數(shù)學(xué)模型第三章.ppt

1、第三章 簡(jiǎn)單的優(yōu)化模型,3.1 存貯模型 3.2 生豬的出售時(shí)機(jī) 3.3 森林救火 3.4 最優(yōu)價(jià)格 3.5 血管分支 3.6 消費(fèi)者的選擇 3.7 冰山運(yùn)輸,現(xiàn)實(shí)世界中普遍存在著優(yōu)化問(wèn)題,靜態(tài)優(yōu)化問(wèn)題指最優(yōu)解是數(shù)(不是函數(shù)),建立靜態(tài)優(yōu)化模型的關(guān)鍵之一是根據(jù)建模目的確定恰當(dāng)?shù)哪繕?biāo)函數(shù),求解靜態(tài)優(yōu)化模型一般用微分法,靜 態(tài) 優(yōu) 化 模 型,3.1 存貯模型,問(wèn) 題,配件廠為裝配線生產(chǎn)若干種產(chǎn)品，輪換產(chǎn)品時(shí)因更換設(shè) 備要付生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)，產(chǎn)量大于需求時(shí)要付貯存費(fèi)。該廠 生產(chǎn)能力非常大，即所需數(shù)量可在很短時(shí)間內(nèi)產(chǎn)出。,已知某產(chǎn)品日需求量100件，生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)5000元，貯存費(fèi) 每日每件1元。試安排該產(chǎn)品

2、的生產(chǎn)計(jì)劃，即多少天生產(chǎn) 一次（生產(chǎn)周期），每次產(chǎn)量多少，使總費(fèi)用最小。,要 求,不只是回答問(wèn)題，而且要建立生產(chǎn)周期、產(chǎn)量與 需求量、準(zhǔn)備費(fèi)、貯存費(fèi)之間的關(guān)系。,問(wèn)題分析與思考,每天生產(chǎn)一次，每次100件，無(wú)貯存費(fèi)，準(zhǔn)備費(fèi)5000元。,日需求100件，準(zhǔn)備費(fèi)5000元，貯存費(fèi)每日每件1元。,10天生產(chǎn)一次，每次1000件，貯存費(fèi)900+800+100 =4500元，準(zhǔn)備費(fèi)5000元，總計(jì)9500元。,50天生產(chǎn)一次，每次5000件，貯存費(fèi)4900+4800+100 =122500元，準(zhǔn)備費(fèi)5000元，總計(jì)127500元。,平均每天費(fèi)用950元,平均每天費(fèi)用2550元,10天生產(chǎn)一次平均每天費(fèi)用

3、最小嗎?,每天費(fèi)用5000元,這是一個(gè)優(yōu)化問(wèn)題，關(guān)鍵在建立目標(biāo)函數(shù)。,顯然不能用一個(gè)周期的總費(fèi)用作為目標(biāo)函數(shù),目標(biāo)函數(shù)每天總費(fèi)用的平均值,周期短，產(chǎn)量小,周期長(zhǎng)，產(chǎn)量大,問(wèn)題分析與思考,模 型 假 設(shè),1. 產(chǎn)品每天的需求量為常數(shù) r；,2. 每次生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)為 c1, 每天每件產(chǎn)品貯存費(fèi)為 c2；,3. T天生產(chǎn)一次（周期）, 每次生產(chǎn)Q件，當(dāng)貯存量 為零時(shí)，Q件產(chǎn)品立即到來(lái)（生產(chǎn)時(shí)間不計(jì)）；,建 模 目 的,設(shè) r, c1, c2 已知，求T, Q 使每天總費(fèi)用的平均值最小。,4. 為方便起見(jiàn)，時(shí)間和產(chǎn)量都作為連續(xù)量處理。,模 型 建 立,貯存量表示為時(shí)間的函數(shù) q(t),t=0生產(chǎn)Q件，q

4、(0)=Q, q(t)以 需求速率r遞減，q(T)=0.,一周期 總費(fèi)用,每天總費(fèi)用平均 值（目標(biāo)函數(shù)）,離散問(wèn)題連續(xù)化,一周期貯存費(fèi)為,A=QT/2,模型求解,求 T 使,模型分析,模型應(yīng)用,c1=5000, c2=1，r=100,回答問(wèn)題,經(jīng)濟(jì)批量訂貨公式（EOQ公式）,每天需求量 r，每次訂貨費(fèi) c1,每天每件貯存費(fèi) c2 ，,用于訂貨、供應(yīng)、存貯情形,不允許缺貨的存貯模型,問(wèn)：為什么不考慮生產(chǎn)費(fèi)用？在什么條件下才不考慮？,T天訂貨一次(周期), 每次訂貨Q件，當(dāng)貯存量降到 零時(shí)，Q件立即到貨。,允許缺貨的存貯模型,A,B,當(dāng)貯存量降到零時(shí)仍有需求r, 出現(xiàn)缺貨，造成損失,原模型假設(shè)：貯

