文登考研數(shù)學(xué)--線性代數(shù)--習(xí)題集及其答案.doc

1、第一章 行列式一. 填空題1. 四階行列式中帶有負(fù)號(hào)且包含a12和a21的項(xiàng)為_.解. a12a21a33a44中行標(biāo)的排列為1234, 逆序?yàn)?; 列標(biāo)排列為2134, 逆序?yàn)?. 該項(xiàng)符號(hào)為“”, 所以答案為a12a21a33a44.2. 排列i1i2in可經(jīng)_次對(duì)換后變?yōu)榕帕衖nin1i2i1.解. 排列i1i2in可經(jīng)過1 + 2 + + (n1) = n(n1)/2 次對(duì)換后變成排列inin1i2i1.3. 在五階行列式中=_.解. 15423的逆序?yàn)?, 23145的逆序?yàn)?, 所以該項(xiàng)的符號(hào)為“”.4. 在函數(shù) 中, x3的系數(shù)是_.解. x3的系數(shù)只要考察. 所以x3前的系數(shù)為

2、2.5. 設(shè)a, b為實(shí)數(shù), 則當(dāng)a = _, 且b = _時(shí), .解. . 所以a = b = 0.6. 在n階行列式D = |aij|中, 當(dāng)i r1 (B) r r1 (C) r = r1 (D) r與r1的關(guān)系依C而定解. , 所以 又因?yàn)?, 于是 所以 . (C)是答案.9. 設(shè)A、B都是n階非零矩陣, 且AB = 0, 則A和B的秩(A) 必有一個(gè)等于零 (B) 都小于n (C) 一個(gè)小于n, 一個(gè)等于n (D) 都等于n解. 若, 矛盾. 所以 . 同理. (B)是答案.三. 計(jì)算證明題1. 設(shè), . 求: i. ABBA ii. A2B2 iii. BTAT解. , 2. 求

3、下列矩陣的逆矩陣i. ii. iii. iv. 解. i., ii. . 由矩陣分塊求逆公式:得到: iii. . 由矩陣分塊求逆公式: 所以 iv. 由矩陣分塊求逆公式:得到: 3. 已知三階矩陣A滿足. 其中, , . 試求矩陣A.解. 由本題的條件知: 4. k取什么值時(shí), 可逆, 并求其逆.解. 所以 5. 設(shè)A是n階方陣, 且有自然數(shù)m, 使(E + A)m = 0, 則A可逆.解. 因?yàn)?所以 . 所以A可逆.6. 設(shè)B為可逆矩陣, A是與B同階方陣, 且滿足A2 + AB + B2 = 0, 證明A和A + B都是可逆矩陣.解. 因?yàn)? 所以. 因?yàn)锽可逆, 所以所以 . 所以都

4、可逆.7. 若A, B都是n階方陣, 且E + AB可逆, 則E + BA也可逆, 且 解. = =所以 .8. 設(shè)A, B都是n階方陣, 已知|B| 0, AE可逆, 且(AE)1 = (BE)T, 求證A可逆.解. 因?yàn)?AE)1 = (BE)T, 所以(AE)(BE)T = E所以 , 由 |B| 0 知存在. 所以 . 所以A可逆.9. 設(shè)A, B, A + B為n階正交矩陣, 試證: (A + B)1 = A1 + B1.解. 因?yàn)锳, B, A + B為正交矩陣, 所以所以 10. 設(shè)A, B都是n階方陣, 試證明: .解. 因?yàn)?所以 因?yàn)?, 所以 11. 設(shè)A為主對(duì)角線元素均

5、為零的四階實(shí)對(duì)稱可逆矩陣, E為四階單位矩陣 i. 試計(jì)算|E +AB|, 并指出A中元素滿足什么條件時(shí), E + AB可逆;ii. 當(dāng)E + AB可逆時(shí), 試證明(E + AB)1A為對(duì)稱矩陣.解. i. , , 所以當(dāng) 時(shí), E + AB可逆.ii. 因?yàn)锳, B為實(shí)對(duì)稱矩陣, 所以為實(shí)對(duì)稱矩陣, 所以(E + AB)1A為對(duì)稱矩陣.12. 設(shè), 求An.解. 使用數(shù)學(xué)歸納法. 假設(shè) =則 = =所以 =13. A是n階方陣, 滿足Am = E, 其中m是正整數(shù), E為n階單位矩陣. 今將A中n2個(gè)元素aij用其代數(shù)余子式Aij代替, 得到的矩陣記為A0. 證明.解. 因?yàn)锳m = E,

6、所以, 所以A可逆. 所以 14. 設(shè)矩陣i. 證明: n 3時(shí), (E為三階單位矩陣)ii. 求A100.解. i. 所以 假設(shè) 則 =所以 ii. 15. 當(dāng)時(shí), A6 = E. 求A11.解. , 所以 因?yàn)?16. 已知A, B是n階方陣, 且滿足A2 = A, B2 = B, 與(AB)2 = A + B, 試證: AB = BA = 0.解. 因?yàn)?AB)2 = A + B, 所以 于是 , 所以 因?yàn)?A2 = A, B2 = B, 所以 2AB = 0, 所以.第三章 向量一. 填空題1. 設(shè), 則k = _時(shí), a1, a2, a3, a4線性相關(guān).解. 考察行列式 = 13

7、k +5 = 0. 2. 設(shè), 則t = _時(shí), a1, a2, a3, a4線性相關(guān).解. 考察行列式 . 所以對(duì)任何t, a1, a2, a3, a4線性相關(guān). 3. 當(dāng)k = _時(shí), 向量b = (1, k, 5)能由向量 線性表示.解. 考察行列式 得k =8. 當(dāng)k =8時(shí), 三個(gè)向量的行列式為0, 于是線性相關(guān). 顯然線性無關(guān), 所以可用線性表示.4. 已知, 則秩(a1, a2, a3, a4) = _.解. 將a1, a2, a3, a4表示成矩陣 . 所以 r (a1, a2, a3, a4) = 35. 設(shè), 則秩(A) = _.解. 所以 r (A) = 3.6. 已知矩

8、陣A = ab, 則秩(A) = _.解. A = ab = 所以 r (A) = 1. 7. 已知向量, 且秩(a1, a2, a3, a4) = 2, 則t = _.解. A = (a1, a2, a3, a4) 所以當(dāng)t = 7時(shí), r (A) = 2.二. 單項(xiàng)選擇題1. 設(shè)向量組a1, a2, a3線性無關(guān), 則下列向量組線性相關(guān)的是(A) a1 + a2, a2 + a3, a3 + a1 (B) a1, a1 + a2, a1+ a2 + a3(C) a1a2, a2a3, a3a1 (D) a1 + a2, 2a2 + a3, 3a3 + a1解. 由 得 因?yàn)橄蛄拷Ma1, a2, a3線性無關(guān), 所以得關(guān)于的方程組 的系數(shù)行列式為 . 所以有非零解, 所以a1a2, a2a3, a3a1線性相關(guān). (C)是答案.2. 設(shè)矩陣Amn的秩為R(A) = m 0, 即 .5. 設(shè)A為n階實(shí)對(duì)稱矩陣, 證明: 秩(A) = n的充分必要條件為存在一個(gè)n階實(shí)矩陣