2019屆高考數(shù)學(xué)備考沖刺140分問題37圓錐曲線中的存在探索問題(含解析).doc

1、問題37圓錐曲線中的存在、探索問題一、考情分析圓錐曲線中的存在性問題、探索問題是高考?？碱}型之一 ,它是在題設(shè)條件下探索某個數(shù)學(xué)對象 (點(diǎn)、線、數(shù)等 )是否存在或某個結(jié)論是否成立.由于題目多變,解法不一,我們在平時的教學(xué)中對這類題目訓(xùn)練較少,因而學(xué)生遇到這類題目時,往往感到無從下手,本文針對圓錐曲線中這類問題進(jìn)行了探討二、經(jīng)驗(yàn)分享解決探索性問題的注意事項(xiàng)探索性問題，先假設(shè)存在，推證滿足條件的結(jié)論，若結(jié)論正確則存在，若結(jié)論不正確則不存在(1)當(dāng)條件和結(jié)論不唯一時要分類討論；(2)當(dāng)給出結(jié)論而要推導(dǎo)出存在的條件時，先假設(shè)成立，再推出條件；(3)當(dāng)條件和結(jié)論都不知，按常規(guī)方法解題很難時，要開放思維，

2、采取另外合適的方法三、知識拓展探索性問題是一種具有開放性和發(fā)散性的問題，此類題目的條件或結(jié)論不完備。要求解答者自己去探索，結(jié)合已有條件，進(jìn)行觀察、分析、比較和概括。它對學(xué)生的數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)意識及綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)方法的能力提出了較高的要求。它有利于培養(yǎng)學(xué)生探索、分析、歸納、判斷、討論與證明等方面的能力，使學(xué)生經(jīng)歷一個發(fā)現(xiàn)問題、研究問題、解決問題的全過程。探索性問題一般可分為：條件追溯型，結(jié)論探索型、條件重組型，存在判斷型，規(guī)律探究型，實(shí)驗(yàn)操作型。每一種類型其求解策略又有所不同。因此，我們在求解時就必須首先要明辨它是哪一種類型的探索問題，然后再根據(jù)所屬類型制定解題策略。下面分別加以說明：1、條件追溯型

3、這類問題的基本特征是：針對一個結(jié)論，條件未知需探索，或條件增刪需確定，或條件正誤需判斷。解決這類問題的基本策略是：執(zhí)果索因，先尋找結(jié)論成立的必要條件，再通過檢驗(yàn)或認(rèn)證找到結(jié)論成立的充分條件。在“執(zhí)果索因”的過程中，常常會犯的一個錯誤是不考慮推理過程的可逆與否，誤將必要條件當(dāng)作充分條件，應(yīng)引起注意。2、結(jié)論探索型這類問題的基本特征是：有條件而無結(jié)論或結(jié)論的正確與否需要確定。解決這類問題的策略是：先探索結(jié)論而后去論證結(jié)論。在探索過程中?？上葟奶厥馇樾稳胧?，通過觀察、分析、歸納、判斷來作一番猜測，得出結(jié)論，再就一般情形去認(rèn)證結(jié)論。3、條件重組型這類問題是指給出了一些相關(guān)命題，但需對這些命題進(jìn)行重新組

4、合構(gòu)成新的復(fù)合命題，或題設(shè)的結(jié)求的方向，條件和結(jié)論都需要去探求的一類問題。此類問題更難，解題要有更強(qiáng)的基礎(chǔ)知識和基本技能，需要要聯(lián)想等手段。一般的解題的思路是通過對條件的反復(fù)重新組合進(jìn)行逐一探求。應(yīng)該說此類問題是真正意義上的創(chuàng)新思維和創(chuàng)造力。4、存在判斷型這類問題的基本特征是：要判斷在某些確定條件下的某一數(shù)學(xué)對象(數(shù)值、圖形、函數(shù)等)是否存在或某一結(jié)論是否成立。解決這類問題的基本策略是：通常假定題中的數(shù)學(xué)對象存在(或結(jié)論成立)或暫且認(rèn)可其中的一部分的結(jié)論，然后在這個前提下進(jìn)行邏輯推理，若由此導(dǎo)出矛盾，則否定假設(shè)；否則，給出肯定結(jié)論。其中反證法在解題中起著重要的作用。5、規(guī)律探究型這類問題的基本

