ch9應(yīng)力狀態(tài)-2003.ppt

1、材 料 力 學(xué),第九章 應(yīng)力與應(yīng)變分析 Analysis of Stress 則:eb面dAcos a fb面dAsin a,在桿件中,我們經(jīng)常遇到的一點(diǎn)之應(yīng)力狀態(tài)為單向應(yīng)力狀態(tài)或平面應(yīng)力狀態(tài)。一般的空間應(yīng)力狀態(tài)在桿件中很少出現(xiàn),通常在彈性力學(xué)中討論。我們現(xiàn)在來研究平面應(yīng)力狀態(tài)下與零主應(yīng)力平面垂直的任意斜截面上的應(yīng)力。,由 得:,9-2 平面應(yīng)力狀態(tài)分析(I基本公式) Stress Analysis of Plane Stress State,由 得:,由剪應(yīng)力互等定理知(|ty|=|tx|),注意到圖中tx方向?yàn)檎?故|ty|=tx,利用,化簡(jiǎn)上兩式,得:,如以 代入上兩式,易得與a斜面垂直

2、的另一斜面上的正應(yīng)力和剪應(yīng)力。且有:,9-2 平面應(yīng)力狀態(tài)分析(II應(yīng)力圓) Stress Analysis of Plane Stress State(Stress Circle),下面介紹應(yīng)力圓的作法:,由基本公式易得:,將此兩式分別平方,然后對(duì)應(yīng)相加,可得:,此式表示一圓的方程,如圖所示。,此圓叫相應(yīng)單元體的應(yīng)力圓(or摩爾圓Mohrs Circle)。在Ost坐標(biāo)系中,其圓心在s軸上。圓心與坐標(biāo)原點(diǎn)O的距離為:,其半徑為:,9-2 平面應(yīng)力狀態(tài)分析(II應(yīng)力圓) Stress Analysis of Plane Stress State(Stress Circle),對(duì)圖a所示平面應(yīng)力

3、狀態(tài)微元體(已知:sx,sy,tx時(shí)),作應(yīng)力圓如下:,O,C,D1,D2,9-2 平面應(yīng)力狀態(tài)分析(II應(yīng)力園) Stress Analysis of Plane Stress State(Stress Circle),作好應(yīng)力圓后,可用極點(diǎn)法在圖上求解出此微元 體上與x軸夾角為a的任意斜截面上的sa,ta如下:,If x/s 作D1P/dc,P為與D1P應(yīng)力圓的交點(diǎn)。叫極點(diǎn)。,P(極點(diǎn)pole),E(sa,ta),應(yīng)力圓上E點(diǎn)的坐標(biāo),即為sa,ta,9-2 平面應(yīng)力狀態(tài)分析(II應(yīng)力園) Stress Analysis of Plane Stress State(Stress Circle

4、),下面證明前述圖解法的正確性: 如圖,應(yīng)有:,9-2 平面應(yīng)力狀態(tài)分析(II應(yīng)力園) Stress Analysis of Plane Stress State(Stress Circle),從以上作圖及證明可以看出,應(yīng)力圓上的點(diǎn)與單元體上的面之間存在一一對(duì)應(yīng)關(guān)系:單元體某一面上的應(yīng)力,必對(duì)應(yīng)于應(yīng)力圓上其一點(diǎn)的坐標(biāo);單元體上任意A、B兩個(gè)面的外法線之間的夾角若為b,則在應(yīng)力圓上代表該兩個(gè)面上應(yīng)力的兩點(diǎn)之間的圓弧段所對(duì)的圓心角必為2b,且兩者的轉(zhuǎn)向一致(如圖)。,實(shí)質(zhì)上,這種對(duì)應(yīng)關(guān)系是應(yīng)力圓的參數(shù)表達(dá)式(9l)和(92)以兩倍方位角為參變量的必然結(jié)果。根據(jù)這種對(duì)應(yīng)關(guān)系,只要由單元體的x平面和y

5、平面上已知的應(yīng)力sx、tx和sy、ty(=-tx)作出應(yīng)為圓,就可很容易地從應(yīng)力圓確定任一a截面上的應(yīng)力sa、ta。,應(yīng)力圓直觀地反映了一點(diǎn)處應(yīng)力狀態(tài)的特征,在實(shí)際應(yīng)用中,并不一定把應(yīng)力圓看作為純粹的圖解法,可以利用應(yīng)力圓來理解有關(guān)一點(diǎn)處應(yīng)力狀態(tài)的一些特征,或從圖上的幾何關(guān)系來分析一點(diǎn)處的應(yīng)力狀態(tài)。,9-2 平面應(yīng)力狀態(tài)分析(III主應(yīng)力與主平面Principal Stress and Principal Plane),圖解法(Graphical Method) 因?yàn)橹髌矫嫔蟭=0,故應(yīng)力圓與s軸的兩個(gè)交點(diǎn)A1,A2即為相應(yīng)單元體上的主應(yīng)力;對(duì)應(yīng)方向即主方向。,P(極點(diǎn)pole),sI,sII

