高中數(shù)學(xué)經(jīng)典例題及跟蹤訓(xùn)練 雙曲線中的基本問題

1、高中數(shù)學(xué)經(jīng)典例題及跟蹤訓(xùn)練 雙曲線中的基本問題 高中數(shù)學(xué)經(jīng)典例題及跟蹤訓(xùn)練 雙曲線中的基本問題 i題源探究黃金母題 【例1】雙曲線4x?y?64?0上一點(diǎn)p到它的一個(gè)焦點(diǎn)的距離等于1，那么點(diǎn)p到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離等于 【答案】17 2222精彩解讀 【試題】人教版a版選修2-1p49習(xí)題23a組t1 【母題評(píng)析】本題考查雙曲線的定義，考查考生的簡單的計(jì)算能力和邏輯推理能力 【解析】把方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，得 yx?1a?8，【思路方法】結(jié)合雙曲線的定義解題 6416【試題】人教版a版選修1-1p61t4 【母題評(píng)析】求圓錐曲線方程問題是教材中例題和練習(xí)題都重點(diǎn)、高頻出現(xiàn)的問題，也 由雙曲線定義可知，

2、點(diǎn)p到兩焦點(diǎn)距離的差的絕對(duì)值等于16， ?p到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離等于17 22【例2】求以橢圓 xy?1的焦點(diǎn)為頂點(diǎn)，以橢圓的是高考常見題，大多利用待定系數(shù)法求解，85本題主要借助圓錐曲線間的聯(lián)系求解 ，主 2頂點(diǎn)為焦點(diǎn)的雙曲線的方程 2要考查對(duì)橢圓、雙曲線的定義、性質(zhì)的理解 【解析】設(shè)雙曲線的方程為 22xy?1(a?0,b?0)，【思路方法】求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程先定“形”22ab再定“參” 因?yàn)?xy?1，a2?8?5?3,c2?8，所求雙曲線的85x2y2?1 方程為?38ii考場精彩真題回放 【例1】【2017高考天津卷】已知雙曲線 【命題意圖】這類題主要考查雙曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及其簡單

3、幾何性質(zhì)等 x2y2?2?1(a?0,b?0)的左焦點(diǎn)為f，離心率為2若【考試方向】高考對(duì)這部分的考查主要集中2ab在以下幾個(gè)方面：（1）根據(jù)雙曲線的定義 經(jīng)過f和p(0,4)兩點(diǎn)的直線平行于雙曲線的一條漸近線，則雙曲線的方程為 （ ） 求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程（選擇、填空，解答題第一問，常與雙曲線性質(zhì)、其它圓錐曲線和直線等綜合考察）；（2）雙曲線性質(zhì)的初 x2y2x2y2?1 b?1a4488 步運(yùn)用（選擇、填空、解答題第一問）；（3）求雙曲線中距離、周長或者面積等；（4）求直線與雙曲線相交時(shí)弦長、中點(diǎn)軌跡（解 c xyxy?1?1d4884 2222答題第二問）；（5）確定雙曲線中的弦長、式子的

4、定值問題，確定與雙曲線有關(guān)的曲線經(jīng)過的定點(diǎn)問題（解答題第二問）；（6） 【答案】b 【 解 析 】 由 題 意 得 求雙曲線中的弦長（或其它量）的最值或者范圍（解答題第二問） 4x2y2 【難點(diǎn)中心】 故選ba?b,?1,?c?4,a?b?22,?1， ?c8821利用待定系數(shù)法求圓錐曲線方程是高考 y2【例2】【2017高考北京卷】若雙曲線x?1的離心率常見題型，求雙曲線方程最基礎(chǔ)的方法就是 m依據(jù)題目的條件列出關(guān)于a,b,c的方程，解 為3，則實(shí)數(shù)m=_ 方程組求出a,b，另外求雙曲線方程要注意 【答案】2 巧設(shè)雙曲線：（1）雙曲線過兩點(diǎn)可設(shè)為c 【解析】a?1,b?m,?1?m?3，解得

