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1、工程流體力學(xué) 第四章 相似原理與量綱分析,第四章 相似原理與量綱分析,本章主要介紹流體力學(xué)中的相似原理,模型實(shí)驗(yàn)方法以及量綱分析法。,第一節(jié) 流動(dòng)的力學(xué)相似,第一節(jié) 流動(dòng)的力學(xué)相似,一. 幾何相似(空間相似) 定義: 模型和原型的全部對(duì)應(yīng)線形長(zhǎng)度的 比值為一定常數(shù) 。,(4-1),以上標(biāo)“ ”表示模型的有關(guān)量,:長(zhǎng)度比例尺(相似比例常數(shù)),面積比例尺:,(4-2),體積比例尺:,(4-3),圖4-1 幾何相似,滿足上述條件,流動(dòng)才能幾何相似,第一節(jié) 流動(dòng)的力學(xué)相似,第一節(jié) 流動(dòng)的力學(xué)相似,定義:滿足幾何相似的流場(chǎng)中,對(duì)應(yīng)時(shí)刻、對(duì)應(yīng) 點(diǎn)流速(加速度)的方向一致,大小的比例相等,即它們的速度場(chǎng)(加
2、速度場(chǎng))相似。,圖4-2速度場(chǎng)相似,二 運(yùn)動(dòng)相似(時(shí)間相似),加速度比例尺:,(4-6),注:長(zhǎng)度比例尺和速度比例尺確定所有運(yùn)動(dòng)學(xué)量的比例尺。,時(shí)間比例尺:,速度比例尺:,(4-4),(4-5),第一節(jié) 流動(dòng)的力學(xué)相似,運(yùn)動(dòng)粘度比例尺:,體積流量比例尺:,(4-7),(4-8),第一節(jié) 流動(dòng)的力學(xué)相似,第一節(jié) 流動(dòng)的力學(xué)相似,三. 動(dòng)力相似(時(shí)間相似) 定義:兩個(gè)運(yùn)動(dòng)相似的流場(chǎng)中,對(duì)應(yīng)空間點(diǎn)上、對(duì)應(yīng)瞬時(shí)作用在兩相似幾何微團(tuán)上的力,作用方向一致、大小互成比例,即它們的動(dòng)力場(chǎng)相似。,圖4-3 動(dòng)力場(chǎng)相似,(4-10),又由牛頓定律可知:,其中: 為流體的密度比例尺。,第一節(jié) 流動(dòng)的力學(xué)相似,(4-
3、9),力的比例尺:,動(dòng)力粘度比例尺:,功率比例尺:,(4-13),(4-14),有了模型與原型的密度比例尺,長(zhǎng)度比例尺和速度比例尺,就可由它們確定所有動(dòng)力學(xué)量的比例尺。,壓強(qiáng)(應(yīng)力)比例尺:,力矩(功,能)比例尺:,(4-11),(4-12),第一節(jié) 流動(dòng)的力學(xué)相似,定義:在幾何相似的條件下,兩種物理現(xiàn) 象保證相似的條件或準(zhǔn)則 。,第二節(jié) 動(dòng)力相似準(zhǔn)則,由式 (4-10) 得:,(4-15),(4-16),(4-17),當(dāng)模型與原型的動(dòng)力相似,則其牛頓數(shù)必定相等,即 ;反之亦然。這就是牛頓相似準(zhǔn)則。,稱為牛頓數(shù),它是作用力與慣性力的比值。,或:,令:,一、重力相似準(zhǔn)則(弗勞德準(zhǔn)則),二、粘性力
