列式D = |aij|中, 當i r1 (B) r r1 (C) r = r1 (D) r與r1的關系依C而定解. , 所以 又因為 , 于是 所以 . (C)是答案.9. 設A、B都是n階非零矩陣, 且AB = 0, 則A和B的秩(A) 必有一個等于零 (B) 都小于n (C) 一個小于n, 一個等于n (D) 都等于n解. 若, 矛盾. 所以 . 同理. (B)是答案.三. 計算證明題1. 設, . 求: i. ABBA ii. A2B2 iii. BTAT解. , 2. 求

3、下列矩陣的逆矩陣i. ii. iii. iv. 解. i., ii. . 由矩陣分塊求逆公式:得到: iii. . 由矩陣分塊求逆公式: 所以 iv. 由矩陣分塊求逆公式:得到: 3. 已知三階矩陣A滿足. 其中, , . 試求矩陣A.解. 由本題的條件知: 4. k取什么值時, 可逆, 并求其逆.解. 所以 5. 設A是n階方陣, 且有自然數(shù)m, 使(E + A)m = 0, 則A可逆.解. 因為 所以 . 所以A可逆.6. 設B為可逆矩陣, A是與B同階方陣, 且滿足A2 + AB + B2 = 0, 證明A和A + B都是可逆矩陣.解. 因為, 所以. 因為B可逆, 所以所以 . 所以都

4、可逆.7. 若A, B都是n階方陣, 且E + AB可逆, 則E + BA也可逆, 且 解. = =所以 .8. 設A, B都是n階方陣, 已知|B| 0, AE可逆, 且(AE)1 = (BE)T, 求證A可逆.解. 因為(AE)1 = (BE)T, 所以(AE)(BE)T = E所以 , 由 |B| 0 知存在. 所以 . 所以A可逆.9. 設A, B, A + B為n階正交矩陣, 試證: (A + B)1 = A1 + B1.解. 因為A, B, A + B為正交矩陣, 所以所以 10. 設A, B都是n階方陣, 試證明: .解. 因為 所以 因為 , 所以 11. 設A為主對角線元素均

5、為零的四階實對稱可逆矩陣, E為四階單位矩陣 i. 試計算|E +AB|, 并指出A中元素滿足什么條件時, E + AB可逆;ii. 當E + AB可逆時, 試證明(E + AB)1A為對稱矩陣.解. i. , , 所以當 時, E + AB可逆.ii. 因為A, B為實對稱矩陣, 所以為實對稱矩陣, 所以(E + AB)1A為對稱矩陣.12. 設, 求An.解. 使用數(shù)學歸納法. 假設 =則 = =所以 =13. A是n階方陣, 滿足Am = E, 其中m是正整數(shù), E為n階單位矩陣. 今將A中n2個元素aij用其代數(shù)余子式Aij代替, 得到的矩陣記為A0. 證明.解. 因為Am = E,

6、所以, 所以A可逆. 所以 14. 設矩陣i. 證明: n 3時, (E為三階單位矩陣)ii. 求A100.解. i. 所以 假設 則 =所以 ii. 15. 當時, A6 = E. 求A11.解. , 所以 因為 16. 已知A, B是n階方陣, 且滿足A2 = A, B2 = B, 與(AB)2 = A + B, 試證: AB = BA = 0.解. 因為(AB)2 = A + B, 所以 于是 , 所以 因為 A2 = A, B2 = B, 所以 2AB = 0, 所以.第三章 向量一. 填空題1. 設, 則k = _時, a1, a2, a3, a4線性相關.解. 考察行列式 = 13

7、k +5 = 0. 2. 設, 則t = _時, a1, a2, a3, a4線性相關.解. 考察行列式 . 所以對任何t, a1, a2, a3, a4線性相關. 3. 當k = _時, 向量b = (1, k, 5)能由向量 線性表示.解. 考察行列式 得k =8. 當k =8時, 三個向量的行列式為0, 于是線性相關. 顯然線性無關, 所以可用線性表示.4. 已知, 則秩(a1, a2, a3, a4) = _.解. 將a1, a2, a3, a4表示成矩陣 . 所以 r (a1, a2, a3, a4) = 35. 設, 則秩(A) = _.解. 所以 r (A) = 3.6. 已知矩

8、陣A = ab, 則秩(A) = _.解. A = ab = 所以 r (A) = 1. 7. 已知向量, 且秩(a1, a2, a3, a4) = 2, 則t = _.解. A = (a1, a2, a3, a4) 所以當t = 7時, r (A) = 2.二. 單項選擇題1. 設向量組a1, a2, a3線性無關, 則下列向量組線性相關的是(A) a1 + a2, a2 + a3, a3 + a1 (B) a1, a1 + a2, a1+ a2 + a3(C) a1a2, a2a3, a3a1 (D) a1 + a2, 2a2 + a3, 3a3 + a1解. 由 得 因為向量組a1, a2, a3線性無關, 所以得關于的方程組 的系數(shù)行列式為 . 所以有非零解, 所以a1a2, a2a3, a3a1線性相關. (C)是答案.2. 設矩陣Amn的秩為R(A) = m 0, 即 .5. 設A為n階實對稱矩陣, 證明: 秩(A) = n的充分必要條件為存在一個n階實矩陣