復(fù)數(shù)的幾種表示形式 文獻(xiàn)綜述

1、-范文最新推薦- 復(fù)數(shù)的幾種表示形式+文獻(xiàn)綜述 摘要：復(fù)數(shù)起源于代數(shù)方程求解,隨著微積分與函數(shù)概念的發(fā)展而得到發(fā)展, 并通過(guò)其幾何表示最終為人們所接受.本文運(yùn)用文獻(xiàn)考證、歷史分析和例題比較研究的方法，闡述了復(fù)數(shù)的歷史發(fā)展進(jìn)程,系統(tǒng)地總結(jié)復(fù)數(shù)的各種表示形式，并對(duì)復(fù)數(shù)的這幾種表示形式及其應(yīng)用等問(wèn)題進(jìn)行初步的整理歸納，使得能利用其各種形式解決有關(guān)的數(shù)學(xué)問(wèn)題本論文主要對(duì)構(gòu)造以及選用恰當(dāng)?shù)膹?fù)數(shù)形式解決數(shù)學(xué)問(wèn)題作了一些探討，對(duì)幫助大家拓展解題思路，提高解決問(wèn)題的能力有一定的啟發(fā)作用8703關(guān)鍵詞: 幾何形式;代數(shù)形式;三角形式;指數(shù)形式;向量形式Several Forms of the Expressio

2、n of Complex NumberAbstract：Complex number that originates from the solution of algebraic equation, are developed along with the development of function and calculus and finally is accepted by people through its geometric representation.The article expounds historical development process of complex

3、number and summarizes various kinds of forms of expression of complex systematically through the methods of documentary research ,historical analysis and examples compare and research.The article proceeds primary finish and induction about the questions of the forms of expression of complex number a

4、nd adhibition and can utilize its various kinds of forms of expression to solve related math problems.The article mainly proceeds research about solving mathematical problems through structuring and choosing proper forms of complex number to help people to expand the ways of problem solving and deve

5、lop ability of solving problems.Key words： Geometry form；Algebra form；Triangle form；Exponent form；Vector form目錄摘要1引言21復(fù)數(shù)的幾種表示形式3 從目前參閱到的文獻(xiàn)資料中所了解的信息來(lái)看，用復(fù)數(shù)來(lái)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，近幾年的研究者們?nèi)〉昧艘欢ǔ晒?，比如：在中?guó)數(shù)學(xué)史 一書中，對(duì)復(fù)數(shù)的幾何形式、代數(shù)形式、向量形式、三角形式、指數(shù)形式都有詳細(xì)介紹，而且也涉及到一些用復(fù)數(shù)解題的探討；在復(fù)數(shù)在解題中的作用 一文中李葵芳介紹了借助復(fù)數(shù)的性質(zhì)來(lái)解決三角恒等式的證明、求三角函數(shù)值等問(wèn)題；在淺談復(fù)數(shù)的代數(shù)

6、形式向復(fù)數(shù)的三角形式轉(zhuǎn)化的方法 一文中韓志剛通過(guò)分情況，細(xì)致地討論了復(fù)數(shù)代數(shù)形式轉(zhuǎn)化為三角形式的四種情況；在復(fù)數(shù)法在平面幾何中的應(yīng)用 一文中李中恢介紹了用復(fù)數(shù)解正多邊形、圓、等腰直角三角形有關(guān)的幾何問(wèn)題等等。綜上所述，目前各學(xué)者對(duì)用復(fù)數(shù)來(lái)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的研究是比較多的，但其研究的大多是用復(fù)數(shù)的某一種形式來(lái)解某一方面的題，而對(duì)總結(jié)整合這些表示形式以及運(yùn)用其各種形式解題的研究卻寥寥無(wú)幾。所以本文采用文獻(xiàn)研究、例題分析兩種方法對(duì)已掌握的有關(guān)復(fù)數(shù)理論相關(guān)文獻(xiàn)進(jìn)行系統(tǒng)的學(xué)習(xí)和閱讀通過(guò)收集查閱有關(guān)的文獻(xiàn)資料和圖書館資料，及上網(wǎng)查找相關(guān)材料并歸納整理，對(duì)教材的有關(guān)知識(shí)認(rèn)真學(xué)習(xí)和研究，適時(shí)的請(qǐng)教指導(dǎo)老師，和同學(xué)

7、討論、交流并通過(guò)例題的比較，分析，研究，根據(jù)不同題型的特點(diǎn)，較為系統(tǒng)地總結(jié)出復(fù)數(shù)的五種表示形式在解題中的應(yīng)用避免在解題中出現(xiàn)求解方法盲目及繁瑣1復(fù)數(shù)的幾種表示形式1.1復(fù)數(shù)的幾何形式沃利斯（J.Wallis, )曾試圖在 年給出復(fù)數(shù)的幾何解釋，雖然他相信要使一個(gè)實(shí)數(shù)的平方成為負(fù)數(shù)是不可能的, 但隨著文明的進(jìn)步，一個(gè)實(shí)數(shù)的平方為負(fù)數(shù)也是有可能的, 由于當(dāng)時(shí)社會(huì)的局限，致使他對(duì)虛根的解釋并沒有獲得完全成功 年，丹麥測(cè)量學(xué)家萬(wàn)塞爾(C.W.esuxsel)在前人的基礎(chǔ)上，正式提出把復(fù)數(shù) 用迪卡爾坐標(biāo)平面上的一點(diǎn) 來(lái)表示的沃利斯（J.Wallis）表示法，使復(fù)數(shù)的全體和平面上的點(diǎn)的全體建立了一一對(duì)應(yīng)的