4、相似準(zhǔn)則(雷諾準(zhǔn)則),三、壓力相似準(zhǔn)則(歐拉準(zhǔn)則),四、彈性力相似準(zhǔn)則(柯西準(zhǔn)則),五、表面張力相似準(zhǔn)則(韋伯準(zhǔn)則),六、非定常性相似準(zhǔn)則(斯特勞哈爾準(zhǔn)則),流場(chǎng)中有各種性質(zhì)的力,但不論是哪種力,只要兩個(gè)流場(chǎng)動(dòng)力相似,它們都要服從牛頓相似準(zhǔn)則。,第二節(jié) 動(dòng)力相似準(zhǔn)則,一、重力相似準(zhǔn)則,將重力比 帶入式(4-15)得:,或:,令:,(4-18),(4-19),(4-20),當(dāng)模型與原型的重力相似,則其弗勞德數(shù)必定相等,反之亦然。這就是重力相似準(zhǔn)則(弗勞德準(zhǔn)則)。,重力場(chǎng)中 ,則:,(a),二、粘性力相似準(zhǔn)則,將粘性力之比 帶入式(4-15)得:,或:,令:,(4-21),(4-22),(4-23
5、),(b),當(dāng)模型與原型的粘性力相似,則其雷諾數(shù)必定相等,反之亦然。這就是粘性力相似準(zhǔn)則(雷諾準(zhǔn)則)。,模型與原型用同一種流體時(shí), ,則:,三、壓力相似準(zhǔn)則,或:,令:,(4-24),(4-25),(4-26),當(dāng)壓強(qiáng)用壓差代替:,將壓力比 帶入式(4-15)得:,稱為歐拉數(shù),它是總壓力與慣性力的比值。,當(dāng)模型與原型的壓力相似,則其歐拉數(shù)必定相等,反之亦然。這就是壓力相似準(zhǔn)則(歐拉準(zhǔn)則)。,(4-27),(4-28),歐拉數(shù):,歐拉相似準(zhǔn)則:,四、彈性力相似準(zhǔn)則(柯西準(zhǔn)則),將彈性力之比 帶入式(4-15)得:,(4-29),或:,(4-30),令:,(4-31),稱為柯西數(shù),它是慣性力與彈性
6、力的比值。,當(dāng)模型與原型的彈性力相似,則其柯西數(shù)必定相等,即 ;反之亦然。這就是彈性力相似準(zhǔn)則(柯西準(zhǔn)則)。,四、彈性力相似準(zhǔn)則(馬赫準(zhǔn)則),若流場(chǎng)中的流體為氣體,由于 ( c 為聲速) 則彈性力之比 帶入式(4-15)得:,(4-32),或:,(4-33),令:,(4-34),稱為馬赫數(shù),它是慣性力與彈性力的比值。,當(dāng)模型與原型的彈性力相似,則其馬赫數(shù)必定相等,即 ;反之亦然。這就是彈性力相似準(zhǔn)則(馬赫準(zhǔn)則)。,稱為馬赫數(shù),它是慣性力與彈性力的比值。,當(dāng)模型與原型的彈性力相似,則其馬赫數(shù)必定相等,反之亦然。這就是彈性力相似準(zhǔn)則(馬赫準(zhǔn)則)。,五、表面張力相似準(zhǔn)則,將表面張力之比 帶入式(4-
7、15)得:,(4-35),或:,(4-36),令:,(4-37),稱為韋伯?dāng)?shù),它是慣性力與表面張力的比值。,當(dāng)模型與原型的表面張力相似,則其韋伯?dāng)?shù)必定相等,即 ;反之亦然。這就是表面張力相似準(zhǔn)則(韋伯準(zhǔn)則)。,六、非定常性相似準(zhǔn)則,或:,令:,(4-38),(4-39),(4-40),將慣性力之比 帶入式(4-15)得:,稱為斯特勞哈爾數(shù),它是當(dāng)?shù)貞T性力與遷移慣性力的比值。,當(dāng)模型與原型的非定常流動(dòng)相似,則其斯特勞哈爾數(shù)必定相等,即 ;反之亦然。這就是非定常相似準(zhǔn)則(斯特勞哈爾準(zhǔn)則)。,以上給出的牛頓數(shù)、弗勞德數(shù)、雷諾數(shù)、歐拉 數(shù)、柯西數(shù)、馬赫數(shù)、韋伯?dāng)?shù)、斯特勞哈爾數(shù)均稱 為相似準(zhǔn)則數(shù)。,如果
