模糊數(shù)學(xué)基礎(chǔ)

1、第六章 模糊數(shù)學(xué)基礎(chǔ)6.1 概述6.1.1 傳統(tǒng)數(shù)學(xué)與模糊數(shù)學(xué)6.1.2 不相容原理6.2 模糊集合與隸屬度函數(shù) 6.2.1 模糊集合及其運算 6.2.2 隸屬度函數(shù)6.3 模糊邏輯與模糊推理6.3.1 模糊邏輯6.3.2 模糊語言 6.3.3 模糊推理第六章 模糊數(shù)學(xué)基礎(chǔ)6.1 概述6.1.1 傳統(tǒng)數(shù)學(xué)與模糊數(shù)學(xué)6.1.2 不相容原理1965年，美國自動化控制專家扎德（L. A. Zadeh）教授首先提出用隸屬度函數(shù)(membership function)來描述模糊概念，創(chuàng)立了模糊集合論，為模糊數(shù)學(xué)奠定了基礎(chǔ)。 不相容原理:“隨著系統(tǒng)復(fù)雜性的增加，我們對其特性作出精確而有意義的描述的能力會

2、隨之降低，直到達(dá)到一個閾值，一旦超過它，精確和有意義二者將會相互排斥”。這就是說，事物越復(fù)雜，人們對它的認(rèn)識也就越模糊，也就越需要模糊數(shù)學(xué)。不相容原理深刻的闡明了模糊數(shù)學(xué)產(chǎn)生和發(fā)展的必然性，也為三十多年來模糊數(shù)學(xué)的發(fā)展歷史所證實。6.2 模糊集合與隸屬度函數(shù)6.2.1 模糊集合及其運算一、模糊集合（Fuzzy Sets）的定義傳統(tǒng)集合中的元素是有精確特性的對象，稱之為普通集合。例如，“8到12之間的實數(shù)”是一個精確集合C，C=實數(shù)r|8r12，用特征函數(shù)(r)表示其成員，如圖6.1(a)所示。在模糊論域上的元素符合程度不是絕對的0或1，而是介于0和1之間的一個實數(shù)。例如，“接近10的實數(shù)”是一

3、個模糊集合Fr|接近10的實數(shù)，用“隸屬度(Membership)” (r)作為特征函數(shù)來描述元素屬于集合的程度。(a) (b)圖6.1 普通集合與模糊集合的對比模糊集合的定義如下：論域U上的一個模糊集合F是指，對于論域U中的任一元素uU,都指定了0,1閉區(qū)間中的一個數(shù)(u)0,1與之對應(yīng)，(u)稱為u對模糊集合F的隸屬度。也可以表示成映射關(guān)系： ：U0,1 u(u)這個映射稱為模糊集合F的隸屬度函數(shù)（membership function）。 模糊集合有時也稱為模糊子集。U中的模糊集合F可以用元素u及其隸屬度(u)來表示： 仍以前面提到的“年輕”、“中年”、“老年”為例，這三個年齡特征分別用

4、模糊集合A、B、C表示，它們的論域都是U0，100，論域中的元素都是年齡u，我們可以規(guī)定模糊集合A、B、C的隸屬度函數(shù)分別為A(u)、B(u)、C(u)，如圖6.2所示。圖6.2 “年輕”、“中年”、“老年”的隸屬度函數(shù)二、模糊集合的表示1、離散論域如果論域中只包含有限個元素，該論域稱為離散論域。設(shè)離散論域u1,u2,，un，上的模糊集合可表示為 (6.2.1) 這只是一種表示法，表明對每個元素ui所定義的隸屬度為F(ui)，并不是通常的求和運算。2、連續(xù)論域如果論域是實數(shù)域，即，論域中有無窮多個連續(xù)的點，該論域稱為連續(xù)論域。連續(xù)論域上的模糊集合可表示為 (6.2.2)這里的積分號也不是通常的