5、特征是：未給出問題的結(jié)論，需要由特殊情況入手，猜想、證明一般結(jié)論。解決這類問題的基本策略是：通常需要研究簡化形式但保持本質(zhì)的特殊情形，從條件出發(fā)，通過觀察、試驗(yàn)、歸納、類比、猜測、聯(lián)想來探路，解題過程中創(chuàng)新成分比較高。在數(shù)列問題研究中，經(jīng)常是據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)所提供的信息作大膽的猜測，然后用數(shù)學(xué)歸納法證明。6、實(shí)驗(yàn)操作型這類問題的基本特征是：給出一定的條件要求設(shè)計一種方案。解決這類問題的基本策略是：需要借助逆向思考動手實(shí)踐。總之，解決探索性問題，較少現(xiàn)成的套路和常規(guī)程序，需要較多的分析和數(shù)學(xué)思想方法的綜合應(yīng)用。它對學(xué)生的觀察、聯(lián)想、類比、猜想、抽象、概括等方面的能力有較高的要求。 四、題型分析(一

6、) 是否存在值【例1】已知橢圓=1（ab0）的離心率e=,過點(diǎn)A（0,-b）和B（a,0）的直線與坐標(biāo)原點(diǎn)距離為.（1）求橢圓的方程；（2）已知定點(diǎn)E（-1,0）,若直線y=kx+2（k0）與橢圓相交于C、D兩點(diǎn),試判斷是否存在k值,使以CD為直徑的圓過定點(diǎn)E？若存在求出這個k值,若不存在說明理由.【分析】（1）先由兩點(diǎn)式求出直線方程,再根據(jù)離心率和點(diǎn)到直線距離公式列出方程解出,即可求得；（2）假設(shè)存在這樣的直線,聯(lián)立直線方程和橢圓方程,消去y,得到x的一元二次方程,求出兩根之和和兩根之積,要使以CD為直徑的圓過點(diǎn)E,當(dāng)且僅當(dāng)CEDE時,則,再利用y=kx+2,將上式轉(zhuǎn)化,最后求得,并驗(yàn)證.【

7、解析】（1）直線AB方程為：bx-ay-ab0 依題意 解得 橢圓方程為 （2）假設(shè)存在這樣的k值,由得 設(shè), ,則 而 8分要使以CD為直徑的圓過點(diǎn)E（-1,0）,當(dāng)且僅當(dāng)CEDE時,則,即 將式代入整理解得 經(jīng)驗(yàn)證,使成立 綜上可知,存在,使得以CD為直徑的圓過點(diǎn)E . .【點(diǎn)評】解決探索性問題的注意事項(xiàng)探索性問題,先假設(shè)存在,推證滿足條件的結(jié)論,若結(jié)論正確則存在,若結(jié)論不正確則不存在(1)當(dāng)條件和結(jié)論不唯一時要分類討論；(2)當(dāng)給出結(jié)論而要推導(dǎo)出存在的條件時,先假設(shè)成立,再推出條件；(3)當(dāng)條件和結(jié)論都不知,按常規(guī)方法解題很難時,要開放思維,采取另外合適的方法【小試牛刀】【安徽省江南十校

8、2019屆高三3月綜合素質(zhì)檢測】已知拋物線的準(zhǔn)線方程為.（1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過點(diǎn)作斜率為的直線交拋物線于，兩點(diǎn)，點(diǎn)，連接，與拋物線分別交于，兩點(diǎn)，直線的斜率記為，問：是否存在實(shí)數(shù)，使得成立，若存在，求出實(shí)數(shù)的值；若不存在，請說明理由.【解析】（1）由準(zhǔn)線方程可知：（2）設(shè)，（互不相等） 則，同理三點(diǎn)共線 即 同理 將拋物線與直線聯(lián)立得：由韋達(dá)定理： (二) 是否存在點(diǎn)【例2】已知點(diǎn)是橢圓上任一點(diǎn),點(diǎn)到直線的距離為,到點(diǎn)的距離為,且.直線與橢圓交于不同兩點(diǎn)（都在軸上方）,且.（1）求橢圓的方程；（2）當(dāng)為橢圓與軸正半軸的交點(diǎn)時,求直線方程；（3）對于動直線,是否存在一個定點(diǎn),無論如何