5、m?2 ax2y222（2）與2?2?1【例3】【2017高考山東卷】在平面直角坐標(biāo)系xoy中，雙mx?ny?1(mn?0)； ab22x2y2曲線2?2?1?a?0,b?0?的右支與焦點(diǎn)為f的拋物線共漸近線的雙曲線可設(shè)為 abx2?2px?p?0?交于a,b兩點(diǎn)，若af?bf?4of，則該 雙曲線的漸近線方程為 【答案】y?x2y2?(?0)；（3）等軸雙曲線可a2b2設(shè)為x?y?(?0)等，均為待定系數(shù)法求標(biāo)準(zhǔn)方程 222x 2【解析】af?bf?ya?ppp?yb?4?,?ya?yb?p 2在雙曲線的幾何性質(zhì)中，漸近線是其獨(dú)222特的一種性質(zhì)，也是考查的重點(diǎn)內(nèi)容對(duì)漸近線：（1）掌握方程；

6、（2）掌握其傾斜角、斜率的求法；（3）會(huì)利用漸近線方程求雙曲線方程的待定系數(shù) 3求雙曲線的離心率（或離心率的取值范圍），常見有兩種方法： 求出a，c，代入公式e?x2y2?2?2?1,?a2y2?2ab2y?a2b2?0,b?a?x2?2px, ?2pb22pb2?ya?yb?2,?2?p,?a?2b,aa故所求漸近線方程為y?2x 2【例4】【2017高考江蘇卷】在平面直角坐標(biāo)系xoy中，雙x2曲線?y2?1的右準(zhǔn)線與它的兩條漸近線分別交于點(diǎn)p， 3c； ab，c的只需要根據(jù)一個(gè)條件得到關(guān)于a，齊次式，結(jié)合b?ca轉(zhuǎn)化為a,c的齊 222q，其焦點(diǎn)是f1,f2，則四邊形f1pf2q的面積是

7、【答案】23 次式，然后等式(不等式)兩邊分別除以a或解方程(不a2轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程(不等式)， 等式)即可得e（e的取值范圍） 4雙曲線的焦點(diǎn)到漸近線的距離是b；雙曲線的頂點(diǎn)到漸近線的距離是 ab c5涉及直線與雙曲線的位置關(guān)系的問題，只要聯(lián)立直線與雙曲線的方程，借助根與系數(shù)關(guān)系，找準(zhǔn)題設(shè)條件中突顯的或隱含的等量關(guān)系，把這種關(guān)系“翻譯”出來，有時(shí)不一定要把結(jié)果及時(shí)求出來，可能需要整體代換到后面的計(jì)算中去，從而減少計(jì)算量等于“中點(diǎn)弦問題”，可以利用“點(diǎn)差法”處理 iii理論基礎(chǔ)解題原理 考點(diǎn)一 雙曲線的定義 在平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)f1,f2的距離之差的絕對(duì)值等于常數(shù)，大于0且小于f1f2的點(diǎn)的軌

8、跡叫做雙曲線，兩個(gè)定點(diǎn)叫做雙曲線的焦點(diǎn)兩焦點(diǎn)的距離叫做雙曲線的焦距 考點(diǎn)二 雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程 x2y2y2x2（1）焦點(diǎn)在x軸上：2?2?1?a?0,b?0?；（2）焦點(diǎn)在y軸上：2?2?1?a?0,b?0? abab考點(diǎn)三 雙曲線的幾何性質(zhì) 標(biāo)準(zhǔn)方程 x2y2?2?1?a?0,b?0? 2aby2x2?2?1?a?0,b?0? 2ab圖 形 性質(zhì) 范 圍 對(duì)稱性 x?a,y?r 關(guān)于原點(diǎn)、x軸、y軸對(duì)稱 y?a,x?r 頂 點(diǎn) 焦 點(diǎn) 軸長與焦距 漸近線方程 a1?a,0?,a2?a,0? a1?0,?a?,a2?0,a? f1?c,0?,f2?c,0? f1?0,?c?,f2?0,c? 實(shí)

9、軸長a1a2?2a，虛軸長b1b2?2b，焦距f1f2?2c y?bx ae?c，e?1,? ay?ax b離心率 a,b,c關(guān)系 a2?b2?c2?c?a?0,c?b?0? iv題型攻略深度挖掘 【考試方向】 這類試題在考查題型上，通常以解答題的形式出現(xiàn)，難度較小，往往以橢圓、拋物線、雙曲線為載體，考查圓錐曲線的定義、性質(zhì)等基本知識(shí) 雙曲線問題借助定義pf1?pf2?2a，結(jié)合試題所給其它條件解題，特別是在焦三角形中，經(jīng)常利用三角形的邊角關(guān)系（正弦定理、余弦定理、有時(shí)利用勾股定理、面積公式）解題，注意 pf1?pf2,pf1?pf2之間的聯(lián)系，靈活應(yīng)用定義解題 雙曲線是圓錐曲線中最重要的一類