5、存量降到零時(shí)Q件立即生產(chǎn)出來(lái)(或立即到貨),現(xiàn)假設(shè)：允許缺貨, 每天每件缺貨損失費(fèi) c3 , 缺貨需補(bǔ)足,一周期貯存費(fèi),一周期缺貨費(fèi),周期T, t=T1貯存量降到零,一周期總費(fèi)用,每天總費(fèi)用 平均值 （目標(biāo)函數(shù)）,一周期總費(fèi)用,求 T ,Q 使,為與不允許缺貨的存貯模型相比，T記作T , Q記作Q,不允許缺貨模型,記,允許缺貨模型,允許缺貨模型,注意：缺貨需補(bǔ)足,Q每周期初的存貯量,每周期的生產(chǎn)量R （或訂貨量）,Q不允許缺貨時(shí)的產(chǎn)量(或訂貨量),3.2 生豬的出售時(shí)機(jī),飼養(yǎng)場(chǎng)每天投入4元資金，用于飼料、人力、設(shè)備，估計(jì)可使80千克重的生豬體重增加2公斤。,問(wèn)題,市場(chǎng)價(jià)格目前為每千克8元，但是

6、預(yù)測(cè)每天會(huì)降低 0.1元，問(wèn)生豬應(yīng)何時(shí)出售。,如果估計(jì)和預(yù)測(cè)有誤差，對(duì)結(jié)果有何影響。,分析,投入資金使生豬體重隨時(shí)間增加，出售單價(jià)隨時(shí)間減少，故存在最佳出售時(shí)機(jī)，使利潤(rùn)最大,求 t 使Q(t)最大,10天后出售，可多得利潤(rùn)20元,建模及求解,生豬體重 w=80+rt,出售價(jià)格 p=8-gt,銷(xiāo)售收入 R=pw,資金投入 C=4t,利潤(rùn) Q=R-C=pw -C,估計(jì)r=2，,若當(dāng)前出售，利潤(rùn)為808=640（元）,t 天出售,=10,Q(10)=660 640,g=0.1,敏感性分析,研究 r, g變化時(shí)對(duì)模型結(jié)果的影響,設(shè)g=0.1不變,t 對(duì)r 的（相對(duì)）敏感度,生豬每天體重增加量r 增加1

7、%，出售時(shí)間推遲3%。,敏感性分析,研究 r, g變化時(shí)對(duì)模型結(jié)果的影響,設(shè)r=2不變,t 對(duì)g的（相對(duì)）敏感度,生豬價(jià)格每天的降低量g增加1%，出售時(shí)間提前3%。,強(qiáng)健性分析,保留生豬直到利潤(rùn)的增值等于每天的費(fèi)用時(shí)出售,由 S(t,r)=3,建議過(guò)一周后(t=7)重新估計(jì) , 再作計(jì)算。,研究 r, g不是常數(shù)時(shí)對(duì)模型結(jié)果的影響,w=80+rt w = w(t),p=8-gt p =p(t),若 (10%), 則 （30%）,3.3 森林救火,森林失火后，要確定派出消防隊(duì)員的數(shù)量。 隊(duì)員多，森林損失小，救援費(fèi)用大； 隊(duì)員少，森林損失大，救援費(fèi)用小。 綜合考慮損失費(fèi)和救援費(fèi)，確定隊(duì)員數(shù)量。,問(wèn)

8、題分析,問(wèn)題,記隊(duì)員人數(shù)x, 失火時(shí)刻t=0, 開(kāi)始救火時(shí)刻t1, 滅火時(shí)刻t2, 時(shí)刻t森林燒毀面積B(t).,損失費(fèi)f1(x)是x的減函數(shù), 由燒毀面積B(t2)決定.,救援費(fèi)f2(x)是x的增函數(shù), 由隊(duì)員人數(shù)和救火時(shí)間決定.,存在恰當(dāng)?shù)膞，使f1(x), f2(x)之和最小,關(guān)鍵是對(duì)B(t)作出合理的簡(jiǎn)化假設(shè).,問(wèn)題分析,失火時(shí)刻t=0, 開(kāi)始救火時(shí)刻t1, 滅火時(shí)刻t2, 畫(huà)出時(shí)刻 t 森林燒毀面積B(t)的大致圖形,分析B(t)比較困難,轉(zhuǎn)而討論森林燒毀速度dB/dt.,模型假設(shè),3）f1(x)與B(t2)成正比，系數(shù)c1 (燒毀單位面積損失費(fèi)）,1）0tt1, dB/dt 與 t

