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1、 計(jì)算方法總復(fù)習(xí)第一章 緒論例1 已知數(shù) x=2.,取近似值 x*=2.7182,那麼x具有幾位有效數(shù)字點(diǎn)評(píng);考查的有效數(shù)字的概念。解; 故有四位有效數(shù)字。例2近似數(shù)關(guān)于真值有幾位有效數(shù)字解:故有三位有效數(shù)字。例3數(shù)值x*的近似值x=0.1215102,若滿足( ),則稱x有4位有效數(shù)字點(diǎn)評(píng);已知有效數(shù)字的位數(shù),反過來考查有絕對(duì)誤差。解;有四位有效數(shù)字則意味著如果是一個(gè)形如的數(shù)則絕對(duì)誤差限一定為,由于題目中的數(shù),故最終的絕對(duì)誤差為 例4有效數(shù),試確定的相對(duì)誤差限。點(diǎn)評(píng);此題考查相對(duì)誤差的傳播。故有解:=0.例5sin1有2位有效數(shù)字的近似值0.84的相對(duì)誤差限是 .解法1 :(有效數(shù)字與相對(duì)誤
2、差限的關(guān)系)解法2;(相對(duì)誤差限的概念)例6的相對(duì)誤差為的相對(duì)誤差的-倍。解:根據(jù)誤差傳播公式則有 第二章例1設(shè)可微,求根的牛頓迭代公式-。解;化簡(jiǎn)得到 根據(jù)牛頓迭代格式 則相應(yīng)的得到 例2: 求方程在區(qū)間1, 1.5內(nèi)的實(shí)根。要求準(zhǔn)確到小數(shù)點(diǎn)后第2位。思路;用二分法,這里a = 1, b = 1.5, 且f (a) 0。取區(qū)間a, b的中點(diǎn)x0 = 1.25將區(qū)間二等分,由于f (x0)0 f (1) = -7 0)的迭代公式,并用以上公式求解:設(shè),(x 0)則c就是f (x) =0的正根。由為f (x) = 2x,所以得迭代公式或(2.6)由于x 0時(shí),f (x) 0,且f (x) 0,根
3、據(jù)定理3知:取任意初值,所確定的迭代序列xk必收斂于。取初值x = 0.88,計(jì)算結(jié)果見表kxk00.8810.8846920.8846830.88468故可取第三章 例1.用列主元消去法解線性方程組計(jì)算過程保留4位小數(shù). 解. Ab= (選為主元) (換行,消元) (選為主元,并換行消元) 系數(shù)矩陣為上三角形矩陣,于是回代得解方程組的解為X(1.000 0,2.000 0,3.000 0)T 例2:用列主元高斯消去法求解方程由于解方程組取決于它的系數(shù),因此可用這些系數(shù)(包括右端項(xiàng))所構(gòu)成的“增廣矩陣”作為方程組的一種簡(jiǎn)化形式。對(duì)這種增廣矩陣施行消元手續(xù):第一步將4選為主元素,并把主元素所在的
4、行定為主元行,然后將主元行換到第一行得到消元過程的結(jié)果歸結(jié)到下列三角形方程組:回代,得例3:用直接三角分解法解解:(1)對(duì)于r = 1,利用計(jì)算公式 l21 = 2 l 31 = 3(2)對(duì)于r = 2, = 5 2 2 = 1= 2 2 3 = -4(3)r = 3于是(4)求解:Ly = b 得到y(tǒng)1 = 14y2 = b2 l21y1 = 18 2 14 = -10y3 = b3 (l31y1 + l32y2) = 20 (3 14 + (-5)(-10) = - 72從而 y = (14, -10, -72)T由Ux= y 得到例5:用雅克比迭代法和高斯賽得爾迭代法解線性方程組解:所給
5、線性方程組的系數(shù)矩陣按行嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu),故雅克比迭代法和高斯賽得爾迭代法都收斂。D = diag (9, 8, 9) D-1 = diag (1/9, 1/8, 1/9) 雅克比迭代法的迭代公式為:取X(0) = (0, 0, 0)T,由上述公式得逐次近似值如下:k01234X (i)高斯賽得爾迭代法:迭代結(jié)果為:k01234x(i)例6考察用高斯賽德爾迭代法解方程組收斂性,并取,求近似解,使得(i=1,2,3)解法同上(1,1,-1)例7. 設(shè)矩陣A,那么以A為系數(shù)矩陣的線性方程組AXb的雅可比迭代矩陣為( A )(A) (B) (C) (D) 例8、 高斯-塞爾德迭代法解線性方程組 的迭代格
6、式中求 例9、 若 則矩陣A的譜半徑 (A)= 第五章第六章1 矛盾方程組的最小二乘解為-。2 給出擬合三點(diǎn)和的直線方程。第七章1插值型求積公式的求積系數(shù)之和為1 已知,則差商 。3 求積公式有幾次的代數(shù)精確度?(1)4 插值型求積公式的代數(shù)精確度至少是-次。N5 已知n=4時(shí)牛頓科茨求積公式的科茨系數(shù)那么( )6 設(shè)求積公式,若對(duì) 的多項(xiàng)式積分公式精確成立,而至少有一個(gè)m+1次多項(xiàng)式不成立。則稱該求積公式具有m次代數(shù)精度. 7 取m=4,即n=8,用復(fù)化拋物線求積公式計(jì)算積分 計(jì)算過程保留4位小數(shù). 解 n=8, h=,f(x)=ln(1+x2)計(jì)算列表 = 奇數(shù)號(hào)偶數(shù)號(hào)端點(diǎn) 0 0.000
7、 1 0.15 0.022 3 2 0.30 0.086 2 3 0.45 0.184 4 4 0.60 0.307 5 5 0.75 0.446 3 6 0.90 0.593 3 7 1.05 0.743 1 8 1.200.892 0S 1.396 1 0.987 00.892 0代入拋物線求積公式 第八章例1用歐拉法求初值問題當(dāng)h = 0.02時(shí)在區(qū)間0, 0.10上的數(shù)值解。解 把代入歐拉法計(jì)算公式。就得具體計(jì)算結(jié)果如下表:nxnyny(xn)en = y(xn) - yn001.00001.0000010.020.98200.98250.000520.040.96500.96600.
8、000530.060.94890.95030.001440.080.93360.93540.001850.100.91920.9230.0021例2.取h=0.1, 用改進(jìn)歐拉法預(yù)報(bào)校正公式求初值問題在x=0.1, 0.2處的近似值. 計(jì)算過程保留3位小數(shù). 預(yù)報(bào)校正公式為h=0.1,x0=0,y0=1,x1=0.1,于是有 h=0.1,x1=0.1,y1=1.227,x2=0.2,于是有 所求為y(0.1)y1=1.227 y(0.2)y2=1.528 例3 導(dǎo)出用三階泰勒級(jí)數(shù)法解方程的計(jì)算公式解:因故而其中表示f(x, y)對(duì)x的k階偏導(dǎo)數(shù)在x = xn點(diǎn)上的值。例4 用龍格庫(kù)塔法解初值問題y = x2 y (0x1) y(0) = 1解 : 取 h = 0.1, 由下面公式把初始條件
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