10、曲線，在高考中出現(xiàn)的次數(shù)也最多，主要考查雙曲線的定義、性質(zhì)、方程，在解答題中多與直線、向量、軌跡等綜合出題 【易錯(cuò)指導(dǎo)】 1判斷兩種標(biāo)準(zhǔn)方程的方法為比較標(biāo)準(zhǔn)形式中x2與y2的正負(fù) x2y22注意雙曲線的范圍，在設(shè)雙曲線2?2?1?a?0,b?0?上點(diǎn)的坐標(biāo)為p(x，y)時(shí)，則|x|a，這 ab往往在求與點(diǎn)p有關(guān)的最值問題中用到，也是容易被忽略而導(dǎo)致求最值錯(cuò)誤的原因 3學(xué)習(xí)中，要注意雙曲線幾何性質(zhì)的挖掘： （1）雙曲線中有兩條對(duì)稱軸，“四點(diǎn)”（兩個(gè)焦點(diǎn)、兩個(gè)頂點(diǎn)），要注意它們之間的位置關(guān)系（如焦點(diǎn)在長軸上等）以及相互間的距離(如焦點(diǎn)到相應(yīng)頂點(diǎn)的距離為ac)，過焦點(diǎn)垂直于長軸的通徑長為 b22b2

11、2e?等 cax2y2（2）設(shè)雙曲線2?2?1?a?0,b?0?上任意一點(diǎn)p(x，y)，則當(dāng)y0時(shí)，|op|有最小值a，這時(shí)， abp在實(shí)軸端點(diǎn)處 （3）雙曲線上任意一點(diǎn)p(x，y)(y0)與兩焦點(diǎn)f1(c，0)，f2(c，0)構(gòu)成的pf1f2稱為焦點(diǎn)三角形，其周長為2(ac) （4）雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)、中心和短軸的一個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成直角三角形，其中c是斜邊，c2a2b2 4重視向量在解析幾何中的應(yīng)用，注意合理運(yùn)用中點(diǎn)、對(duì)稱、弦長、垂直等幾何特征 5在應(yīng)用雙曲線定義時(shí)，要注意定義中的條件，搞清所求軌跡是雙曲線，還是雙曲線的一支若是雙曲線的一支，則需確定是哪一支 v舉一反三觸類旁通 考向一 雙曲線的定義

12、與焦點(diǎn)三角形 y24?1的兩個(gè)焦點(diǎn)為f1,f2,p為雙曲線右支上一點(diǎn)若pf1?pf2，則【例1】已知雙曲線x?2432pf1f2的面積為 a48 b24 c12 d6 （ ） 反思提煉：雙曲線定義的應(yīng)用規(guī)律 1求方程：由題目條件判l(wèi) 2211 b c d 4334 【答案】a 【解析】由e?c?2得c?2a，如圖，由雙曲線的定義得f1a?f2a?2a a又f1a?4a,f2a?2a,?cos?af2f11a?2f2a，故f考向二 雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程 ?4a?2a?4a?2?4a?2a222?1 4x2y2【例2】已知雙曲線2?2?1(a?0,b?0)的左焦點(diǎn)為f，離心率為2若經(jīng)過f和p(0,4)

13、兩點(diǎn) ab的直線平行于雙曲線的一條漸近線，則雙曲線的方程為 （ ） x2y2x2y2x2y2x2y2?1 b?1 c?1 d?1a44884884 【答案】b 反思提煉： 1求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程關(guān)鍵在于確定a,b的值，通過條件找出a,b,c之間的關(guān)系，再結(jié)合 c2?a2?b2，解出a,b,c的值 2求雙曲線方程還要注意巧設(shè)雙曲線： 22（1）若已知雙曲線過兩點(diǎn)方程可設(shè)為ax?by?1(ab?0)或ax?by?1?ab?0?； 22（2）若已知等軸雙曲線方程可設(shè)為x?y?(?0)； 22x2y2x2y2（3）與雙曲線2?2?1有公共漸近線的雙曲線方程可設(shè)為2?2?0?； ababx2y2bb（4）若已知雙曲線的漸近線方程為y?x或y?x，則可設(shè)雙曲線方