5、含義，該式只是表示對論域中的每個元素u都定義了相應(yīng)的隸屬度函數(shù)F(u)。三、模糊集合的基本運算1、 基本運算的定義設(shè)A，B是同一論域U上的兩個模糊集合，它們之間包含、相等關(guān)系定義如下：l A包含B，記作AB，有 (6.2.3)l A等于B，記作AB，有 (6.2.4)顯然，且。設(shè)A、B是同一論域U上的兩個模糊集合，隸屬度函數(shù)分別為(u)和(u)，它們的并、交、補運算定義如下：l A與B的交，記作AB，有 ， (6.2.5)l A與B 的并，記作AB，有 ， (6.2.6)l A的補，記作，有 (6.2.7)其中，min和表示取小運算，max和表示取大運算。圖6.3顯示了這三種運算對應(yīng)的隸屬度函

6、數(shù)。(a)A和B的交； (b)A和B的并； (c)A的補圖6.3 模糊集合的三種運算 2. 基本運算定律論域上的模糊全集和模糊空集定義如下： ， (6.2.8) ， (6.2.9）設(shè)，是論域上的三個模糊集合，它們的交、并、補運算有下列定律： 恒等律： 交換律： 結(jié)合律： 分配律： 吸收律： 同一律： 復(fù)原律： 對偶律（摩根律）：以上八條運算定律，模糊集合和普通集合是完全相同的，但是普通集合的“互補律”對模糊集合卻不成立，如圖6.4所示，即 ， (a) (b) 圖6.4 模糊集合的運算不滿足“互補律”四、模糊關(guān)系設(shè)有兩個集合A，B，A和B的直積AB定義為它是由序偶(a,b)的全體所構(gòu)成的二維論域

7、上的集合。一般來說ABBA。設(shè)AB是集合A和B的直積，以AB為論域的模糊集合R稱為A和B的模糊關(guān)系。也就是說對AB中的任一元素(a,b)，都指定了它對R的隸屬度，R的隸屬度函數(shù)可看作是如下的映射： 設(shè)R1是X和Y的模糊關(guān)系，R2是Y和Z的模糊關(guān)系，那么R1和R2的合成是X到Z的一個模糊關(guān)系，記作，其隸屬度函數(shù)為， (6.2.10)6.2.2 隸屬度函數(shù) 正確地確定隸屬度函數(shù)，是運用模糊集合解決實際問題的基礎(chǔ)，是能否用好模糊集合的關(guān)鍵。目前隸屬度函數(shù)的確定方法大致有以下幾種： 模糊統(tǒng)計方法：用對樣本統(tǒng)計實驗的方法確定隸屬度函數(shù)。例證法：從有限個元素的隸屬度值來估計模糊子集隸屬度函數(shù)。專家經(jīng)驗法：

8、根據(jù)專家的經(jīng)驗來確定隸屬度函數(shù)。機器學(xué)習(xí)法：通過神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的學(xué)習(xí)訓(xùn)練得到隸屬度函數(shù)。 目前常用的隸屬度函數(shù)有： 三角形 三角形隸屬度函數(shù)曲線如圖6.5所示，隸屬度函數(shù)的解析式為 (6.2.11)圖6.5 三角形隸屬度函數(shù) 圖6.6 梯形隸屬度函數(shù) 梯形 梯形與三角形是最簡單的兩種隸屬度函數(shù)，應(yīng)用也非常廣泛。梯形隸屬度函數(shù)如圖6.6所示，解析式表示為 (6.2.12) 正態(tài)型這是一種最主要、最常見的分布，表示為： (6.2.13)其分布曲線如圖6.7所示：圖6.7 正態(tài)型分布曲線 型 如圖6.8所示，解析式表示為： (6.2.14) 其中0,0 。 Sigmiod型如圖6.9所示，解析式為： (6