9、成正比，系數(shù) (火勢(shì)蔓延速度）,2）t1tt2, 降為-x (為隊(duì)員的平均滅火速度）,4）每個(gè)隊(duì)員的單位時(shí)間滅火費(fèi)用c2, 一次性費(fèi)用c3,假設(shè)1）的解釋,火勢(shì)以失火點(diǎn)為中心，均勻向四周呈圓形蔓延，半徑 r與 t 成正比,模型建立,目標(biāo)函數(shù)總費(fèi)用,模型建立,目標(biāo)函數(shù)總費(fèi)用,模型求解,求 x使 C(x)最小,結(jié)果解釋, / 是火勢(shì)不繼續(xù)蔓延的最少隊(duì)員數(shù),其中 c1,c2,c3, t1, ,為已知參數(shù),模型應(yīng)用,c1,c2,c3已知, t1可估計(jì),c2 x,c1, t1, x,c3 , x ,結(jié)果解釋,c1燒毀單位面積損失費(fèi), c2每個(gè)隊(duì)員單位時(shí)間滅火費(fèi), c3每個(gè)隊(duì)員一次性費(fèi)用, t1開(kāi)始救火時(shí)

10、刻, 火勢(shì)蔓延速度, 每個(gè)隊(duì)員平均滅火速度.,為什么?, ,可設(shè)置一系列數(shù)值,由模型決定隊(duì)員數(shù)量x,3.4 最優(yōu)價(jià)格,問(wèn)題,根據(jù)產(chǎn)品成本和市場(chǎng)需求，在產(chǎn)銷(xiāo)平衡條件下確定商品價(jià)格，使利潤(rùn)最大,假設(shè),1）產(chǎn)量等于銷(xiāo)量，記作 x,2）收入與銷(xiāo)量 x 成正比，系數(shù) p 即價(jià)格,3）支出與產(chǎn)量 x 成正比，系數(shù) q 即成本,4）銷(xiāo)量 x 依賴(lài)于價(jià)格 p, x(p)是減函數(shù),建模與求解,收入,支出,利潤(rùn),進(jìn)一步設(shè),求p使U(p)最大,使利潤(rùn) U(p)最大的最優(yōu)價(jià)格 p*滿足,最大利潤(rùn)在邊際收入等于邊際支出時(shí)達(dá)到,建模與求解,結(jié)果解釋,q / 2 成本的一半,b 價(jià)格上升1單位時(shí)銷(xiāo)量的下降 幅度（需求對(duì)價(jià)格

11、的敏感度）,a 絕對(duì)需求( p很小時(shí)的需求),b p*,a p* ,思考：如何得到參數(shù)a, b?,3.5 血 管 分 支,背景,機(jī)體提供能量維持血液在血管中的流動(dòng),給血管壁以營(yíng)養(yǎng),克服血液流動(dòng)的阻力,消耗能量取決于血管的幾何形狀,在長(zhǎng)期進(jìn)化中動(dòng)物血管的幾何形狀已經(jīng)達(dá)到能量最小原則,研究在能量最小原則下，血管分支處粗細(xì)血管半徑比例和分岔角度,問(wèn)題,模型假設(shè),一條粗血管和兩條細(xì)血管在分支點(diǎn)對(duì)稱(chēng)地處于同一平面,血液流動(dòng)近似于粘性流體在剛性管道中的運(yùn)動(dòng),血液給血管壁的能量隨管壁的內(nèi)表面積和體積的增加而增加，管壁厚度近似與血管半徑成正比,q=2q1,r/r1, ?,考察血管AC與CB, CB,粘性流體在

12、剛性管道中運(yùn)動(dòng), pA,C壓力差， 粘性系數(shù),克服阻力消耗能量,提供營(yíng)養(yǎng)消耗能量,管壁內(nèi)表面積 2rl,管壁體積(d2+2rd)l,管壁厚度d與r成正比,模型假設(shè),模型建立,克服阻力消耗能量,提供營(yíng)養(yǎng)消耗能量,機(jī)體為血流提供能量,模型求解,模型解釋,生物學(xué)家：結(jié)果與觀察大致吻合,大動(dòng)脈半徑rmax, 毛細(xì)血管半徑rmin,大動(dòng)脈到毛細(xì)血管有n次分岔,觀察：狗的血管,血管總條數(shù),推論,n=？,3.6 消費(fèi)者均衡,問(wèn)題,消費(fèi)者對(duì)甲乙兩種商品的偏愛(ài)程度用無(wú)差別曲線族表示，問(wèn)他如何分配一定數(shù)量的錢(qián)，購(gòu)買(mǎi)這兩種商品，以達(dá)到最大的滿意度。,設(shè)甲乙數(shù)量為q1,q2, 消費(fèi)者的無(wú)差別曲線族(單調(diào)減、下凸、不相