9、變化,直線總經(jīng)過此定點(diǎn)？若存在,求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在,請說明理由.【分析】(1) 設(shè),用坐標(biāo)表示條件列出方程化簡整理可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)由（1）可知,即可得,由得,寫出直線的方程與橢圓方程聯(lián)立,求出點(diǎn)的坐標(biāo),由兩點(diǎn)式求直線的方程即可；(3)由,得,設(shè)直線方程為,與橢圓方程聯(lián)立得,由根與系數(shù)關(guān)系計算得,從而得到直線方程為,從而得到直線過定點(diǎn).【解析】（1）設(shè),則, ,化簡,得,橢圓的方程為. （2）, 又,.代入解,得（舍）, ,.即直線方程為. （3）,.設(shè),直線方程為.代直線方程入,得. ,=, 直線方程為,直線總經(jīng)過定點(diǎn). 【點(diǎn)評】定點(diǎn)的探索與證明問題(1)探索直線過定點(diǎn)時,可

10、設(shè)出直線方程為ykxb,然后利用條件建立b、k等量關(guān)系進(jìn)行消元,借助于直線系的思想找出定點(diǎn)(2)從特殊情況入手,先探求定點(diǎn),再證明與變量無關(guān)【小試牛刀】【晉冀魯豫名校2018-2019年度高三上學(xué)期期末聯(lián)考】已知橢圓的離心率為，短軸長為（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若橢圓的左焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，則在軸上是否存在一個定點(diǎn)使得直線的斜率互為相反數(shù)？若存在，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，也請說明理由【解析】（1）據(jù)題意，得 解得， 所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（2）據(jù)題設(shè)知點(diǎn)，當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為由，得設(shè)，則 設(shè)，則直線的斜率分別滿足又因?yàn)橹本€的斜率互為相反數(shù)，所以，所以，所以，所以

11、，所以，所以 若對任意恒成立，則，當(dāng)直線的斜率不存在時，若，則點(diǎn)滿足直線的斜率互為相反數(shù) 綜上，在軸上存在一個定點(diǎn)，使得直線的斜率互為相反數(shù) (三) 是否存在直線【例3】設(shè)F1,F2分別是橢圓的左右焦點(diǎn).（1）若P是該橢圓上的一個動點(diǎn),求的最大值和最小值.（2）是否存在經(jīng)過點(diǎn)A（5,0）的直線l與橢圓交于不同的兩點(diǎn)C,D,使得|F2C|F2D|？若存在,求直線l的方程；若不存在,請說明理由.【分析】（1）將數(shù)量積轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)表示,利用坐標(biāo)的有界性求出最值；（2）設(shè)出直線方程,根據(jù)|F2C|F2D|,可知F2在弦CD的中垂線上,利用中點(diǎn)和斜率關(guān)系,寫出中垂線方程,代入F2點(diǎn)即可判斷.【解析】（1）

12、易知a,b2,c1,F1（1,0）,F2（1,0）設(shè)P（x,y）,則（1x,y）（1x,y）x2y21x24x21x23x20,5,當(dāng)x0,即點(diǎn)P為橢圓短軸端點(diǎn)時,有最小值3；當(dāng)x,即點(diǎn)P為橢圓長軸端點(diǎn)時,有最大值4.（2）假設(shè)存在滿足條件的直線l,易知點(diǎn)A（5,0）在橢圓外部,當(dāng)直線斜率不存在時,直線l與橢圓無交點(diǎn).所以滿足條件的直線斜率存在,設(shè)為k則直線方程為yk（x5）由方程組得：（5k24）x250k2x125k2200依題意,20（1680k2）0得：當(dāng)時,設(shè)交點(diǎn)為C（x1,y1）,D（x2,y2）,CD中點(diǎn)為R（x0,y0）則x1x2,x0y0k（x05）k（5）又|F2C|F2D

