電路分析的基本方法及定理

1、2-10 戴維南定理和諾頓定理一、戴維南定理圖2-10-1二端網(wǎng)絡也稱為一端口網(wǎng)絡，其中含有電源的二端網(wǎng)絡稱為有源一端口網(wǎng)絡，不含電源的二端網(wǎng)絡稱為無源一端口網(wǎng)絡，它們的符號分別如圖2-10-1（a）（b）所示。 圖2-10-2任一線性有源一端口網(wǎng)絡（如圖2-10-2（a）所示）對其余部分而言，可以等效為一個電壓源和電阻相串聯(lián)的電路（如圖2-10-2（b）所示），其中的大小等于該有源一端口網(wǎng)絡的開路電壓，電壓源的正極與開路端高電位點對應；等于令該有源一端口網(wǎng)絡內所有獨立源為零（即電壓源短接、電流源開路）后所構成的無源一端口網(wǎng)絡的等效電阻。這就是戴維南定理，也稱為等效電源定理；與串聯(lián)的電路稱為戴

2、維南等效電路。下面證明戴維南定理，如圖2-10-2（a）所示，電阻R上的電壓、電流為確定值，利用替代定理，將圖2-10-2（a）中的R替代為電流源，如圖2-10-2（c）所示。因為網(wǎng)絡A為線性有源一端口網(wǎng)絡，因此，可利用疊加定理，將上述圖（c）中的電壓U看作兩組獨立源分別作用產(chǎn)生的兩個分量之和。第一個分量是由網(wǎng)絡A中的獨立源作用所產(chǎn)生的，即令獨立電流源為零，將端口斷開后在端口產(chǎn)生的開路電壓，如圖2-10-2（d）所示；第二個分量是由電流源I單獨作用所產(chǎn)生的，即令網(wǎng)絡A中所有獨立源為零后在端口產(chǎn)生的電壓，如圖2-10-2（e）所示，這時有源網(wǎng)絡A即變?yōu)橄鄳木W(wǎng)絡P，值得注意的是倘若A中含受控源，

3、受控源應依然保留在網(wǎng)絡P中。觀察圖（e），設從端口向左看的入端等效電阻為，即網(wǎng)絡P的入端等效電阻為Rd，則有，兩個分量疊加得：。對照圖2-10-2（b）可知，上述圖（b）與圖（a）具有相同的端口特性方程，由此可知圖（b）就是圖（a）的等效電路，戴維南定理得證。要計算一個線性有源一端口網(wǎng)絡的戴維南等效電路，其步驟和方法為：1、計算：利有電路分析方法，計算相應端口的開路電壓；2、計算：當線性有源一端口網(wǎng)絡A中不含受控源時，令A內所有獨立電源為零后得到的無源一端口網(wǎng)絡P則為純電阻網(wǎng)絡，利用無源一端口網(wǎng)絡的等效變換就可求出端口等效電阻；當線性一端口網(wǎng)絡A中含有受控源時，令A內所有獨立電源為零后得到的一

4、端口網(wǎng)絡P中仍含有受控源，這時，可采用加壓法和開路短路法求。圖2-10-3（i）加壓法：如圖2-10-3（a）所示，令有源一端口網(wǎng)絡A內所有獨立源為零后得到一端口網(wǎng)絡P（注意受控源仍需保留），在網(wǎng)絡P的端口加上一個獨立電壓源U（或獨立電流源I）計算出端口電流I（或端口電壓U），那么。（ii）開路短路法：圖2-10-3（b）所示為戴維南等效電路，從中可知：短路電流，當然。當求出有源線性一端口網(wǎng)絡A端口的開路電壓、短路電流后，也就求出來了（注意的參考方向）。圖2-10-4 例2-10-1附圖例2-10-1 利用戴維南定理求圖2-10-4（a）所示電路中的電流I為多少？解：將A、B左邊部分電路看作有

5、源一端口網(wǎng)絡，用戴維南等效電路替代后如圖2-10-4（b）所示。（1）求：將A、B端口開路，得到圖2-10-4（c）所示電路。由米爾曼公式得：（2）求等效電阻：令A、B以左的三個獨立源為零，得到圖2-10-4（d）所示電路，則A、B端口的等效電阻為：（3）從圖2-10-4（b）中求I：例2-10-2 在圖2-10-5（a）所示電路中，已知，求A、B端 (圖2-10-5 例2-10-2附圖口的戴維南等效電路。解：（1）求：圖2-10-5（a）中A、B端口處于開路狀態(tài)，列寫KVL方程：（2）求等效電阻：下面分別用兩種方法求解。（i）開路短路法：開路電壓已在（1）中求得，現(xiàn)求A、B端口的短路電流。將