9、.2.15)圖6.8 型隸屬度函數(shù) 圖6.9 igmoid型隸屬度函數(shù)6.3 模糊邏輯與模糊推理6.3.1 模糊邏輯模糊命題的真值應(yīng)是隸屬度函數(shù)，其取值應(yīng)在區(qū)間0,1上連續(xù)取值。模糊命題是普通命題在概念上的拓廣。它對應(yīng)的邏輯是連續(xù)邏輯（或多值邏輯），又稱為模糊邏輯。顯然，不僅普通命題能反映客觀世界，而模糊命題更是現(xiàn)實生活中常見的。隨著模糊邏輯的出現(xiàn)和發(fā)展，將對計算機科學(xué)、人工智能、模糊控制等方向的研究和發(fā)展起推動作用。 下面對模糊邏輯的運算作一簡單介紹。設(shè)有模糊命題X和Y，對應(yīng)的真值（隸屬度，也稱為模糊變量）x，y0,1，稱： 為模糊邏輯合取（交、與），真值為 為模糊邏輯析?。ú?、或），真值為

10、 為模糊邏輯否定（補、非），真值為 為模糊邏輯蘊含，真值為 為模糊邏輯恒等，真值為6.3.2 語言變量一、模糊數(shù)與語言變量模糊數(shù)和語言變量的定義如下：連續(xù)論域U中的模糊數(shù)F是一個U上的正規(guī)凸模糊集合。這里所謂正規(guī)集合的含義就是其隸屬度函數(shù)的最大值是1，即。凸集合的含義是：在隸屬度函數(shù)曲線上任意兩點之間，曲線上的任意一點所表示的隸屬度都大于或者等于兩點隸屬度中較小的一個，即在實數(shù)集合的任意區(qū)間a,b上，對于所有的xa,b，都有 (6.3.1) 語言變量用一個有五個元素的集合(,T(N),U,G,M)來表征，其中(1) 是語言變量的名稱，如年齡、數(shù)的大小等；(2) U為語言變量N的論域；(3) T

11、()為語言變量的值的集合，其中每個都是論域U上的模糊集合，如 T()T(年齡)=“很年輕”+“年輕”+“中年”+“較老”+“很老” 1+2+3+X4+X5(4) G為語法規(guī)則，用于產(chǎn)生語言變量N的值的名稱，研究原子單詞構(gòu)成合成詞后詞義的變化，并求取其隸屬度函數(shù)。其中，用“或”、“與”、“非”作連接詞構(gòu)成的合成詞，可以按模糊邏輯運算取真值，見6.3.1節(jié)；帶修飾詞算子的合成詞，其真值可以根據(jù)經(jīng)驗公式計算出來。常用的算子有以下幾種： 語氣算子，如“很”、“略”、“相當(dāng)”等； 模糊化算子，如“大概”、“近乎”、“差不多”等； 判定化算子，如“偏向”、“多半是”、“傾向于”等。(5) M是語義規(guī)則，根

12、據(jù)語義規(guī)則給出模糊子集X的隸屬度函數(shù)。以N年齡為例，表征語言變量的五元素集合如圖6.10所示。圖6.10 表示年齡的語言變量例 L. A. Zadeh在論域U=0,100歲內(nèi)給出了年齡的語言變量值“老“的模糊子集隸屬度函數(shù)為 其中修飾詞的隸屬度函數(shù)為： ，?，F(xiàn)以60歲為例，通過隸屬度函數(shù)分別計算它屬于“極老”、“非常老”、“相當(dāng)老”、“比較老”、“略老”、“稍微老”的程度為二、模糊語句1、 模糊直言語句模糊直言語句的句型為“x是A”，其中x是對象的名稱，A是論域U上的一個模糊子集。2、 模糊條件語句常用的模糊條件語句的句型有：“若A則B”型，也記為if A then B；“若A則B否則C”型，

13、也記為if A then B else C；“若A且B則C”型，也記為if A and B then C。6.3.3 模糊推理模糊推理的兩種重要推理規(guī)則： 廣義前向推理法（Generalize Modus Ponens，簡稱GMP）前提1：如果x是A，則y是B 前提2：x是A結(jié)論 ：那么y是B 廣義后向推理法（Generalize Modus Tollens，簡稱GMT）前提1：如果x是A，則y是B前提2：y是B結(jié)論 ：那么x是A1975年Zadeh利用模糊變換關(guān)系，在廣義前向推理法的基礎(chǔ)上，提出了模糊邏輯推理的合成規(guī)則，建立了統(tǒng)一的數(shù)學(xué)模型，用于對各種模糊推理作統(tǒng)一處理。其推理規(guī)則為：前提