13、|,有F2Rl,即1即1即20k220k24,該等式不成立,所以滿足條件的直線l不存在.【點(diǎn)評】假設(shè)存在,將轉(zhuǎn)化為弦的中點(diǎn)問題以及垂直問題是解題關(guān)鍵【小試牛刀】已知中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O的橢圓C經(jīng)過點(diǎn)A(2,3),且點(diǎn)F(2,0)為其右焦點(diǎn)(1)求橢圓C的方程；(2)是否存在平行于OA的直線l,使得直線l與橢圓C有公共點(diǎn),且直線OA與l的距離等于4？若存在,求出直線l的方程；若不存在,請說明理由【解析】(1)依題意,可設(shè)橢圓C的方程為1(ab0),且可知其左焦點(diǎn)為F(2,0)從而有解得又a2b2c2,所以b212,故橢圓C的方程為1.(2)假設(shè)存在符合題意的直線l,設(shè)其方程為yxt.由得3x23tx

14、t2120.因?yàn)橹本€l與橢圓C有公共點(diǎn),所以(3t)243(t212)0,解得4t4.另一方面,由直線OA與l的距離d4,得4,解得t2.由于24,4 ,所以符合題意的直線l不存在(四) 是否存在圓【例4】已知橢圓過點(diǎn),其焦距為（）求橢圓的方程；（）已知橢圓具有如下性質(zhì)：若橢圓的方程為,則橢圓在其上一點(diǎn)處的切線方程為,試運(yùn)用該性質(zhì)解決以下問題：（i）如圖（1）,點(diǎn)為在第一象限中的任意一點(diǎn),過作的切線,分別與軸和軸的正半軸交于兩點(diǎn),求面積的最小值；（ii）如圖（2）,過橢圓上任意一點(diǎn)作的兩條切線和,切點(diǎn)分別為當(dāng)點(diǎn)在橢圓上運(yùn)動時,是否存在定圓恒與直線相切？若存在,求出圓的方程；若不存在,請說明理由

15、【分析】（1）設(shè)橢圓的方程,用待定系數(shù)法求解即可；（2）解決直線和橢圓的綜合問題時注意：第一步：根據(jù)題意設(shè)直線方程,有的題設(shè)條件已知點(diǎn),而斜率未知；有的題設(shè)條件已知斜率,點(diǎn)不定,可由點(diǎn)斜式設(shè)直線方程第二步：聯(lián)立方程：把所設(shè)直線方程與橢圓的方程聯(lián)立,消去一個元,得到一個一元二次方程第三步：求解判別式計算一元二次方程根第四步：寫出根與系數(shù)的關(guān)系第五步：根據(jù)題設(shè)條件求解問題中結(jié)論在解決與拋物線性質(zhì)有關(guān)的問題時,要注意利用幾何圖形的形象、直觀的特點(diǎn)來解題,特別是涉及焦點(diǎn)、頂點(diǎn)、準(zhǔn)線的問題更是如此【解析】（I）解：依題意得：橢圓的焦點(diǎn)為,由橢圓定義知： ,所以橢圓的方程為 （II）（）設(shè),則橢圓在點(diǎn)B處

16、的切線方程為 令,令,所以 又點(diǎn)B在橢圓的第一象限上,所以 ,當(dāng)且僅當(dāng)所以當(dāng)時,三角形OCD的面積的最小值為 （）設(shè),則橢圓在點(diǎn)處的切線為：又過點(diǎn),所以,同理點(diǎn)也滿足,所以都在直線上,即：直線MN的方程為 所以原點(diǎn)O到直線MN的距離, 所以直線MN始終與圓相切 【點(diǎn)評】先猜想圓心為原點(diǎn),表示出直線MN的方程,再證明圓心到直線的距離為定值【小試牛刀】如圖,設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為,點(diǎn)在橢圓上,的面積為.（1）求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）是否存在圓心在軸上的圓,使圓在軸的上方與橢圓兩個交點(diǎn),且圓在這兩個交點(diǎn)處的兩條切線相互垂直并分別過不同的焦點(diǎn)？若存在,求圓的方程,若不存在,請說明理由.【解析】（1