6、A、B端口短接，如圖2-10-5（b）所示，從圖中易看出：， 即則受控源則有： （ii） 加壓法：將獨立電壓源置零后，然后再在A、B端口加上一個電壓源，如圖2-10-5（c）所示。列寫KVL方程： 又因為： 所以： 最后，得到A、B端口的戴維南等效電路如圖2-10-5（d）所示。二、最大功率的傳輸條件：當一個線性有源一端口網(wǎng)絡化為戴維南等效電路后，在其端口接上可變電阻R，如圖2-10-6所示。當已知，那么當R為多少時它能獲得最大功率？獲得的最大功率又為多少？圖2-10-6令，得到： （式2-10-1 ）此時 （式2-10-2）（式2-10-1）就是最大功率的傳輸條件。若是信號源內阻，R是負載電

7、阻，則當滿足最大功率傳輸條件時，傳輸效率為50%，即有一半功率消耗在信號源內阻上。例2-10-3 在圖2-10-7（a）所示電路中，兩個有源一端口網(wǎng)絡、串聯(lián)后與R相連，從改變，測得時，；時，。（1）當R為多少時，能獲得最大功率？（2）當將圖2-10-7（b）所示電路代替R接于A、B端口時，VCVS的控制系數(shù)，求端口電壓。圖2-10-7例2-10-3附圖解：（1）首先將兩個有源一端口網(wǎng)絡化為戴維南等效電路，分別記為、，再將、等效為一個電壓源，記為，將串聯(lián)的、等效為一個電阻，于是串聯(lián)的兩個有源一端口網(wǎng)絡最后等效為一個電壓源和一個電阻的串聯(lián)，如圖2-10-7（c）所示。代入已知條件： 解之得： 所以

8、當時，獲得最大功率：（2）將圖2-10-7（b）所示電路接于A、B端口，利用節(jié)點電壓法，由米爾曼公式得：其中： 最后得到： 三、諾頓定理任一線性有源一端口網(wǎng)絡（如圖2-10-8（a）所示）對其余部分而言，可以等效為一個電流源與一個電阻相并聯(lián)的電路（如圖2-10-8（b）所示），其中的大小等于有源一端口網(wǎng)絡端口的短路電流，電流的方向從高電位點流出；等于戴維南定理中的，即等于令有源一端口網(wǎng)絡內所有獨立源為零后所構成的無源一端口網(wǎng)絡的等效電阻。 圖2-10-8利用戴維南定理，將網(wǎng)絡A化為、串聯(lián)電路，再根據(jù)實際電壓源與實際電流源模型的等效變換，將、串聯(lián)組成的實際電壓源模型化為由、并聯(lián)組成的實際電流源模

9、型，其中，顯然，從圖2-10-8（b）中易看出就是網(wǎng)絡A的短路電流，諾頓定理得證。圖2-10-9下面再利用替代定理、疊加定理，采用證明戴維南定理對偶的方法來證明諾頓定理。如圖2-10-8（a）所示，電阻上的電流為確定值，利用替代定理，用一個電壓源U替代電阻R，如圖2-10-9（a）所示。因為有源一端口網(wǎng)絡A為線性有源二端網(wǎng)絡，利用疊加定理，將圖2-10-9（a）中的電流I看作兩組獨立源分別作用產(chǎn)生的兩個分量之和：第一個分量是A中所有獨立源作用、令電壓源U為零時產(chǎn)生的電流，即A的短路電流，如圖2-10-9（b）所示；第二個分量是電壓源U單獨作用、令A中所有獨立源為零時產(chǎn)生的電流，如圖2-10-9

10、（c）所示，假設令A中所有獨立源為零（若含有受控源，受控源依然保留）后所形成的網(wǎng)絡P的入端電阻為，則，兩分量疊加得到：。比較圖2-10-9（a）與圖2-10-8（b），線性有源一端口網(wǎng)絡A與電流源、電阻并聯(lián)電路在端口上具有完全相同的端口特性方程，因此它們對其余部分而言彼此等效，故而諾頓定理成立。要計算一個線性有源一端口網(wǎng)絡A的諾頓等效電路，只要求出網(wǎng)絡A的短路電流、令網(wǎng)絡A中所有獨立源為零后的網(wǎng)絡P的入端等效電阻即可。諾頓定理中的與戴維南定理中的是完全相同的，因此求解方法也完全相同。圖2-10-10例2-10-4附圖例2-10-4 利用諾頓定理計算圖2-10-10（a）所示電路中的電流I。解：

11、（1）求短路電流：將A、B端口短接，右邊的電阻被短接，得到圖2-10-10（b）所示電路。 （2）求等效電阻：令左邊12V的電壓源為零，左邊電阻被短接，如圖2-10-10（c）所示。（3）畫出AB端口以左電路的諾頓等效電路，如圖2-10-10（d）所示。 圖2-10-11例2-10-5附圖例2-10-5 求圖2-10-11（a）所示電路的諾頓等效電路。解：（1）求短路電流：將兩端短接，如圖2-10-11（b）所示。由KVL有： 由KCL有： （2） 求A、B端口的等效電阻：令2V的電壓源、1A的電流源為零，受控源仍然保留，得到圖2-10-11（c）所示電路。戴維南定理和諾頓定理是線性電路中的重要定理，它可將任意復雜的線性有源一端口網(wǎng)絡化為等效的、簡單