小學(xué)數(shù)學(xué)常用的十一種解題思路.docx

1、小學(xué)數(shù)學(xué)常用的十一種解題思路一、直接思路 (本文選自：小學(xué)數(shù)學(xué)解題方法、思路、技巧匯編點(diǎn)擊)“直接思路”是解題中的常規(guī)思路。它一般是通過分析、綜合、歸納等方法，直接找到解題的途徑?！卷樝蚓C合思路】從已知條件出發(fā)，根據(jù)數(shù)量關(guān)系先選擇兩個已知數(shù)量，提出可以解決的問題；然后把所求出的數(shù)量作為新的已知條件，與其他的已知條件搭配，再提出可以解決的問題；這樣逐步推導(dǎo)，直到求出所要求的解為止。這就是順向綜合思路，運(yùn)用這種思路解題的方法叫“綜合法”。例1 兄弟倆騎車出外郊游，弟弟先出發(fā)，速度為每分鐘200米，弟弟出發(fā)5分鐘后，哥哥帶一條狗出發(fā)，以每分鐘250米的速度追趕弟弟，而狗以每分鐘300米的速度向弟弟追

2、去，追上弟弟后，立即返回，見到哥哥后又立即向弟弟追去，直到哥哥追上弟弟，這時狗跑了多少千米？分析（按順向綜合思路探索）：（1）根據(jù)弟弟速度為每分鐘200米，出發(fā)5分鐘的條件，可以求什么？可以求出弟弟走了多少米，也就是哥哥追趕弟弟的距離。（2）根據(jù)弟弟速度為每分鐘200米，哥哥速度為每分鐘250米，可以求什么？可以求出哥哥每分鐘能追上弟弟多少米。（3）通過計算后可以知道哥哥追趕弟弟的距離為1000米，每分鐘可追上的距離為50米，根據(jù)這兩個條件，可以求什么？可以求出哥哥趕上弟弟所需的時間。（4）狗在哥哥與弟弟之間來回不斷奔跑，看起來很復(fù)雜，仔細(xì)想一想，狗跑的時間與誰用的時間是一樣的？狗跑的時間與哥

3、哥追上弟弟所用的時間是相同的。（5）已知狗以每分鐘300米的速度，在哥哥與弟弟之間來回奔跑，直到哥哥追上弟弟為止，和哥哥追上弟弟所需的時間，可以求什么？可以求出這時狗總共跑了多少距離？這個分析思路可以用下圖（圖2.1）表示。例2 下面圖形（圖2.2）中有多少條線段？分析（仍可用綜合思路考慮）：我們知道，直線上兩點(diǎn)間的一段叫做線段，如果我們把上面任意相鄰兩點(diǎn)間的線段叫做基本線段，那么就可以這樣來計數(shù)。（1）左端點(diǎn)是A的線段有哪些？有 AB AC AD AE AF AG共 6條。（2）左端點(diǎn)是B的線段有哪些？有 BC、BD、BE、BF、BG共5條。（3）左端點(diǎn)是C的線段有哪些？有CD、CE、CF、

4、CG共4條。（4）左端點(diǎn)是D的線段有哪些？有DE、DF、DG共3條。（5）左端點(diǎn)是E的線段有哪些？有EF、EG共2條。（6）左端點(diǎn)是F的線段有哪些？有FG共1條。然后把這些線段加起來就是所要求的線段。二、逆向分析思路從題目的問題入手，根據(jù)數(shù)量關(guān)系，找出解這個問題所需要的兩個條件，然后把其中的一個（或兩個）未知的條件作為要解決的問題，再找出解這一個（或兩個）問題所需的條件；這樣逐步逆推，直到所找的條件在題里都是已知的為止，這就是逆向分析思路，運(yùn)用這種思路解題的方法叫分析法。例1 兩只船分別從上游的A地和下游的B地同時相向而行，水的流速為每分鐘30米，兩船在靜水中的速度都是每分鐘600米，有一天，