8、已經(jīng)有了某種流動(dòng)的運(yùn)動(dòng)微分方程,可由該 方程直接導(dǎo)出有關(guān)的相似準(zhǔn)則和相似準(zhǔn)則數(shù),方法是 令方程中的有關(guān)力與慣性力相比。,第二節(jié) 動(dòng)力相似準(zhǔn)則,第三節(jié) 流動(dòng)相似條件,流動(dòng)相似:在對(duì)應(yīng)點(diǎn)上、對(duì)應(yīng)瞬時(shí),所有物理量 都成比例。,相似流動(dòng)必然滿足以下條件:,1任何相似的流動(dòng)都是屬于同一類的流動(dòng),相似流場(chǎng)對(duì)應(yīng) 點(diǎn)上的各種物理量,都應(yīng)為相同的微分方程所描述; 2相似流場(chǎng)對(duì)應(yīng)點(diǎn)上的各種物理量都有唯一確定的解,即 流動(dòng)滿足單值條件; 3由單值條件中的物理量所確定的相似準(zhǔn)則數(shù)相等是流動(dòng) 相似也必須滿足的條件。,模型實(shí)驗(yàn)主要解決的問題 :,1根據(jù)物理量所組成的相似準(zhǔn)則數(shù)相等的原則去設(shè)計(jì)模 型,選擇流動(dòng)介質(zhì); 2在實(shí)
9、驗(yàn)過程中應(yīng)測(cè)定各相似準(zhǔn)則數(shù)中包含的一切物理量; 3用數(shù)學(xué)方法找出相似準(zhǔn)則數(shù)之間的函數(shù)關(guān)系,即準(zhǔn)則方程 式。該方程式便可推廣應(yīng)用到原型及其他相似流動(dòng)中去。,第三節(jié) 流動(dòng)相似條件,圖4-4 油池模型,第四節(jié) 近似模擬試驗(yàn),以相似原理為基礎(chǔ)的模型實(shí)驗(yàn)方法,按照流體流動(dòng)相似的條件,可設(shè)計(jì)模型和安排試驗(yàn)。這些條件是幾何相似、運(yùn)動(dòng)相似和動(dòng)力相似。 前兩個(gè)相似是第三個(gè)相似的充要條件,同時(shí)滿足以上條件為流動(dòng)相似,模型試驗(yàn)的結(jié)果方可用到原型設(shè)備中去。,簡(jiǎn)化模型實(shí)驗(yàn)方法中流動(dòng)相似的條件,除局部相似之外,還可采用自?;匦院头€(wěn)定性。,在工程實(shí)際中的模型試驗(yàn),好多只能滿足部分相似準(zhǔn)則,即稱之為局部相似。如上面的粘性不
10、可壓定常流動(dòng)的問題,不考慮自由面的作用及重力的作用,只考慮粘性的影響,則定性準(zhǔn)則只考慮雷諾數(shù)Re,因而模型尺寸和介質(zhì)的選擇就自由了。,自?;母拍顚?shí)質(zhì)是自身模擬的概念。比如在某系統(tǒng)中,有兩個(gè)數(shù)與其它量比起來都很大,則可認(rèn)為這兩個(gè)數(shù)自模擬了。又比如,在圓管流動(dòng)中,當(dāng)Re2320時(shí),管內(nèi)流動(dòng)的速度分布都是一軸對(duì)稱的旋轉(zhuǎn)拋物面。當(dāng)Re4105管內(nèi)流動(dòng)狀態(tài)為紊流狀態(tài),其速度分布基本不隨Re變化而變化,故在這一模擬區(qū)域內(nèi),不必考慮模型的Re與原型的Re相等否,只要與原型所處同一?;瘏^(qū)即可。,第三節(jié) 流動(dòng)相似條件,圖4-5 弧型閘門,圖4-6 內(nèi)裝蝶閥的管道,第五節(jié) 量綱分析法,一、物理方程量綱一致性原則,二、瑞利法,三、 定理,一、物理方程量綱一致性原則,1. 基本量綱:(獨(dú)立量綱) 長(zhǎng)度 (L) 時(shí)間 (T) 質(zhì)量 (M),第五節(jié) 量綱分析法,2.導(dǎo)出量綱:,定理。,3. 一致性原則,物理方程中要求每一項(xiàng)量綱都相同 例: 量綱為L(zhǎng).,第五節(jié) 量綱分析法,二、瑞利法,1. 定義: 根據(jù)量綱量一致性原則,確定 相關(guān)量的函數(shù)關(guān)系。,2. 舉例:,圖4-7 三角堰,第五節(jié) 量綱分析法,第五節(jié) 量綱分析法,三、 定理: 定理可以解決瑞利中方程的個(gè)數(shù)等于
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