高中數學常用公式及常用結論

1、高中數學常用公式及常用結論 高中數學常用公式及常用結論 01. 集合與簡易邏輯 1. 元素與集合的關系 x?a?x?cua,x?cua?x?a. 2.德摩根公式 cu(a?b)?cua?cub;cu(a?b)?cua?cub. 3.包含關系 a?b?a?a?b?b?a?b?cub?cua ?a?cub?cua?b?r 4.容斥原理 card(a?b)?carda?cardb?card(a?b) card(a?b?c)?carda?cardb?cardc?card(a?b) ?card(a?b)?card(b?c)?card(c?a)?card(a?b?c). 5集合a1,a2,?,an的子集個

2、數共有2 個；真子集有21個；非空子集有2 1個；非空的真子集有22個. 6.二次函數的解析式的三種形式 (1)一般式f(x)?ax2?bx?c(a?0); (2)頂點式f(x)?a(x?h)2?k(a?0); (3)零點式f(x)?a(x?x1)(x?x2)(a?0). 7.解連不等式n?f(x)?m常有以下轉化形式 nnnnn?f(x)?m?f(x)?mf(x)?n?0 m?nm?nf(x)?n|?0 ?|f(x)?22m?f(x)11?. ?f(x)?nm?n8.方程f(x)?0在(k1,k2)上有且只有一個實根,與f(k1)f(k2)?0不等價,前者是后者的一個必要而不是 充分條件.特

3、別地, 方程ax?bx?c?0(a?0)有且只有一個實根在(k1,k2)內,等價于f(k1)f(k2)?0,或 2f(k1)?0且k1?k?k2k?k2bb?1?k2. ,或f(k2)?0且12a222ab處及區(qū)間的兩端點處取得，具2a9.閉區(qū)間上的二次函數的最值 二次函數f(x)?ax2?bx?c(a?0)在閉區(qū)間?p,q?上的最值只能在x?體如下： (1)當a0時，若x?bb?p,q?，則f(x)min?f(?),f(x)max?max?f(p),f(q)?； 2a2ab?p,q?，f(x)max?max?f(p),f(q)?，f(x)min?min?f(p),f(q)?. 2abb?p,

4、q?，則f(x)min?min?f(p),f(q)?，若x?p,q?，則(2)當ax? 10.一元二次方程的實根分布 依據：若f(m)f(n)?0，則方程f(x)?0在區(qū)間(m,n)內至少有一個實根 . 1 設f(x)?x2?px?q，則 ?p2?4q?0?（1）方程f(x)?0在區(qū)間(m,?)內有根的充要條件為f(m)?0或?p；（2）方程f(x)?0在區(qū)間 ?m?2?f(m)?0?f(n)?0?f(m)?0?f(n)?0?或?； (m,n)內有根的充要條件為f(m)f(n)?0或?p2?4q?0或?af(n)?0?af(m)?0?m?p?n?2?p2?4q?0?（3）方程f(x)?0在區(qū)間

5、(?,n)內有根的充要條件為f(m)?0或?p . ?m?211.定區(qū)間上含參數的二次不等式恒成立的條件依據 (1)在給定區(qū)間(?,?)的子區(qū)間l（形如?,?，?,?，?,?不同）上含參數的二次不等式 f(x,t)?0(t為參數)恒成立的充要條件是f(x,t)min?0(x?l). (2)在給定區(qū)間(?,?)的子區(qū)間上含參數的二次不等式f(x,t)?0(t為參數)恒成立的充要條件是f(x,t)man?0(x?l). ?a?0?a?0?(3)f(x)?ax4?bx2?c?0恒成立的充要條件是?b?0或?2. ?c?0?b?4ac?0?12.真值表 非 或 且 真 真 假 真 真 真 假 假 真

6、假 假 真 真 真 假 假 假 真 假 假 13.常見結論的否定形式 原結論 反設詞 是 不是 都是 不都是 大于 不大于 小于 不小于 對所有x，成立 存在某x，不成立 對任何x，不成立 存在某x，成立 14.四種命題的相互關系 原命題 若則 互 否 否命題 若非則非 互 否 互逆 為 逆 互逆 互 為 逆 否 逆命題 若則 互 否 逆否命題 若非則非 原結論 至少有一個 至多有一個 至少有n個 至多有n個 p或q 反設詞 一個也沒有 至少有兩個 至多有（n?1）個 至少有（n?1）個 ?p且?q p且q ?p或?q 2 15.充要條件 （1）充分條件：若p?q，則p是q充分條件. （2）必

7、要條件：若q?p，則p是q必要條件. （3）充要條件：若p?q，且q?p，則p是q充要條件. 注：如果甲是乙的充分條件，則乙是甲的必要條件；反之亦然. 02. 函數 16.函數的單調性 (1)設x1?x2?a,b?,x1?x2那么 f(x1)?f(x2)?0?f(x)在?a,b?上是增函數； x1?x2f(x1)?f(x2)?0?f(x)在?a,b?上是減函數. (x1?x2)?f(x)?f(x)?0?12x1?x2(2)設函數y?f(x)在某個區(qū)間內可導，如果f?(x)?0，則f(x)為增函數；如果f?(x)?0，則f(x)為 (x1?x2)?f(x?f(x0?)?1)2減函數. 17.如果

8、函數f(x)和g(x)都是減函數,則在公共定義域內,和函數f(x)?g(x)也是減函數; 如果函數 y?f(u)和u?g(x)在其對應的定義域上都是減函數,則復合函數y?fg(x)是增函數. 18奇偶函數的圖象特征 奇函數的圖象關于原點對稱，偶函數的圖象關于y軸對稱;反過來，如果一個函數的圖象關于原點對稱，那么這個函數是奇函數；如果一個函數的圖象關于y軸對稱，那么這個函數是偶函數 19.若函數y?f(x)是偶函數，則f(x?a)?f(?x?a)；若函數y?f(x?a)是偶函數，則 f(x?a)?f(?x?a). 20.對于函數y?f(x)(x?r),f(x?a)?f(b?x)恒成立,則函數f(