5、兩船又分別從A、B兩地同時相向而行，但這次水流速度為平時的2倍，所以兩船相遇的地點(diǎn)比平時相遇點(diǎn)相差60米，求A、B兩地間的距離。分析（用分析思路考慮）：（1）要求A、B兩地間的距離，根據(jù)題意需要什么條件？需要知道兩船的速度和與兩船相遇的時間。（2）要求兩船的速度和，必要什么條件？兩船分別的速度各是多少。題中已告之在靜水中兩船都是每分鐘600米，那么不論其水速是否改變，其速度和均為（600+600）米，這是因為順?biāo)贋椋捍?水速，逆水船速為：船速-水速，故順?biāo)倥c逆水船速的和為：船速+水速+船速-水速=2個船速（實(shí)為船在靜水中的速度）（3）要求相遇的時間，根據(jù)題意要什么條件？兩次相遇的時間

6、因為距離相同，速度和相同，所以應(yīng)該是相等的，這就是說，盡管水流的速度第二次比第一次每分鐘增加了30米，仍不會改變相遇時間，只是改變了相遇地點(diǎn)：偏離原相遇點(diǎn)60米，由此可知兩船相遇的時間為6030=2（小時）。此分析思路可以用下圖（圖2.3）表示：例2 五環(huán)圖由內(nèi)徑為4，外徑為5的五個圓環(huán)組成，其中兩兩相交的小曲邊四邊形（陰影部分）的面積都相等（如圖2.4），已知五個圓環(huán)蓋住的總面積是122.5，求每個小曲邊四邊形的面積（圓周率取3.14）分析（仍用逆向分析思路探索）：（1）要求每個小曲邊四邊形的面積，根據(jù)題意必須知道什么條件？曲邊四邊形的面積，沒有公式可求，但若知道8個小曲邊四邊形的總面積，則

7、只要用8個曲邊四邊形總面積除以8，就可以得到每個小曲邊四邊形的面積了。（2）要求8個小曲邊四邊形的總面積，根據(jù)題意需要什么條件？8個小曲邊四邊形恰好是圓環(huán)面積兩兩相交重疊一次的部分，因此只要把五個圓環(huán)的總面積減去五個圓環(huán)蓋住的總面積就可以了。（3）要求五個圓環(huán)的總面積，根據(jù)題意需要什么條件？求出一個圓環(huán)的面積，然后乘以5，就是五個圓環(huán)的總面積。（4）要求每個圓環(huán)的面積，需要什么條件？已知圓環(huán)的內(nèi)徑（4）和外徑（5），然后按圓環(huán)面積公式求就是了。圓環(huán)面積公式為：S圓環(huán)=（R2-r2）=（Rr）（Rr）其思路可用下圖（圖2.5）表示：三、一步倒推思路順向綜合思路和逆向分析思路是互相聯(lián)系，不可分割的

8、。在解題時，兩種思路常常協(xié)同運(yùn)用，一般根據(jù)問題先逆推第一步，再根據(jù)應(yīng)用題的條件順推，使雙方在中間接通，我們把這種思路叫“一步倒推思路”。這種思路簡明實(shí)用。例1 一只桶裝滿10千克水，另外有可裝3千克和7千克水的兩只空桶，利用這三只桶，怎樣才能把10千克水分為5千克的兩份？分析（用一步倒推思路考慮）：（1）逆推第一步：把10千克水平分為5千克的兩份，根據(jù)題意，關(guān)鍵是要找到什么條件？因為有一只可裝3千克水的桶，只要在另一只桶里剩2千克水，利用32=5，就可以把水分成5千克一桶，所以關(guān)鍵是要先倒出一個2千克水。（2）按條件順推。第一次：10千克水倒入7千克桶，10千克水桶剩3千克水，7千克水倒入3千

9、克桶，7千克水桶剩4千克水，3千克水桶里有水3千克；第二次：3千克桶的水倒入10千克水桶，這時10千克水桶里有水6千克，把7千克桶里的4千克水倒入3千克水桶里，這時7千克水桶里剩水1千克，3千克水桶里有水3千克；第三次：3千克桶里的水倒入10千克桶里，這時10千克桶里有水9千克，7千克桶里的1千克水倒入3千克桶里，這時7千克桶里無水，3千克桶里有水1千克；第四次：10千克桶里的9千克水倒入7千克桶里，10千克水桶里剩下 2千克水，7千克桶里的水倒入3千克桶里（原有1千克水），只倒出2千克水，7千克桶里剩水5千克，3千克桶里有水3千克，然后把3千克桶里的3千克水倒10千克桶里，因為原有2千克水，