6、,由應(yīng)力圓易得:主應(yīng)力是單元體上之最大和最小正應(yīng)力;兩主平面互相垂直。,(例題9-1,例題9-2:自學(xué)),9-2 平面應(yīng)力狀態(tài)分析(III主應(yīng)力與主平面Principal Stress and Principal Plane),作業(yè):9-2,9-9(c),9-10(g),解析法(Analytic Method) 因?yàn)橹髌矫嫔蟭=0,若已知微元體在x軸和y軸上的應(yīng)力sx、tx和sy、ty(=-tx),則x軸和主方向的夾角ao應(yīng)滿足:,與用轉(zhuǎn)軸公式推導(dǎo)慣性主軸和主矩類似,易得:,結(jié)合z軸為主應(yīng)力為零的一個(gè)已知主方向,且三個(gè)相互垂直的主應(yīng)力必須滿足,可進(jìn)一步確定s1,s2,s3 的數(shù)值和方向。,9-

7、3 梁的主應(yīng)力主應(yīng)力跡線的概念Principal Stress in Beam Principal Stress Trajectories,對(duì)橫力彎曲梁,其任一橫截面上的應(yīng)力為:,且在縱截面上:,故其沿梁高的應(yīng)力變化情況如圖所示。其上一般點(diǎn)的主應(yīng)力為:,可見,梁上任一點(diǎn)一般有一主拉應(yīng)力和一主壓應(yīng)力。 梁的主應(yīng)力跡線是指這樣一簇曲線,其上的每一點(diǎn)之切線方向均與該點(diǎn)的主應(yīng)力方向重合。,9-3 梁的主應(yīng)力主應(yīng)力跡線的概念Principal Stress in Beam Principal Stress Trajectories,作業(yè):9-13,因此,梁上存在兩組相互正交的主應(yīng)力跡線簇主拉應(yīng)力跡線和主

8、壓應(yīng)力跡線。 顯然,主應(yīng)力跡線的形狀與梁上荷載情況及其支承條件有關(guān)。 在設(shè)計(jì)鋼筋混凝土構(gòu)件時(shí),其上的主拉應(yīng)力跡線可指導(dǎo)構(gòu)件的配筋。 在光彈實(shí)驗(yàn)中常用到主應(yīng)力跡線的概念。,9-4 空間應(yīng)力狀態(tài)的研究Introduction to Analysis of Triaxial Stress State,如圖所示,一般的空間應(yīng)力狀態(tài)是一個(gè)二階張量。它可用一33的矩陣來表示。,通常,在剪應(yīng)力tij的兩個(gè)下標(biāo)中,第一個(gè)下標(biāo)i表示剪應(yīng)力所在的平面,第二個(gè)下標(biāo)j表示剪應(yīng)力的方向。,例題9-4: 自學(xué)。,9-4 空間應(yīng)力狀態(tài)的研究Introduction to Analysis of Triaxial Stres

9、s State,I. 三向應(yīng)力圓(Three-Dimensional Stress Circle),可見:,解:該單元體有一個(gè)已知的主應(yīng)力sz=20MPa。因此,與該主平面正交的各截面上的應(yīng)力與主應(yīng)力sz無關(guān),于是,可依據(jù)x截面和y截面上的應(yīng)力畫出應(yīng)力圓(圖b)。從圖上可量得兩個(gè)主應(yīng)力值為46MPa和-26MPa。將該單元體的三個(gè)主應(yīng)力按其代數(shù)值的大小順序排列為: s1=46MPa， s2=20MPa， s3=-26MPa,9-4 空間應(yīng)力狀態(tài)的研究Introduction to Analysis of Triaxial Stress State,例題93 單元體各面上的應(yīng)力如圖a所示。作應(yīng)力