9、x)的對稱軸是函數x?個函數y?f(x?a)與y?f(b?x) 的圖象關于直線x?a?b;兩2a?b對稱. 2a21.若f(x)?f(?x?a),則函數y?f(x)的圖象關于點(,0)對稱; 若f(x)?f(x?a),則函數 2y?f(x)為周期為2a的周期函數. 22多項式函數p(x)?anxn?an?1xn?1?a0的奇偶性 多項式函數p(x)是奇函數?p(x)的偶次項(即奇數項)的系數全為零. 多項式函數p(x)是偶函數?p(x)的奇次項(即偶數項)的系數全為零. 23.函數y?f(x)的圖象的對稱性 )?f(a? x)(1)函數y?f(x)的圖象關于直線x?a對稱?f(a?x?f(2a

10、?x)?f(x). (2)函數y?f(x)的圖象關于直線x?a?b)?f(b?m)x對稱?f(a?mx 2?f(a?b?m)x?(fm)x. 24.兩個函數圖象的對稱性 (1)函數y?f(x)與函數y?f(?x)的圖象關于直線x?0(即y軸)對稱. (2)函數y?f(mx?a)與函數y?f(b?mx)的圖象關于直線x?(3)函數y?f(x)和y?f?1a?b對稱. 2m(x)的圖象關于直線y=x對稱. 25.若將函數y?f(x)的圖象右移a、上移b個單位，得到函數y?f(x?a)?b的圖象；若將曲線f(x,y)?0的圖象右移a、上移b個單位，得到曲線f(x?a,y?b)?0的圖象. 26互為反

11、函數的兩個函數的關系 3 f(a)?b?f?1(b)?a. 27.若函數y?f(kx?b)存在反函數,則其反函數為y?1?1f(x)?b,并不是y?f?1(kx?b),而函數ky?f?1(kx?b)是y?1f(x)?b的反函數. k28.幾個常見的函數方程 (1)正比例函數f(x)?cx,f(x?y)?f(x)?f(y),f(1)?c. (2)指數函數f(x)?ax,f(x?y)?f(x)f(y),f(1)?a?0. (3)對數函數f(x)?logax,f(xy)?f(x)?f(y),f(a)?1(a?0,a?1). (4)冪函數f(x)?x?,f(xy)?f(x)f(y),f(1)?. (5

12、)余弦函數f(x)?cosx,正弦函數g(x)?sinx，f(x?y)?f(x)f(y)?g(x)g(y)， f(0)?1,limx?0g(x)?1. x29.幾個函數方程的周期(約定a0) （1）f(x)?f(x?a)，則f(x)的周期t=a； （2）f(x)?f(x?a)?0， 1(f(x)?0)， f(x)1或f(x?a)?(f(x)?0), f(x)12或?f(x)?f(x)?f(x?a),(f(x)?0,1?),則f(x)的周期t=2a； 21(f(x)?0)，則f(x)的周期t=3a； (3)f(x)?1?f(x?a)f(x1)?f(x2)(4)f(x1?x2)?且f(a)?1(f

13、(x1)?f(x2)?1,0?|x1?x2|?2a)，則f(x)的周期t=4a； 1?f(x1)f(x2)(5)f(x)?f(x?a)?f(x?2a)f(x?3a)?f(x?4a) ?f(x)f(x?a)f(x?2a)f(x?3a)f(x?4a),則f(x)的周期t=5a； (6)f(x?a)?f(x)?f(x?a)，則f(x)的周期t=6a. 或f(x?a)?30.分數指數冪 (1)a(2)amn?1n?mnam1mn（a?0,m,n?n，且n?1）. （a?0,m,n?n，且n?1）. ?a31根式的性質 （1）(na)n?a. （2）當n為奇數時，an?a； n?a,a?0當n為偶數時，

14、a?|a|?. ?a,a?0?nn32有理指數冪的運算性質 (1) a?a?a(a?0,r,s?q). rsrs(2) (a)?a(a?0,r,s?q). rrr(3)(ab)?ab(a?0,b?0,r?q). 注： 若a0，p是一個無理數，則a表示一個確定的實數上述有理指數冪的運算性質，對于無理數指數 4 p rsr?s冪都適用. 33.指數式與對數式的互化式 logan?b?ab?n(a?0,a?1,n?0). 34.對數的換底公式 logmn (a?0,且a?1,m?0,且m?1, n?0). logmann推論 logamb?logab(a?0,且a?1,m,n?0,且m?1,n?1,

15、 n?0). mlogan?35對數的四則運算法則 若a0，a1，m0，n0，則 (1)loga(mn)?logam?logan; m?logam?logan; n(3)logamn?nlogam(n?r). (2) loga236.設函數f(x)?logm(ax2?bx?c)(a?0),記?b?4ac.若f(x)的定義域為r,則a?0，且?0; 若f(x)的值域為r,則a?0，且?0.對于a?0的情形,需要單獨檢驗. 37. 對數換底不等式及其推廣 1,則函數y?logax(bx) a11 (1)當a?b時,在(0,)和(,?)上y?logax(bx)為增函數. aa11和上y?log. (為減函數)(,?)， (2)當a?b時,在(0,axbxaa 若a?0,b?0,x?0,x?推論:設n?m?1，p?0，a?0，且a?1，則 （1）logm?p(n?p)?logmn. （2）logamlogan?loga 2 m?n.