8、關(guān)系，形成了復(fù)平面的概念至此人們獲得了復(fù)數(shù)的一種幾何解釋 1.3復(fù)數(shù)的向量形式在之前的學(xué)習(xí)中，我們知道平面內(nèi)的點(diǎn)集與平面上的向量的集合之間是一一對(duì)應(yīng)的：點(diǎn) 對(duì)應(yīng)向量 通過(guò)傳遞性，在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù) 與向量 也建立起了一一對(duì)應(yīng)稱復(fù)平面上的以原點(diǎn) 為原始的向量 為復(fù)向量復(fù)數(shù) 能夠用向量表示(如圖（2）)，并且稱復(fù)數(shù)的這種表示法為復(fù)數(shù)的向量表示,.特別地，復(fù)數(shù) 對(duì)應(yīng)的是零向量 ,即長(zhǎng)度為 的向量.一個(gè)復(fù)數(shù) 可以表示為向量 = ,決定向量 = 有兩個(gè)要素：一是它的長(zhǎng)度 ；二是向量 與 軸正向的夾角 的大小由于是表示復(fù)數(shù) ，于是我們將 、 與 建立起聯(lián)系，稱 為復(fù)數(shù) 的模（或絕對(duì)值），記作 ,稱 為復(fù)數(shù)

9、的輻角,記作 .由上可知給定一個(gè)復(fù)數(shù) ，向量 就可以確定了，它的長(zhǎng)度 也就確定，即任意一個(gè)復(fù)數(shù)都有與之對(duì)應(yīng)的唯一一個(gè)模，但對(duì)于輻角 ，若繞著原點(diǎn)按逆時(shí)針或順時(shí)針旋轉(zhuǎn)幾圈，表示的仍然是同一個(gè)指向，因此復(fù)數(shù)的輻角 并不唯一，若 是復(fù)數(shù) 的輻角，則 也是 的輻角為了討論方便，我們稱復(fù)數(shù) 在 內(nèi)的輻角為復(fù)數(shù) 輻角主值，記作 .綜上所述，復(fù)數(shù) 與點(diǎn)、向量之間可以建立一一對(duì)應(yīng)關(guān)系：.根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式和與 軸正向夾角的計(jì)算公式，若 ,對(duì)應(yīng)點(diǎn) ,我們有 幾個(gè)特殊情況：（1）當(dāng) 時(shí),復(fù)數(shù) 對(duì)應(yīng) ，模 ，輻角任意；（2）當(dāng) ,即 為實(shí)數(shù)時(shí)， ,即實(shí)部的絕對(duì)值， ( )或 （ ）.1.4復(fù)數(shù)的三角形式當(dāng)復(fù)數(shù)( )

10、已知時(shí)，我們可以求出它的模和輻角，反過(guò)來(lái)，如果已知復(fù)數(shù) 的模和輻角時(shí)，如何得到這個(gè)復(fù)數(shù)呢？ 先從簡(jiǎn)單的入手，若模為 的復(fù)數(shù) 如果寫成 的形式，一方面，由于 的形式相差不是很大，其次 在復(fù)數(shù)的乘方法則中，應(yīng)該僅是輻角的 倍，虛數(shù)單位并沒有也要 倍，因此虛數(shù)單位與輻角不可能是相加關(guān)系.而有可能是相乘的關(guān)系 下面就來(lái)審查乘法、除法和乘方法則能否相符， ,乘法和除法保持“模相乘除、輻角相加減”、乘方保持“模的 次方、輻角的 倍”的基本特征下面來(lái)解決應(yīng)該選用哪個(gè)常數(shù)作為底數(shù)？若我們將 形式化地看做 與 的“二元函數(shù)”，數(shù)學(xué)是&ldq

11、uo;形式化的學(xué)科”，所以，一些形式化地性質(zhì)應(yīng)該“形式化”地保持不變接下來(lái)我們對(duì) 中 形式化地求“偏微分”. .于是 .這樣我們利用不太嚴(yán)格的推理得復(fù)數(shù)的指數(shù)表示形式.而指數(shù)形式的嚴(yán)格證明是通過(guò)泰勒級(jí)數(shù)法，將函數(shù) 寫成泰勒級(jí)數(shù)形式 ；將 帶入可得通過(guò)復(fù)數(shù)的三角形式與指數(shù)形式，我們可以得到以下兩個(gè)公式 .， .這兩個(gè)公式被統(tǒng)稱為歐拉公式由歐拉公式可得， .在復(fù)數(shù)的指數(shù)形式中，令 ， ，就得到或 綜上可知復(fù)數(shù)指數(shù)形式有以下性質(zhì).設(shè) , ，則， ， .復(fù)數(shù) 的 次方根至此，我們得到了復(fù)數(shù)的 種表示：幾何表示、向量表示、代數(shù)表示、三角表示和指數(shù)表示它們?cè)谟懻搯?wèn)題時(shí)給予我們的方便是不同的，要因問(wèn)題而異例如，對(duì)二復(fù)數(shù)作加減運(yùn)算時(shí)用代數(shù)式較好，對(duì)二復(fù)數(shù)作乘除運(yùn)算時(shí)用三角或指數(shù)式較好而復(fù)數(shù)的幾種表示方法，根據(jù)討論不同問(wèn)題時(shí)的需要，可以構(gòu)造復(fù)數(shù)以及互相轉(zhuǎn)化來(lái)解決問(wèn)題2復(fù)數(shù)幾種表示形式的相互轉(zhuǎn)換2.1代數(shù)形式與三角形式的相互轉(zhuǎn)換 ；余弦與正弦是同角三角函數(shù)； 與 之前的系數(shù)必定是 ，且用“ ”連接2.2代數(shù)形式與幾何形式的相互