10、這時也正好是5千克水了。其思路可用下圖（圖2.6和圖2.7）表示：問題：例2 今有長度分別為1、2、39厘米的線段各一條，可用多少種不同的方法，從中選用若干條線段組成正方形？分析（仍可用一步倒推思路來考慮）：（1）逆推第一步。要求能用多少種不同方法，從中選用若干條線段組成正方形必須的條件是什么？根據(jù)題意，必須知道兩個條件。一是確定正方形邊長的長度范圍，二是每一種邊長有幾種組成方法。（2）從條件順推。因為九條線段的長度各不相同，所以用這些線段組成的正方形至少要7條，最多用了9條，這樣就可以求出正方形邊長的長度范圍為（1+2+當(dāng)邊長為7厘米時，各邊分別由1+6、2+5、3+4及7組成，只有一種組成

11、方法。當(dāng)邊長為8厘米時，各邊分別由1+7、2+6、3+5及8組成，也只有一種組成方法。當(dāng)邊長為9厘米時，各邊分別由1+8、2+7、3+6及9；18、27、4+5及9；27、36、4+5及9；18、36、45及9；18、2+7、36及45共5種組成方法。當(dāng)邊長為10厘米時，各邊分別由1+9、28、37及46組成，也只有一種組成方法。當(dāng)邊長為11厘米時，各邊分別由2+9、 38、47及5+6組成，也只有一種組成方法。將上述各種組成法相加，就是所求問題了。此題的思路圖如下（圖2.8）：問題：四、還原思路從敘述事情的最后結(jié)果出發(fā)利用已知條件，一步步倒著推理，直到解決問題，這種解題思路叫還原思路。解這類

12、問題，從最后結(jié)果往回算，原來加的用減、原來減的用加，原來乘的用除，原來除的用乘。運(yùn)用還原思路解題的方法叫“還原法”。例1 一個數(shù)加上2，減去3，乘以4，除以5等于12，你猜這個數(shù)是多少？分析（用還原思路考慮）：從運(yùn)算結(jié)果12逐步逆推，這個數(shù)沒除以5時應(yīng)等于多少？沒乘以4時應(yīng)等于多少？不減去3時應(yīng)等于多少？不加上2時又是多少？這里分別利用了加與減，乘與除之間的逆運(yùn)算關(guān)系，一步步倒推還原，直找到答案。其思路圖如下（圖2.9）：條件：例2 李白街上走，提壺去打酒；遇店加一倍，見花喝一斗，三遇店和花，喝光壺中酒。試問酒壺中，原有多少酒？分析（用還原思路探索）：李白打酒是我國民間自古以來廣為流傳的一道用

13、打油詩敘述的著名算題。題意是：李白提壺上街買酒、喝酒，每次遇到酒店，便將壺中的酒量增添1倍，而每次見到香花，便飲酒作詩，喝酒1斗。這樣他遇店、見花經(jīng)過3次，便把所有的酒全喝光了。問：李白的酒壺中原有酒多少？下面我們運(yùn)用還原思路，從“三遇店和花，喝光壺中酒”開始推算。見花前有1斗酒。第三次：見花后壺中酒全喝光。第三次：遇店前壺中有酒半斗。第一次：見花前壺中有酒為第二次遇店前的再加1斗。遇店前壺中有酒為第一次見花前的一半。其思路圖如下五、假設(shè)思路在自然科學(xué)領(lǐng)域內(nèi)，一些重要的定理、法則、公式等，常常是在“首先提出假設(shè)、猜想，然后再進(jìn)行檢驗、證實(shí)”的過程中建立起來的。數(shù)學(xué)解題中，也離不開假設(shè)思路，尤其

