解析幾何教程答案

1、解析幾何教程答案 第一章 向量代數(shù) 習(xí)題1.1 1. 試證向量加法的結(jié)合律，即對任意向量a,b,c成立 (a?b)?c?a?(b?c). 證明：作向量ab?a,bc?b,cd?c（如下圖）， d c b?c a?b ac b b a 則 (a?b)?c?(ab?bc)?cd?ac?c?d ,ada?(b?c)?ab?(bc?cd)?ab?bd?ad, 故(a?b)?c?a?(b?c). 2. 設(shè)a,b,c兩兩不共線，試證順次將它們的終點(diǎn)與始點(diǎn)相連而成一個三角形的充要條件是a?b?c?0. 證明：必要性，設(shè)a,b,c的終點(diǎn)與始點(diǎn)相連而成一個三角形?abc， c c b a a b 則a?b?c?

2、ab?bc?ca?ac?ca?aa?0. 充分性，作向量ab?a,bc?b,cd?c，由于 0?a?b?c?ab?bc?cd?ac?cd?ad,所以點(diǎn)a與d重合，即三向量 a,b,c的終點(diǎn)與始點(diǎn)相連構(gòu)成一個三角形。 3. 試證三角形的三中線可以構(gòu)成一個三角形。 證明：設(shè)三角形?abc三邊ab,bc,ca的中點(diǎn)分別是d,e,f（如下圖），并且記 cf c e b a a d b a?ab,b?bc,c?ca，則根據(jù)書中例1.1.1，三條中線表示的向量分別是 cd?111(c?b),ae?(a?c),bf?(b?a), 222111(c?b)?(a?c)?(b?a)?0,故由上題結(jié)論得三角形222

3、所以，cd?ae?bf?的三中線cd,ae,bf可以構(gòu)成一個三角形。 4. 用向量法證明梯形兩腰中點(diǎn)連線平行于上、下底且等于它們長度和的一半。 證明：如下圖，梯形abcd兩腰bc,ad中點(diǎn)分別為e,f，記向量ab?a,fa?b， d f c e b aa b 則df?b,而向量dc與ab共線且同向，所以存在實(shí)數(shù)?0,使得dc?ab.現(xiàn)在 fb?b?a,fc?b?a,由于e是bc的中點(diǎn)，所以 fe?1111(fb?fc)?(b?a?a?b)?(1?)a?(1?)ab.且 2222111(1?)ab?(ab?ab)?(ab?dc). 222fe?故梯形兩腰中點(diǎn)連線平行于上、下底且等于它們長度和的一

4、半。 5. 試證命題1.1.2。 證明：必要性，設(shè)a,b,c共面，如果其中有兩個是共線的，比如是a,b，則a,b線性相關(guān)，從而a,b,c線性相關(guān)?，F(xiàn)在設(shè)a,b,c兩兩不共線，則向量c可以在兩個向量a,b上的進(jìn)行分解，即作以c為對角線，鄰邊平行于a,b的平行四邊形，則存在實(shí)數(shù)?,?使得 c?a?b，因而a,b,c線性相關(guān)。 充分性，設(shè)a,b,c線性相關(guān)，則存在不全為零的數(shù)k1,k2,k3，使得k1a?k2b?k3c?0。不妨設(shè)k3?0，則向量c可以表示為向量a,b的線性組合，因此由向量加法的平行四邊形法則知道向量c平行于由向量a,b決定的平面，故a,b,c共面。 6. 設(shè)a,b,c是不共線的三點(diǎn)

5、，它們決定一平面?，則點(diǎn)p在?上的充要條件是存在唯一的數(shù)組(?,?,?)使得 ?op?oa?ob?oc,?1,(*) 其中，o是任意一點(diǎn)。p在?abc內(nèi)的充要條件是(*)與?0,?0,?0同時成立。 證明：必要性，作如下示意圖，連接ap并延長交直線bc于r。 ap c r o b 則由三點(diǎn)b,r,c共線，存在唯一的數(shù)組k1,k2使得or?k1ob?k2oc，并且 k1?k2?1。由三點(diǎn)a,p,r共線，存在唯一的數(shù)組l1,l2使得op?l1oa?l2or，并且l1?l2?1。 于 是 o?p1l?o2a?1lo?2r1，o設(shè)l?alko?l1,，l1,l2的唯一性知道(?,?,?)的唯一性，則?

6、l2,k1?由kl1,k2kop?oa?ob?oc,且?l1?l2k1?l2k2?1。 充分性，由已知條件有op?oa?ob?oc?oa?ob?(1?)oc ?(oa?oc)?(ob?oc)?oc?ca?cb?oc,得到cp?ca?cb， 因而向量cp,ca,cb共面，即p在a,b,c決定的平面上。 如果p在?abc內(nèi)，則p在線段ar內(nèi)，r在線段bc內(nèi)，于是0?k1,k2,l1,l2?1，則0?,?,?1。 如果（*）成立且0?,?,?1，則有cp?ca?cb，這說明點(diǎn)p在角?acb內(nèi)。同樣可得到ap?ab?ac，這說明點(diǎn)p在角?bac內(nèi)。故p在?abc內(nèi)。 7. 在?abc中，點(diǎn)d,e分別在

7、邊bc與ca上，且bd?11bc,ce?ca,ad與33be交于r，試證 rd?證明：作如下示意圖， 14ad,re?be. 77e rac db 由三點(diǎn)b,r,e共線，存在k使得cr?kcb?(1?k)ce，由三點(diǎn)a,r,d共線，存 在 l使得 cr?l(?c1a?)，l由c于dbd?11bc,ce?ca,有33cd?1221cb,ce?ca,因而cr?kcb?(1?k)ca?lca?(1?l)cb。由于 33332141(1?l),l?(1?k)，解此方程組得k?,l?。由3377向量ca,cb不共線，所以k?此得cr?43cb?ce， 774344cb?ce?ce?(cb?ce)?eb。

8、 7777er?cr?ce?同理得到dr?114da。故得rd?ad,re?be. 7778. 用向量法證明?abc的三條中線交于一點(diǎn)p，并且對任意一點(diǎn)o有 op?1(oa?ob?oc). 3證明：設(shè)d,e,f分別是邊ab,bc,ca的中點(diǎn)，則ae,bf交于一點(diǎn)p，連接 c f p a eb dcp,cd。由a,p,e三點(diǎn)共線，存在k使cp?kcf?(1?k)cb?1kca?(1?k)cb，2由b,p,f三點(diǎn)共線，存在l使cp?lce?(1?l)ca?1lcb?(1?l)ca，于是得211112k?1?l,l?1?k，解得k?l?。從而有cp?cb?ca，然而 33223cd?p。 任取一點(diǎn)o，由cp?112cb?ca，故cp?cd，即c,p,d三點(diǎn)共線，?abc的三條中線交于一點(diǎn)2231111cb?ca，得到op?oc?(ob?oc)?(oa?oc)，3333于是op?1(oa?ob?oc). 39. 用向量法