高二數(shù)學(xué)人教A版選修4-5教案：3.1二維形式的柯西不等式 Word版含_0

1、高二數(shù)學(xué)人教a版選修4-5教案：3.1二維形式的柯西不等式 word版含 3.1二維形式的柯西不等式 一、教學(xué)目標(biāo) 1認(rèn)識柯西不等式的幾種不同形式，理解其幾何意義 2通過運用柯西不等式分析解決一些簡單問題 二、課時安排 1課時 三、教學(xué)重點 認(rèn)識柯西不等式的幾種不同形式，理解其幾何意義四、教學(xué)難點 通過運用柯西不等式分析解決一些簡單問題五、教學(xué)過程 （一）導(dǎo)入新課 復(fù)習(xí)基本不等式。 （二）講授新課 教材整理 二維形式的柯西不等式 內(nèi)容 代數(shù)形式 等號成立的條件 若a，b，c，d都是實數(shù)，則(a2b2)(c2d2) 設(shè)，是兩個向量，則| 當(dāng)且僅當(dāng) 時，等號成立 學(xué)科z,x,x,k學(xué)科zxxk 向

2、量形式 當(dāng)且僅當(dāng) ，或，等號成立 設(shè)x1，y1，x2，y2r，那么三角形式 222x21y1x2y2 當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立 （三）重難點精講 題型一、二維柯西不等式的向量形式及應(yīng) 例1已知p，q均為正數(shù)，且p3q32.求證：pq2. 【精彩點撥】 為了利用柯西不等式的向量形式，可分別構(gòu)造兩個向量 1133 22 【自主解答】 設(shè)mp2，q2，n(p，q)，則 31312222 p2q2ppqq|mn|m|n| p3q3pq2pq. 又(pq)22(p2q2)， (p?q)222pq2pq， 2(p?q)22pq，則(pq)48(pq) 2又pq0， (pq)38，故pq2. 規(guī)律總結(jié)： 使用二

3、維柯西不等式的向量形式證明不等式，關(guān)鍵是合理構(gòu)造出兩個向量同時，要注意向量模的計算公式|a|x2y2對數(shù)學(xué)式子變形的影響 再練一題 1若本例的條件中，把“p3q32”改為“p2q22”，試判斷結(jié)論是否仍然成立？ 【解】 設(shè)m(p，q)，n(1,1)， 則pqp1q1|mn|m|n|p2q21212. 又p2q22. pq222. 故仍有結(jié)論pq2成立. :z_xx_k.com 題型二、運用柯西不等式求最值 例2 若2x3y1，求4x29y2的最小值 【精彩點撥】 由2x3y1以及4x29y2的形式，聯(lián)系柯西不等式，可以通過構(gòu)造(12 12)作為一個因式而解決問題 【自主解答】 由柯西不等式得(

4、4x29y2)(1212)(2x3yl 2若3x4y2，試求x2y2的最小值及最小值點. 【解】 由柯西不等式(x2y2)(3242)(3x4y)2，得25(x2y2)4. 4 所以x2y2， 25 3x4y2，?xy 當(dāng)且僅當(dāng)時，“”成立為求最小值點，需解方程組?xy 34 ?34， ? ?8 y?25.6x，25 68684 ，?. 因此，當(dāng)x，y時，x2y2取得最小值，最小值為，最小值點為?2525?252525題型三、二維柯西不等式代數(shù)形式的應(yīng)用 例3已知|3x4y|5，求證：x2y21. 【精彩點撥】 探求已知條件與待證不等式之間的關(guān)系，設(shè)法構(gòu)造柯西不等式進(jìn)行證明 ?3x4y?2 【

5、自主解答】 由柯西不等式可知(xy)(34)(3x4y)，所以(xy)2. 3422 2 2 2 2 2 2 又因為|3x4y|5， ?3x4y?2 所以21， 342即x2y21. 規(guī)律總結(jié)： 1利用二維形式的柯西不等式證明時，要抓住柯西不等式的結(jié)構(gòu)特征，必要時，需要將數(shù)學(xué)表達(dá)式適當(dāng)變形 2變形往往要求具有很高的技巧，必須善于分析題目的特征，根據(jù)題設(shè)條件，綜合地利用添、拆、分解、組合、配方、變量代換、數(shù)形結(jié)合等方法才能發(fā)現(xiàn)問題的本質(zhì)，找到突破口 再練一題 a2b2 3設(shè)a，br且ab2.求證：2. 2a2b【證明】 根據(jù)柯西不等式，有 ab?a?b? (2a)(2b)?2a2b?(2a)2(

6、2b)2?2a?2b? 2 ab?2a2b?(ab)24. ?2a2b? 2 2 22 a2b242，2a2b?2a?2b?當(dāng)且僅當(dāng)2a學(xué)科zxxk ba 2b， 2b2a 即ab1時等號成立 a2b2 2. 2a2b（四）歸納小結(jié) ? 向量形式?二維柯西不等式 ?三角形式 ?柯西不等式求最值 代數(shù)形式 （五）隨堂檢測 1設(shè)x，yr，且2x3y13，則x2y2的最小值為( ) a.13 b169 c13 d.0 【解析】 (2x3y)2(2232)(x2y2)， x2y213. 【答案】 c 2已知a，br，且ab1，則(4a14b1)2的最大值是( ) a26 b.6 c6 d.12 【解析】 (4a14b1)2 (14a114b1)2 (1212)(4a14b1)24(ab)2 2(412)12， 當(dāng)且僅當(dāng)4b14a1， 1 即ab時等號成立故選d. 2【答案】 d 3平面向量a，b中，若a(4，3)，|b|1，且ab5，則向量b_. 【解析】 |a|4+（-3）5，且 |b|1， ab|a|b|， 因此，b與a共線，且方向相同， 22 43，?. b?5?