13、交），記作 U(q1,q2)=c,U(q1,q2) 效用函數(shù),已知甲乙價(jià)格 p1,p2, 有錢(qián)s，試分配s,購(gòu)買(mǎi)甲乙數(shù)量 q1,q2,使 U(q1,q2)最大.,模型及 求解,已知價(jià)格 p1,p2,錢(qián) s, 求q1,q2,或 p1q1 / p2q2, 使 U(q1,q2)最大,幾何解釋,直線MN:,最優(yōu)解Q: MN與 l2切點(diǎn),斜率,結(jié)果解釋,邊際效用,消費(fèi)者均衡狀態(tài)在兩種商品的邊際效用之比恰等于它們價(jià)格之比時(shí)達(dá)到。,效用函數(shù)U(q1,q2) 應(yīng)滿足的條件,A. U(q1,q2) =c 所確定的函數(shù) q2=q2(q1)單調(diào)減、下凸,解釋 B的實(shí)際意義,效用函數(shù)U(q1,q2) 幾種常用的形式,

14、消費(fèi)者均衡狀態(tài)下購(gòu)買(mǎi)兩種商品費(fèi)用之比與二者價(jià)格之比的平方根成正比。,U(q1,q2)中參數(shù) , 分別表示消費(fèi)者對(duì)甲乙兩種商品的偏愛(ài)程度。,購(gòu)買(mǎi)兩種商品費(fèi)用之比與二者價(jià)格無(wú)關(guān)。,U(q1,q2)中參數(shù) , 分別表示對(duì)甲乙的偏愛(ài)程度。,思考：如何推廣到 m ( 2) 種商品的情況,效用函數(shù)U(q1,q2) 幾種常用的形式,3.7 冰山運(yùn)輸,背景,波斯灣地區(qū)水資源貧乏，淡化海水的成本為每立方米0.1英鎊。,專(zhuān)家建議從9600千米遠(yuǎn)的南極用拖船運(yùn)送冰山，取代淡化海水,從經(jīng)濟(jì)角度研究冰山運(yùn)輸?shù)目尚行浴?建模準(zhǔn)備,1. 日租金和最大運(yùn)量,2. 燃料消耗（英鎊/千米）,3. 融化速率（米/天）,建模準(zhǔn)備,建

15、模目的,選擇船型和船速，使冰山到達(dá)目的地后每立米水的費(fèi)用最低，并與淡化海水的費(fèi)用比較,模型假設(shè),航行過(guò)程中船速不變，總距離9600千米,冰山呈球形，球面各點(diǎn)融化速率相同,到達(dá)目的地后，每立方米冰可融化0.85立方米水,建模分析,目的地水體積,運(yùn)輸過(guò)程融化規(guī)律,總費(fèi)用,模型建立,1. 冰山融化規(guī)律,船速u(mài) (千米/小時(shí)) 與南極距離d(千米) 融化速率r(米/天）,r是 u 的線性函數(shù)； d4000時(shí)u與d無(wú)關(guān).,航行 t 天,第t天融化速率,1. 冰山融化規(guī)律,冰山初始半徑R0，航行t天時(shí)半徑,冰山初始體積,t天時(shí)體積,總航行天數(shù),選定u,V0, 航行t天時(shí)冰山體積,到達(dá)目的地時(shí)冰山體積,2. 燃料消耗,燃料消耗 q1(英鎊/千米),q1對(duì)u線性, 對(duì)log10V線性,選定u,V0, 航行第t天燃料消耗 q (英鎊/天),燃料消耗總費(fèi)用,3. 運(yùn)送每立方米水費(fèi)用,冰山初始體積V0的日租金 f(V0)（英鎊）,航行天數(shù),總?cè)剂舷馁M(fèi)用,拖船租金費(fèi)用,冰山運(yùn)輸總費(fèi)用,冰山到達(dá)目的地后得到的水體積,3. 運(yùn)送每立方米水費(fèi)用,冰山運(yùn)輸總費(fèi)用,運(yùn)送每立方米水費(fèi)用,到達(dá)目的地時(shí)冰山體積,模型求解