10、圓,并求出主應(yīng)力和最大剪應(yīng)力值及其作用面方位。,9-4 空間應(yīng)力狀態(tài)的研究Introduction to Analysis of Triaxial Stress State,根據(jù)上述三個(gè)主應(yīng)力值,便可作出三個(gè)應(yīng)力圓如圖b所示。在三個(gè)應(yīng)力圓中的最大應(yīng)力圓上,B點(diǎn)的縱坐標(biāo)(該圓的半徑)即為該單元體的最大剪應(yīng)力，按比例尺量出為 tmax=BC=36MPa,從圖b的應(yīng)力圖上量得2ao=34o,據(jù)此便可確定s1所在的主平面方位和主單元體各面間的相互位置。其中最大剪應(yīng)力所在截面與s2平行,與s1和s3所在的主平面各成45o 夾角,如圖c所示。,9-4 空間應(yīng)力狀態(tài)的研究Introduction to An

11、alysis of Triaxial Stress State,作業(yè):9-17(a),例題93 單元體各面上的應(yīng)力如圖a所示。求主應(yīng)力和最大剪應(yīng)力值及其作用面方位。,解:該單元體有一個(gè)已知的主應(yīng)力sz=20MPa。因此,與該主平面正交的各截面上的應(yīng)力與主應(yīng)力sz無關(guān),于是,可依據(jù)x截面和y截面上的應(yīng)力求出另兩個(gè)主應(yīng)力值為:,將該單元體的三個(gè)主應(yīng)力按其代數(shù)值的大小順序排列為: s1=46MPa， s2=20MPa， s3=-26MPa s1所在的主平面方位:,9-5 平面應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)變研究Two - Dimensional Strain Analysis,一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)是由該點(diǎn)領(lǐng)域的變形情況決

12、定的。此點(diǎn)的應(yīng)變狀態(tài)即為該點(diǎn)鄰域的變形(應(yīng)變)情況的描述。彈性理論已證明:任一點(diǎn)的應(yīng)變狀態(tài)也存在三個(gè)相互垂直的主方向,在此方向上的剪應(yīng)變g0;且對(duì)各向同性材料,應(yīng)變主方向與應(yīng)力主平面的法線方向重合。,我們現(xiàn)在來研究已知z軸為一主方向時(shí)(gxz= gyz0),并已知ex,ey,gxy時(shí)求任意與x方向夾角為a的x方向(及y方向x軸)的ea,ga:,可以證明:,可見,若將ex,ey, -gxy/2,ea,-ga /2代換sx,sy,tx,(ty),sa,ta。則前面關(guān)于平面應(yīng)力狀態(tài)的結(jié)論均可相對(duì)應(yīng)地應(yīng)用于平面變形狀態(tài)的應(yīng)變研究中。,9-6 應(yīng)力與應(yīng)變間的關(guān)系Generalized Hookes La

13、w of Isotropical Materials Volumetric Strain,I,各向同性材料的廣義胡克定律: 一點(diǎn)的主應(yīng)變?yōu)檠丶魬?yīng)變0的方向上之線應(yīng)變。應(yīng)用彈性理論可以證明:對(duì)各向同性材料,主應(yīng)變方向與主應(yīng)力方向重合。故1方向的主應(yīng)變1為:,同理,得:,對(duì)平面應(yīng)力狀態(tài),不妨設(shè)s3=0,則有:,可見,在s3=0的平面應(yīng)力狀態(tài)下,e30。 各向同性材料的三個(gè)彈性常數(shù),存在以下關(guān)系:,9-6 應(yīng)力與應(yīng)變間的關(guān)系Generalized Hookes Law of Isotropical Materials Volumetric Strain,I,各向同性材料的廣義胡克定律: 對(duì)非主單元體

14、,在線彈性,小變形,各向同性的條件下,彈性理論已證明:沿坐標(biāo)軸方向,正應(yīng)力只引起線應(yīng)變,而剪應(yīng)力只引起同一平面內(nèi)的剪應(yīng)變。故有:,對(duì)sz=0, txz=tyz=0的平面應(yīng)力狀態(tài),有:,9-6 應(yīng)力與應(yīng)變間的關(guān)系Generalized Hookes Law of Isotropical Materials Volumetric Strain,對(duì)構(gòu)件上ez=0,gxz=gyz=0的點(diǎn),叫平面應(yīng)變狀態(tài)點(diǎn),其上的廣義胡克定律為:,II,各向異性材料的廣義胡克定律: (P31-33,自學(xué)),III,各向同性材料的體積應(yīng)變(Volumetric Strain): 微元體單位體積的體積變化,叫體積應(yīng)變。設(shè)微