17、）設(shè),其中,由得從而故.從而,由得,因此.所以,故因此,所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為： （2）如圖,設(shè)圓心在軸上的圓與橢圓相交,是兩個交點(diǎn),是圓的切線,且由圓和橢圓的對稱性,易知, 由（1）知,所以,再由得,由橢圓方程得,即,解得或.當(dāng)時,重合,此時題設(shè)要求的圓不存在.當(dāng)時,過分別與,垂直的直線的交點(diǎn)即為圓心,設(shè)由得而故圓的半徑綜上,存在滿足條件的圓,其方程為：四、遷移運(yùn)用1【】江西省臨川第一中學(xué)等九校2019屆高三3月聯(lián)考】已知橢圓：，離心率，是橢圓的左頂點(diǎn)，是橢圓的左焦點(diǎn)，直線：.（1）求橢圓方程；（2）直線過點(diǎn)與橢圓交于、兩點(diǎn)，直線、分別與直線交于、兩點(diǎn)，試問：以為直徑的圓是否過定點(diǎn)，如果是，請

18、求出定點(diǎn)坐標(biāo)；如果不是，請說明理由.【解析】（1），得，所求橢圓方程：.（2）當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)直線：，、，直線：，令，得，同理，以為直徑的圓：，整理得： ，得， 將代入整理得：，令，得或.當(dāng)直線斜率不存在時，、，以為直徑的圓：也過點(diǎn)、兩點(diǎn)，綜上：以為直徑的圓能過兩定點(diǎn)、.2【黑龍江省齊齊哈爾市2019屆高三第一次模擬考試（3月)】已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為，.過焦點(diǎn)且垂直于軸的直線與橢圓相交所得的弦長為3，直線與橢圓相切.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）是否存在直線：與橢圓相交于兩點(diǎn)，使得？若存在，求的取值范圍；若不存在，請說明理由！【解析】（1）在中，令，得，解得.由垂徑長（

19、即過焦點(diǎn)且垂直于實(shí)軸的直線與橢圓相交所得的弦長）為3，得，所以.因?yàn)橹本€：與橢圓相切，則.將代入，得.故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）設(shè)點(diǎn)，.由（1）知，則直線的方程為.聯(lián)立得，則恒成立.所以， .因?yàn)?，所?即.即 ，得，得，即，解得；直線存在，且的取值范圍是.3【山東省濰坊市2019屆高三下學(xué)期高考模擬（一模)】如圖，點(diǎn)為圓：上一動點(diǎn)，過點(diǎn)分別作軸，軸的垂線，垂足分別為，連接延長至點(diǎn)，使得，點(diǎn)的軌跡記為曲線.（1）求曲線的方程；（2）若點(diǎn)，分別位于軸與軸的正半軸上，直線與曲線相交于，兩點(diǎn)，試問在曲線上是否存在點(diǎn)，使得四邊形為平行四邊形，若存在，求出直線方程；若不存在，說明理由.【解析】（1）設(shè)，

20、則，由題意知，所以為中點(diǎn)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得，即，又點(diǎn)在圓：上，故滿足，得.（2）由題意知直線的斜率存在且不為零，設(shè)直線的方程為，因?yàn)?，故，?，聯(lián)立，消去得：，設(shè)， ，因?yàn)闉槠叫兴倪呅?，故，點(diǎn)在橢圓上，故，整理得，將代入，得，該方程無解，故這樣的直線不存在.4【湘贛十四校2019屆高三下學(xué)期第一次聯(lián)考】橢圓：的左焦點(diǎn)為且離心率為，為橢圓上任意一點(diǎn)，的取值范圍為，.（1）求橢圓的方程；（2）如圖，設(shè)圓是圓心在橢圓上且半徑為的動圓，過原點(diǎn)作圓的兩條切線，分別交橢圓于，兩點(diǎn).是否存在使得直線與直線的斜率之積為定值？若存在，求出的值；若不存在，說明理由.【解析】（1）橢圓的離心率 橢圓的方程可寫為設(shè)橢

