第1節(jié)導(dǎo)數(shù)概念及其意義、導(dǎo)數(shù)運(yùn)算-高考一輪復(fù)習(xí)人教A版(適用于新高考新教材)

第1節(jié)導(dǎo)數(shù)概念及其意義、導(dǎo)數(shù)運(yùn)算高考總復(fù)習(xí)優(yōu)化設(shè)計(jì)GAOKAOZONGFUXIYOUHUASHEJI2025領(lǐng)航備考路徑新課標(biāo)核心考點(diǎn)2020202120222023Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅰ卷Ⅱ卷1.導(dǎo)數(shù)的概念與運(yùn)算

第14題第12題

2.導(dǎo)數(shù)的幾何意義

第7題第16題第15題第14題

3.導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性

第7題

第6題4.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值與最值

第15題

第10題第9題第11題第11題5.函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合問題第21題第22題第22題第22題第22題第22題第19題第22題優(yōu)化備考策略考情分析:1.高考對(duì)導(dǎo)數(shù)的考查主要涉及導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算、導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,其中導(dǎo)數(shù)運(yùn)算滲透在導(dǎo)數(shù)應(yīng)用中考查,導(dǎo)數(shù)的幾何意義多以客觀題形式呈現(xiàn),難度中等及以下,主要與切線問題有關(guān),分值5分左右;導(dǎo)數(shù)應(yīng)用分為一般應(yīng)用和綜合應(yīng)用,一般應(yīng)用主要涉及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值,以客觀題或解答題的形式出現(xiàn),難度中等,綜合應(yīng)用則以解答題呈現(xiàn),考查利用導(dǎo)數(shù)解決不等式證明、不等式恒成立、函數(shù)零點(diǎn)、雙變量等問題,難度較大,多為壓軸題,分值12分左右.2.高考中的導(dǎo)數(shù)考題,通常與參數(shù)處理相關(guān),涉及代數(shù)推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算以及數(shù)學(xué)建模等,滲透了對(duì)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的考查,對(duì)學(xué)生的能力要求較高.復(fù)習(xí)策略:1.明晰重要概念:導(dǎo)數(shù)的幾何意義、極值、最值等概念是解題的基礎(chǔ),應(yīng)明晰這些概念.2.注意數(shù)學(xué)思想方法的合理運(yùn)用:由于導(dǎo)數(shù)考題往往涉及參數(shù)問題,所以經(jīng)常用到分類討論、數(shù)形結(jié)合、等價(jià)轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法,應(yīng)在復(fù)習(xí)中強(qiáng)化這些思想方法的理解與運(yùn)用.3.重視知識(shí)交匯與聯(lián)系:導(dǎo)數(shù)與函數(shù)、不等式、方程等都有交匯與聯(lián)系,應(yīng)注意它們之間的聯(lián)系,注意對(duì)相關(guān)知識(shí)的理解與運(yùn)用.4.善于總結(jié)導(dǎo)數(shù)綜合應(yīng)用中解決問題的通性通法,做到舉一反三.課標(biāo)解讀1.理解導(dǎo)數(shù)概念的實(shí)際背景,知道導(dǎo)數(shù)是關(guān)于瞬時(shí)變化率的數(shù)學(xué)表達(dá),體會(huì)導(dǎo)數(shù)的內(nèi)涵與思想,體會(huì)極限思想.2.通過函數(shù)圖象直觀理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義.3.能根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義求函數(shù)y=c,y=x,y=x2,y=x3,y的導(dǎo)數(shù).4.能利用給出的基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則,求簡(jiǎn)單函數(shù)的導(dǎo)數(shù);能求簡(jiǎn)單的復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù).5.會(huì)使用導(dǎo)數(shù)公式表.1強(qiáng)基礎(chǔ)固本增分2研考點(diǎn)精準(zhǔn)突破目錄索引

1強(qiáng)基礎(chǔ)固本增分知識(shí)梳理1.導(dǎo)數(shù)的概念(1)平均變化率:對(duì)于函數(shù)y=f(x),我們把比值,即=

叫做函數(shù)y=f(x)從x0到x0+Δx的平均變化率.