15、元三邊長(zhǎng)dx, dy, dz,對(duì)應(yīng)之正應(yīng)力為x ,y ,z 。因小變形時(shí)對(duì)各向同性材料xy ,yz ,zx,所引起之線應(yīng)變x, y, z與正應(yīng)力引起之x ,y ,z 相比為高階微量,可忽略不計(jì)。故: V0 = dxdydz,V1= dxdydz = 1xdx 1ydy 1zdzV01xyzo 故,體積應(yīng)變 : = V1V0V0 = xyz,9-6 應(yīng)力與應(yīng)變間的關(guān)系(III,各向同性材料的體積應(yīng)變Volumetric Strain),將廣義胡克定律代入上式,得:,此式即線彈性小變形條件下的廣義體積胡克定律(Volumetric Hookes Law),上式表明:任一點(diǎn)處的體積應(yīng)變與該點(diǎn)處的三個(gè)

16、主應(yīng)力之和成正比。 對(duì)于平面純剪切應(yīng)力狀態(tài),s1=-s3=txy,s2=0,由上式可見,材料的體積應(yīng)變等于零。即在小變形條件下,剪應(yīng)力不引起各向同性材料的體積改變。,例題97 邊長(zhǎng)a=0.1m的銅立方塊,無間隙地放入體積較大、變形可略去不計(jì)的鋼凹槽中,如圖a所示。已知銅的彈性模量E=100GPa,泊松比m=0.34。當(dāng)受到P=300kN的均布?jí)毫ψ饔脮r(shí),求該銅塊的主應(yīng)力、體積應(yīng)變以及最大剪應(yīng)力。 分析: 銅塊受到軸向壓縮將產(chǎn)生膨脹,但是又受到剛性凹槽壁的阻礙,使得銅塊在x、z方向的應(yīng)變等于零。于是,在銅塊與槽壁接觸面間將產(chǎn)生均勻的壓應(yīng)力sx和sz，如圖b所示。 解:(參見教材PP34-35),

17、9-6 應(yīng)力與應(yīng)變間的關(guān)系(III,各向同性材料的體積應(yīng)變Volumetric Strain),作業(yè):9-23, 9-24,9-32,例題98 壁厚t=10mm、外徑D=60mm的薄壁圓筒,在表面上k點(diǎn)處與其軸線成45o和135 o角(即x、y兩方向)分別貼上應(yīng)變片,然后在圓筒兩端作用矩為m的扭轉(zhuǎn)力偶,如圖a所示。已知圓筒材料的彈性常數(shù)為E=200GPa和m=0.3。若該圓筒的變形在彈性范圍內(nèi),且tmax=80MPa,試求圓筒k點(diǎn)處的線應(yīng)變ex和ey以及變形后的筒壁厚度。 解:此薄壁圓筒上k點(diǎn)處的微元體的應(yīng)力狀態(tài)為純剪應(yīng)力狀態(tài)(如圖b),9-7 應(yīng)力與應(yīng)變間的關(guān)系(III,各向同性材料的體積應(yīng)

18、變Volumetric Strain),故筒壁厚度不變,仍為t=10mm,故有:,在比例加載的情況下,對(duì)應(yīng)于每一主應(yīng)力,其比能等于該主應(yīng)力乘以與之相應(yīng)的主應(yīng)變之半,而與其它主應(yīng)變無關(guān)。因此,在三個(gè)主應(yīng)力同時(shí)存在時(shí),單元體的比能應(yīng)為:,9-7 空間應(yīng)力狀態(tài)下的比能Strain Energy Intensity of Triaxial Stress State,物體受外力作用而產(chǎn)生彈性變形時(shí),在物體內(nèi)部將積蓄有應(yīng)變能,每單位體積物體內(nèi)所積蓄的應(yīng)變能稱為比能。在單軸應(yīng)力狀態(tài)下,物體內(nèi)所積蓄的比能為:,在純剪應(yīng)力狀態(tài)下,物體內(nèi)所積蓄的比能為:,對(duì)于在線彈性范圍內(nèi)、小變形條件下受力的物體,所積蓄的應(yīng)變能只取決于外力的最后數(shù)值,而與加力順序無關(guān)。,(因?yàn)?i與i呈線性關(guān)系),將用主應(yīng)力表達(dá)主應(yīng)變的廣義胡克定律式(916a)代入上式,經(jīng)整理簡(jiǎn)化后得:,下面以另一加載方式來驗(yàn)證之:,9-7 空間應(yīng)力狀態(tài)下的比能Strain Energy Intensity of Triaxial Stress State,如下各圖,設(shè)構(gòu)件上某點(diǎn)在加載過程中,相應(yīng)微元體應(yīng)力變化過程為:,彈性體總比能的一般表達(dá)式為:,由此可知:彈性比能只與點(diǎn)的應(yīng)力(