14、是在解比較復(fù)雜的題目時，如能用“假設(shè)”的辦法去思考，往往比其他思路簡捷、方便。我們把先提出假設(shè)、猜想，再進(jìn)行檢驗、證實(shí)的解題思路，叫假設(shè)思路。例1 中山百貨商店，委托運(yùn)輸隊包運(yùn)1000只花瓶，議定每只花瓶運(yùn)費(fèi)0.4元，如果損壞一只，不但不給運(yùn)費(fèi)，而且還要賠償損失5.1元。結(jié)果運(yùn)輸隊獲得運(yùn)費(fèi)382.5元。問：損壞了花瓶多少只？分析（用假設(shè)思路考慮）：（1）假設(shè)在運(yùn)輸過程中沒有損壞一個花瓶，那么所得的運(yùn)費(fèi)應(yīng)該是多少？0.41000=400（元）。（2）而實(shí)際只有383.5元，這當(dāng)中的差額，說明損壞了花瓶，而損壞一只花瓶，不但不給運(yùn)費(fèi)，而且還要賠償損失5.1元，這就是說損壞一只花瓶比不損壞一只花瓶的

15、差額應(yīng)該是多少元？0.45.1=5.5（元）（3）總差額中含有一個5.5元，就損壞了一只花瓶，含有幾個5.5元，就是損壞了幾只花瓶。由此便可求得本題的答案。例2 有100名學(xué)生在車站準(zhǔn)備乘車去離車站600米的烈士紀(jì)念館搞活動，等最后一人到達(dá)紀(jì)念館45分鐘以后，再去離紀(jì)念館900米的公園搞活動?，F(xiàn)在有中巴和大巴各一輛，它們的速度分別是每分鐘300米和150米，而中巴和大巴分別可乘坐10人和25人，問最后一批學(xué)生到達(dá)公園最少需要多少時間？分析（用假設(shè)思路思索）；假設(shè)從車站直接經(jīng)烈士紀(jì)念館到公園，則路程為（600900）米。把在最后1人到達(dá)紀(jì)念館后停留45分鐘，假設(shè)為在公園停留45分鐘，則問題將大大

16、簡化。（1）從車站經(jīng)烈士紀(jì)念館到達(dá)公園，中巴、大巴往返一次各要多少時間？中巴：（600+900）3002=10（分鐘）大巴：（600+900）1502=20（分鐘）（2）中巴和大巴在20分鐘內(nèi)共可運(yùn)多少人？中巴每次可坐10人，往返一次要10分鐘，故20分鐘可運(yùn)20人。大巴每次可坐25人，往返一次要20分鐘，故20分鐘可運(yùn)25人。所以在20分鐘內(nèi)中巴、大巴共運(yùn)45人。（3）中巴和大巴 20分鐘可運(yùn) 45人，那么 40分鐘就可運(yùn)452=90（人），100人運(yùn)走90人還剩下10人，還需中巴再花10分鐘運(yùn)一次就夠了。（4）最后可求出最后一批學(xué)生到達(dá)公園的時間：把運(yùn)90人所需的時間，運(yùn)10人所需的時間，

17、和在紀(jì)念館停留的時間相加即可。六、消去思路對于要求兩個或兩個以上未知數(shù)的數(shù)學(xué)題，我們可以想辦法將其中一個未知數(shù)進(jìn)行轉(zhuǎn)化，進(jìn)而消去一個未知數(shù)，使數(shù)量關(guān)系化繁為簡，這種思路叫消去思路，運(yùn)用消去思路解題的方法叫消去法。二元一次方程組的解法，就是沿著這條思路考慮的。例1 師徒兩人合做一批零件，徒弟做了6小時，師傅做了8小時，一共做了312個零件，徒弟5小時的工作量等于師傅2小時的工作量，師徒每小時各做多少個零件？分析（用消去思路考慮）：這里有師、徒每小時各做多少個零件兩個未知量。如果以徒弟每小時工作量為1份，把師傅的工作量用徒弟的工作量來代替，那么師傅8小時的工作量相當(dāng)于這樣的幾份呢？很明顯，師傅2小