14、：如果x是A，則y是B事實 ：x是A結(jié)論 ：那么y是 即結(jié)論B可用A與由A到B的推理關(guān)系進行合成而得到，其中的算子“”表示模糊關(guān)系的合成運算，(AB)表示由A到B進行推理的關(guān)系或者條件，即“如果x是A，那么y是B”的簡化表示方法。有時(AB)也可寫成R AB，其隸屬度函數(shù)被定義為 (6.3.2)那么的隸屬度函數(shù)為 (6.3.3)如何實現(xiàn)合成運算，有各種不同的方法，這決定于對蘊含運算的定義。一、 Zadeh模糊假言推理法 Zadeh把(AB)定義成 (AB)=1(1 - A + B) 或者 (AB)=(AB)(1 - A) (6.3.4)對于后者，其隸屬度函數(shù)為 (6.3.5)把(6.3.5)代

15、入(6.3.3)式，便得到了結(jié)論B的隸屬度函數(shù)。二、Mamdani推理法Mamdani則把(AB)定義成 (AB)=AB。下面是Mamdani推理法的具體過程。設(shè)U1，U2，.， Un 為n個有界論域，記Ui= ai，bi 。每個論域按一定規(guī)則分為li 個凸模糊子集Aij ，其隸屬度函數(shù)記為。記Si = Aij |j=1,2,., li 。則我們將模糊規(guī)則集表示為： (6.3.6) 其中m為模糊規(guī)則數(shù)，n為輸入變量個數(shù)，A , BSi 。如果有事實“ if x1 is a1 and x2 is a2 and . xn is an”，則結(jié)論“Y is B ” 可以這樣得出：由前提和第j條模糊規(guī)則

16、可得到推理結(jié)果為，則 (6.3.7)其中j=1,2 .m ,“”表示min操作。 經(jīng)(6.3.6)式推理后的結(jié)論B可綜合推理結(jié)果，,., 得到: (6.3.8) 其中“”表示max操作。 最終系統(tǒng)的輸出可以由“重心法”求出： , zi為常數(shù)。 (6.3.9) 圖6.11所示的是規(guī)則數(shù)為3（m=3），變量個數(shù)為2（n=2）的Mamdani推理過程。圖6.11 Mamdani推理過程三、模糊加權(quán)推理法 在模糊加權(quán)型推理法中，模糊規(guī)則集的結(jié)論表示為wj / zj，即將式(6.3.6)表示為： (6.3.10) 其中m為模糊規(guī)則數(shù)，n為輸入變量個數(shù)，ASi , zj為常數(shù)。wj / zj是構(gòu)成模糊集合

17、的一個元素，wj 表示權(quán)重，并不表示zj的等級，應(yīng)看作模糊規(guī)則自身的加權(quán)，即模糊規(guī)則的重視度或重要度。當(dāng)wj 1時，表示對第j條規(guī)則的強調(diào)，當(dāng)0 wj 1時，表示對第j條規(guī)則的抑制。 將推理結(jié)果中的運算改為“.”運算，我們定義事實“x1 is a1 and x2 is a2 and . xn is an”和各模糊規(guī)則的前件的適合度為： j=1,2 .m (6.3.11)則最終的結(jié)論z0可將規(guī)則后件zj在各適合度中帶上權(quán)重wj，由加權(quán)平均法求得，即： (6.3.12)四、廣義模糊加權(quán)推理法 定義輸入變量xi的模糊子集數(shù)為ki ，輸出變量Y的模糊子集數(shù)為l，設(shè)，則模糊規(guī)則的最大條數(shù)為。試圖列舉出模糊規(guī)則