微思考函數(shù)y=f(x)從x1到x2的平均變化率的幾何意義是什么?提示

函數(shù)y=f(x)從x1到x2的平均變化率是指其圖象上兩點(diǎn)(x1,f(x1)),(x2,f(x2))連線的斜率.

f'(x0)2.導(dǎo)數(shù)的幾何意義函數(shù)y=f(x)在x=x0處的導(dǎo)數(shù)f'(x0),就是曲線y=f(x)在點(diǎn)(x0,f(x0))處的切線的斜率k0,即k0=

.

微思考已知函數(shù)y=f(x),給定一個(gè)點(diǎn)P(x0,y0),那么f'(x0)就是曲線y=f(x)在點(diǎn)P處的切線的斜率嗎?f'(x0)提示

不一定,如果點(diǎn)P在函數(shù)y=f(x)的圖象上,那么f'(x0)就是曲線y=f(x)在點(diǎn)P處的切線的斜率,如果點(diǎn)P不在函數(shù)y=f(x)的圖象上,那么f'(x0)就不是曲線y=f(x)在點(diǎn)P處的切線的斜率.3.導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算(1)基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式原函數(shù)導(dǎo)數(shù)f(x)=c(c為常數(shù))f'(x)=

f(x)=xα(α∈R,且α≠0)f'(x)=

f(x)=sin

xf'(x)=

f(x)=cosxf'(x)=

f(x)=ax(a>0,且a≠1)f'(x)=

f(x)=exf'(x)=

f(x)=logax(a>0,且a≠1)f'(x)=

f(x)=ln

xf'(x)=

0αxα-1cosx-sinxaxlnaex(2)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則①[f(x)±g(x)]'=

.

②[f(x)g(x)]'=

,

特別地,[cf(x)]'=

.

④復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則:復(fù)合函數(shù)y=f(g(x))的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)y=f(u),u=g(x)的導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系為y'x=

,即y對(duì)x的導(dǎo)數(shù)等于y對(duì)u的導(dǎo)數(shù)與u對(duì)x的導(dǎo)數(shù)的乘積.

f'(x)±g'(x)f'(x)g(x)+f(x)g'(x)

cf'(x)y'u·u'x常用結(jié)論

3.奇函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是偶函數(shù),偶函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是奇函數(shù),周期函數(shù)的導(dǎo)數(shù)還是周期函數(shù).4.曲線在點(diǎn)P處的切線,則P就是切點(diǎn),此時(shí)切線有且僅有一條;曲線過點(diǎn)P的切線,則P不一定是切點(diǎn),此時(shí)切線可能有多條.自主診斷題組一思考辨析(判斷下列結(jié)論是否正確,正確的畫“√”,錯(cuò)誤的畫“×”)1.曲線的切線與曲線不一定僅有一個(gè)公共點(diǎn).(

)2.若f(x)=ln3,則f'(x)=.(

)3.若f(x)=sin2x,則f'(x)=cos2x.(

)√××題組二回源教材4.(人教A版選擇性必修第二冊(cè)習(xí)題5.2第6題改編)已知函數(shù)f(x)滿足5.(人教B版選擇性必修第三冊(cè)6.1.3節(jié)練習(xí)B第4題改編)已知函數(shù)f(x)=x2,若直線l經(jīng)過點(diǎn)(3,5)且與曲線f(x)=x2相切,則l的方程為

.

y=2x-1或y=10x-25

題組三連線高考6.(2020·全國(guó)Ⅰ,理6)函數(shù)f(x)=x4-2x3的圖象在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程為(

)A.y=-2x-1 B.y=-2x+1C.y=2x-3 D.y=2x+1B解析

f'(x)=4x3-6x2,由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知函數(shù)圖象在點(diǎn)(1,f(1))處的切線的斜率為k=f'(1)=-2.又因?yàn)閒(1)=-1,所以切線方程為y-(-1)=-2(x-1),化簡(jiǎn)得y=-2x+1.7.(2019·全國(guó)Ⅲ,理6)已知曲線y=aex+xln

x在點(diǎn)(1,ae)處的切線方程為y=2x+b,則(

)A.a=e,b=-1 B.a=e,b=1C.a=e-1,b=1 D.a=e-1,b=-1D解析

∵y'=aex+ln

x+1,∴切線斜率k=y'|x=1=ae+1=2,∴ae=1,a=e-1.將點(diǎn)(1,1)代入y=2x+b,得2+b=1,∴b=-1.12研考點(diǎn)精準(zhǔn)突破考點(diǎn)一導(dǎo)數(shù)概念例1(1)(2024·河南鄭州模擬)已知f'(4)=3,則=(