18、時的工作量相當(dāng)于徒弟5小時的工作量，那么8小時里有幾個2小時就是幾個5小時工作量，這樣就把師傅的工作量換成了徒弟的工作量，題目里就消去了師傅工作量這個未知數(shù)；然后再看312個零件里包含了多少個徒弟單位時間里的工作量，就是徒弟應(yīng)做多少個。求出了徒弟的工作量，根據(jù)題中師博工作量與徒弟工作量的倍數(shù)關(guān)系，也就能求出師傅的工作量了。例2 小明買2本練習(xí)本、2枝鉛筆、2塊橡皮，共用0.36元，小軍買4本練習(xí)本、3枝鉛筆、2塊橡皮，共用去0.60元，小慶買5本練習(xí)本、4枝鉛筆、2塊橡皮，共用去0.75元，問練習(xí)本、鉛筆、橡皮的單價各是多少錢？分析（用消去法思考）：這里有三個未知數(shù)，即練習(xí)本、鉛筆、橡皮的單價

19、各是多少錢？我們要同時求出三個未知數(shù)是有困難的。應(yīng)該考慮從三個未知數(shù)中先去掉兩個未知數(shù)，只留下一個未知數(shù)就好了。如何消去一個未知數(shù)或兩個未知數(shù)？一般能直接消去的就直接消去，不能直接消去，就通過擴(kuò)大或縮小若干倍，使它們之間有兩個相同的數(shù)量，再用加減法即可消去，本題把小明小軍、小慶所購買的物品排列如下：小明 2本 2枝 2塊 0.36元小軍 4本 3枝 2塊 0.60元小慶 5本 4枝 2塊 0.75元現(xiàn)在把小明的各數(shù)分別除以2，可得到1本練習(xí)本、1枝鉛筆、1塊橡皮共0.18元。接著用小慶的各數(shù)減去小軍的各數(shù)，得1本練習(xí)本、1枝鉛筆為0.15元。再把小明各數(shù)除以2所得的各數(shù)減去上數(shù)，就消去了練習(xí)本

20、、鉛筆兩個未知數(shù)，得到1塊橡皮0.03元，采用類似的方法可求出練習(xí)本和鉛筆的單價。七、轉(zhuǎn)化思路解題時，如果用一般方法暫時解答不出來，就可以變換一種方式去思考，或改變思考的角度，或轉(zhuǎn)化為另外一種問題，這就是轉(zhuǎn)化思路。運(yùn)用轉(zhuǎn)化思路解題就叫轉(zhuǎn)化法。各養(yǎng)兔多少只？分析（用轉(zhuǎn)化思路思索）：題中數(shù)量關(guān)系比較復(fù)雜，兩個分率的標(biāo)準(zhǔn)量不同，為了簡化數(shù)量關(guān)系，只呢？這時兩人養(yǎng)的總只數(shù)該是多少只呢？假設(shè)后的數(shù)量關(guān)系，兩人養(yǎng)的總只數(shù)應(yīng)是：100-163=52（只）分析（用轉(zhuǎn)化思路分析）：本題求和，題中每個分?jǐn)?shù)的分子都是1，分母是幾個連續(xù)自然數(shù)的和，好像不能把每個分?jǐn)?shù)分成兩個分?jǐn)?shù)相減，然后相加抵消一些數(shù)。但是只要我們按

21、等差數(shù)列求和公式，求出分母就會發(fā)現(xiàn)，可將上面各分?jǐn)?shù)的分母轉(zhuǎn)化為兩個連續(xù)自然數(shù)積的形式。然后再相加，抵消中間的各個分?jǐn)?shù)即可。八、類比思路類比就是從一個問題想到了相似的另一個問題。例如從等差數(shù)列求和公式想到梯形面積公式，從矩形面積公式想到長方體體積公式等等；類比是一個重要的思想方法，也是解題的一種重要思路。例1 有一個掛鐘，每小時敲一次鐘，幾點(diǎn)鐘就敲幾下，鐘敲6下，5秒鐘敲完；鐘敲12下，幾秒敲完？分析（用類比思路探討）：有人會盲目地由倍數(shù)關(guān)系下結(jié)淪，誤認(rèn)為10秒鐘敲完，那就完全錯了。其實(shí)此題只要運(yùn)用類比思路，與植樹問題聯(lián)系起來想一想就通了：一條線路植樹分成幾段（株距），如果不包括兩個端點(diǎn)，共需植