21、圓上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)為則 ， ，橢圓的方程為（2）設(shè)圓的圓心為，則圓的方程為設(shè)過原點(diǎn)的圓的切線方程為：，則有整理有由題意知該方程有兩個不等實(shí)根，設(shè)為，則當(dāng)時，當(dāng)圓的半徑時，直線與直線的斜率之積為定值5【安徽省六安市第一中學(xué)2019屆高三下學(xué)期高考模擬】已知圓A：x2+y2+2x-15=0和定點(diǎn)B（1，0），M是圓A上任意一點(diǎn)，線段MB的垂直平分線交MA于點(diǎn)N，設(shè)點(diǎn)N的軌跡為C（）求C的方程；（）若直線y=k（x-1）與曲線C相交于P，Q兩點(diǎn)，試問：在x軸上是否存在定點(diǎn)R，使當(dāng)k變化時，總有ORP=ORQ？若存在，求出點(diǎn)R的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由【解析】（）圓A：（x+1）2+y2=16，圓心

22、A（-1，0），由已知得|NM|=|NB|，又|NM|+|NB|=4，所以|NA|+|NB|=4|AB|=2，所以由橢圓的定義知點(diǎn)N的軌跡是以A，B為焦點(diǎn)的橢圓，設(shè)其標(biāo)準(zhǔn)方程C：，則2a=4，2c=2，所以a2=4，b2=3，所以曲線C：；（）設(shè)存在點(diǎn)R（t，0）滿足題設(shè)，聯(lián)立直線y=k（x-1）與橢圓方程，消去y，得（4k2+3）x2-8k2x+（4k2-12）=0，設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），則由韋達(dá)定理得，由題設(shè)知OR平分PRQ直線RP與直RQ的傾斜角互補(bǔ)，即直線RP與直線RQ的斜率之和為零，即，即，即2kx1x2-（1+t）k（x1+x2）+2tk=0，把、代入并化簡得，即（

23、t-4）k=0，所以當(dāng)k變化時成立，只要t=4即可，所以存在定點(diǎn)R（4，0）滿足題設(shè).6【四川省成都市第七中學(xué)2019屆高三二診】已知橢圓（）的左焦點(diǎn)為，點(diǎn)為橢圓上任意一點(diǎn)，且的最小值為，離心率為。（I）求橢圓的方程；（II）若動直線與橢圓交于不同兩點(diǎn)、（、都在軸上方），且.（i）當(dāng)為橢圓與軸正半軸的交點(diǎn)時，求直線的方程；（ii）對于動直線，是否存在一個定點(diǎn)，無論如何變化，直線總經(jīng)過此定點(diǎn)？若存在，求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.【解析】（I）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：（）離心率為，點(diǎn)為橢圓上任意一點(diǎn)，且的最小值為，解得，橢圓的方程為.（II）（i）由題意，直線為：，代入，得，解得或，代入，

24、得，舍，或，.，直線的方程為：.（ii）存在一個定點(diǎn)，無論如何變化，直線總經(jīng)過此定點(diǎn).證明：，在于軸的對稱點(diǎn)在直線上，設(shè)直線的方程為：，代入，得，由韋達(dá)定理得，由直線的斜率，得的方程為：令，得： ，對于動直線，存在一個定點(diǎn)，無論如何變化，直線總經(jīng)過此定點(diǎn).7【陜西省榆林市2018-2019年度高三第二次模擬】設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，動點(diǎn)在橢圓：上，該橢圓的左頂點(diǎn)到直線的距離為.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若橢圓外一點(diǎn)滿足，平行于軸，動點(diǎn)在直線上，滿足.設(shè)過點(diǎn)且垂直的直線，試問直線是否過定點(diǎn)？若過定點(diǎn)，請寫出該定點(diǎn)，若不過定點(diǎn)請說明理由.【解析】（1）左頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（a，0），|a5|3，解得a2或a