)A.-3 B.3

C.-4 D.4B(2)(2024·云南昆明模擬)已知某容器的高度為20cm,現(xiàn)在向容器內(nèi)注入液體,且容器內(nèi)液體的高度h(單位:cm)與時(shí)間t(單位:s)的函數(shù)關(guān)系式為h(t)=t3+t2,當(dāng)t=t0時(shí),液體上升高度的瞬時(shí)變化率為3cm/s,則當(dāng)t=t0+1時(shí),液體上升高度的瞬時(shí)變化率為(

)A.5cm/s B.6cm/sC.8cm/s D.10cm/sC解析

由h(t)=t3+t2,得h'(t)=t2+2t.由導(dǎo)數(shù)的定義知,液體上升高度的瞬時(shí)變化率即為函數(shù)h(t)的導(dǎo)數(shù),所以當(dāng)t=t0時(shí),+2t0=3,解得t0=1(t0=-3舍去),因此當(dāng)t=t0+1=2時(shí),液體上升高度的瞬時(shí)變化率為22+2×2=8

cm/s.故選C.考點(diǎn)二導(dǎo)數(shù)運(yùn)算例2(1)(多選題)(2024·吉林長(zhǎng)春模擬)下列求導(dǎo)運(yùn)算中,不正確的是(

)A.(e2x)'=2e2xBCD(2)(2024·湖南長(zhǎng)沙模擬)已知函數(shù)f(x)=ex+x3f'(1),則f(1)=(

)CB解析

設(shè)x∈(-2π,-π),則x+2π∈(0,π),所以f(x+2π)=(x+2π)sin(x+2π)=(x+2π)sin

x.又因?yàn)閒(x)=f(x+π)=f(x+2π),所以f(x)=(x+2π)sin

x,此時(shí)f'(x)=sin

x+(x+2π)cos

x,考點(diǎn)三導(dǎo)數(shù)的幾何意義(多考向探究預(yù)測(cè))考向1求切線方程例3(1)(2024·山東濟(jì)南模擬)曲線y=ex-3x的切線中與直線x-2y=0垂直的切線方程為(

)A.2x+y+1=0 B.2x-y+1=0C.2x+y-1=0 D.2x-y-1=0C解析

由于直線x-2y=0的斜率為

,因此所求切線的斜率應(yīng)為-2,又y'=ex-3,設(shè)切點(diǎn)為P(x0,y0),所以

-3=-2,解得x0=0,此時(shí)y0=1,故所求切線方程為y-1=-2(x-0),即2x+y-1=0.故選C.(2)(2021·全國(guó)甲,理13)曲線y=在點(diǎn)(-1,-3)處的切線方程為

.

5x-y+2=0(3)(2022·新高考Ⅱ,14)曲線y=ln|x|經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)的兩條切線的方程為

,

.

因?yàn)閥=ln|x|是偶函數(shù),圖象如下圖所示,考向2求參數(shù)的值或取值范圍例4(1)(2024·廣東惠州模擬)已知直線y=x+1與曲線y=ln(x+a)相切,則實(shí)數(shù)a=(

)A.-1 B.1

C.2

D.3C(2)(2024·湖南師大附中檢測(cè))已知曲線f(x)=aex+sin

x在點(diǎn)(0,f(0))處的切線與直線2x+y-4=0平行,則實(shí)數(shù)a的值為

.

-3解析

因?yàn)閒(x)=aex+sin

x,所以f'(x)=aex+cos

x,則f'(0)=a+1,則a+1=-2,解得a=-3.(3)(2022·新高考Ⅰ,15)若曲線y=(x+a)ex有兩條過坐標(biāo)原點(diǎn)的切線,則a的取值范圍是

.

(-∞,-4)∪(0,+∞)

變式探究(變條件變結(jié)論)本例(3)中,若條件中再增加條件“切點(diǎn)分別為(x1,y1),(x2,y2)”,則(x1-1)(x2-1)=

.

1

解析

由(3)的解答過程可知,x1,x2是方程

+ax0-a=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根,所以x1+x2=-a,x1x2=-a,因此(x1-1)(x2-1)=x1x2-(x1+x2)+1=-a-(-a)+1=1.考向3兩曲線的公切線問題例5(1)(2024·山東濰坊模擬)已知函數(shù)f(x)=ln(x+1),g(x)=ln(e2x),若直線y=kx+b為函數(shù)f(x)和g(x