22、（n-1）棵樹，如果包括兩個端點(diǎn)，共需植樹（n1）棵，把鐘點(diǎn)指數(shù)看作是一棵棵的樹，把敲的時間看作棵距，此題就迎刃而解了。例2 從時針指向4點(diǎn)開始，再經(jīng)過多少分鐘，時針正好與分鐘重合。分析（用類比思路討論）：本題可以與行程問題進(jìn)行類比。如圖2.11，如果用時針1小時所走的一格作為路程單位，那么本題可以重新敘述為：已知分針與時針相距4格，分如果分針與時針同時同向出發(fā)，問：分針過多少分鐘可追上時針？這樣就與行程問題中的追及問題相似了。4為距離差，速度差為，重合的時間，就是追上的時間。九、分類思路把一個復(fù)雜的問題，依照某種規(guī)律，分解成若干個較簡單的問題，從而使問題得到解決，這就是分類思路。這種思路在解

23、決數(shù)圖形個數(shù)問題中經(jīng)常用到。例1 如圖2.12，共有多少個三角形？分析（用分類思路考慮）：這樣的圖直接去數(shù)有多少個三角形，要做到能不重復(fù)，又不遺漏，是比較困難的。怎么辦？可以把圖中所有三角形按大小分成幾類，然后分類去數(shù)，再相加就是總數(shù)了。本題根據(jù)條件，可以分為五類（如圖2.13）。例2 如圖2.14，象棋棋盤上一只小卒過河后沿著最短的路走到對方“將”處，這小卒有多少種不同的走法？分析（運(yùn)用分類思路分析）：小卒過河后，首先到達(dá)A點(diǎn)，因此，題目實(shí)際上是問：從A點(diǎn)出發(fā)，沿最短路徑有多少種走法可以到達(dá)“將”處，所謂最短，是指不走回頭路。因為“將”直接相通的是P點(diǎn)和K點(diǎn)，所以要求從A點(diǎn)到“將”處有多少種

24、走法，就必須是求出從A到P和從A到K各有多少種走法。分類。一種走法：A到B、C、D、E、F、G都是各有一種走法。二種走法：從A到H有兩種走法。三種走法：從A到M及從A到I各有三種走法。其他各類的走法：因為從A到M、到I各有3種走法，所以從A到N就有336種走法了，因為從A到I有3種走法，從A到D有1種走法，所以從A到J就有31=4種走法了；P與N、J相鄰，而A到N有6種走法，A到J有4種走法，所以從A到P就有6+4=10種走法了；同理K與J、E相鄰，而A到J有4種走法，到E有1種走法，所以A到K就有4+1=5種走法。再求從A到“將”處共有多少種走法就非常容易了。十、等量代換思路有些題的數(shù)量關(guān)系

25、十分隱蔽，如果用一般的分析推理，難于找出數(shù)量之間的內(nèi)在聯(lián)系，求出要求的數(shù)量。那么我們就根據(jù)已知條件與未知條件相等的關(guān)系，使未知條件轉(zhuǎn)化為已知條件，使隱蔽的數(shù)量關(guān)系明朗化，促使問題迎刃而解。這種思路叫等量代換思路。例1 如圖2.15的正方形邊長是6厘米，甲三角形是正方形中的一部分，乙三角形的面積比甲三角形大6平方厘米，求CE長多少厘米？分析（用等量代換思路思考）：按一般思路，要求CE的長，必須知道乙三角形的面積和高，而這兩個條件都不知道，似乎無法入手。用等量代換思路，我們可以求出三角形ABE的面積，從而求出CE的長，怎樣求這個三角形的面積呢？設(shè)梯形為丙：已知 乙=甲+6丙+甲=66=36用甲+6代換乙，可得丙+乙=丙+甲+6=36+6=42即三角形ABE的面積等于42平方厘米，這樣，再來求CE的長就簡單了。例2 有三堆棋子，每堆棋子數(shù)一樣多，并且都只有黑白兩色棋子。第一這三堆棋子集中一起，問白子占全部棋子的幾分之幾？分析（用等量代換的思路來探討）：這道題數(shù)量關(guān)系比較復(fù)雜，如果我們把第一堆里的黑子和第二堆的白子對換一下，那么這個問題