25、8（舍去），橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為+y21，（2）由題意M（x0，y0），N（x0，y1），P（2，t），則依題意可知y1y0，得（x02 x0，y12y0） （0，y1y0）=0，整理可得y12y0，或y1y0 （舍），得（x0，2y0）（2x0，t2y0）2，整理可得2x0+2y0tx02+4y02+26，由（1）可得F（，0），（x0，2y0），（x0，2y0）（2，t）62x02y0t0，NFOP，故過點(diǎn)N且垂直于OP的直線過橢圓C的右焦點(diǎn)F 8【福建省龍巖市2019屆高三下學(xué)期教學(xué)質(zhì)量檢查】已知橢圓的兩焦點(diǎn)為、，拋物線：（）的焦點(diǎn)為，為等腰直角三角形（）求的值；（）已知過點(diǎn)的直線與拋物線

26、交于兩點(diǎn)，又過作拋物線的切線，使得，問這樣的直線是否存在？若存在，求出直線的方程；若不存在，說明理由【解析】（）橢圓，兩焦點(diǎn)為,，為等腰直角三角形， （）過點(diǎn)的直線與拋物線交于兩點(diǎn)，的斜率必存在，設(shè)直線的方程為， 由得，或 拋物線方程得為所以切線的斜率分別為， 當(dāng)時，即 又，解得合題意，所以存在直線的方程是，即9【湖南省長沙市長郡中學(xué)2019屆高三上學(xué)期第一次適應(yīng)性考試（一模)】已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為且橢圓上存在一點(diǎn)，滿足.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知分別是橢圓的左、右頂點(diǎn)，過的直線交橢圓于兩點(diǎn)，記直線的交點(diǎn)為，是否存在一條定直線，使點(diǎn)恒在直線上?【解析】（1）設(shè)，則內(nèi)，由余弦定理得

27、，化簡得，解得，故，得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）已知，設(shè)，由，兩式相除得.又，故，故，設(shè)的方程為，代入整理，得，恒成立.把代入， 得，得到，故點(diǎn)在定直線上.10【江西省重點(diǎn)中學(xué)盟校2019屆高三第一次聯(lián)考】已知橢圓的離心率為，焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)是橢圓上的點(diǎn)，面積的最大值是（）求橢圓的方程；（）設(shè)直線與橢圓交于兩點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓上的點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn)，若判定四邊形的面積是否為定值？若為定值，求出定值；如果不是，請說明理由【解析】（）由解得 得橢圓的方程為. （）當(dāng)直線的斜率不存在時，直線的方程為或，此時四邊形的面積為當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線方程是，聯(lián)立橢圓方程 ， 點(diǎn)到直線的距離是 由得因?yàn)辄c(diǎn)在曲線上

28、，所以有整理得 由題意四邊形為平行四邊形，所以四邊形的面積為 由得, 故四邊形的面積是定值，其定值為11.已知橢圓E：1(ab0)以拋物線y28x的焦點(diǎn)為頂點(diǎn),且離心率為.(1)求橢圓E的方程；(2)若直線l：ykxm與橢圓E相交于A,B兩點(diǎn),與直線x4相交于Q點(diǎn),P是橢圓E上一點(diǎn)且滿足(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)),試問在x軸上是否存在一點(diǎn)T,使得為定值？若存在,求出點(diǎn)T的坐標(biāo)及的值；若不存在,請說明理由【解析】(1)拋物線y28x的焦點(diǎn)為橢圓E的頂點(diǎn),即a2.又,故c1,b.橢圓E的方程為1.(2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),P(x1x2,y1y2),聯(lián)立得(4k23)x28kmx4m2120.由根與系數(shù)的關(guān)系,得x1x2,y1y2k(x1x2)2m.將P代入橢圓E的方程,得1,整理,得4m24k23.設(shè)T(t,0),Q(4,m4k),(4t,m4k),.即.4k234m2,.要使為定值,只需2為定值,則1t0,t1,在x軸上存在一點(diǎn)T(1,0),使得為定值.12.已知橢圓C:的左焦點(diǎn)為F,為橢圓上一點(diǎn),AF交y軸于點(diǎn)M,且M為AF的中點(diǎn).（I）求橢圓C的方程；（II）直線與橢圓C有且只有一個公共