高等數(shù)學(xué)（上冊）第三章教案

1、高等數(shù)學(xué)（上冊）第三章教案 第三章：一元函數(shù)積分學(xué)及其應(yīng)用 教學(xué)目的與要求 1理解不定積分和定積分的概念及性質(zhì)。 2掌握不定積分的基本公式，不定積分、定積分的換元法與分部積分法。 3會求簡單的有理函數(shù)的積分。 4理解變上限的積分作為其上限的函數(shù)及其求導(dǎo)定理，掌握牛頓（newton）-萊布尼茲（leibniz）公式。 5了解廣義積分的概念。 6了解定積分的近似計(jì)算法（梯形法和拋物線法）。 7掌握用定積分表達(dá)一些幾何量與物理量（如面積、體積、弧長、功、引力等）的方法 所需學(xué)時(shí)：20學(xué)時(shí)（包括：18學(xué)時(shí)講授與2學(xué)時(shí)習(xí)題） 第一節(jié)：不定積分的概念與性質(zhì) 1、原函數(shù)概念 引例 在下列括號中填入適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)

2、： （1） cosx?(sinx?c)? （2） x2?(13x?c)? 3 上例中的問題是：已知f?(x)?f(x) 求 f(x) 定義1 若在區(qū)間i上，對任意x有f?(x)?f(x) 或 df(x)?f(x)dx 則稱f(x)是f(x)在i上的原函數(shù)。 xx例如：(cosx)?sinx，則cosx是?sinx的一個(gè)原函數(shù)；又(ex)?ex，則e是e的一個(gè)原函數(shù)。 原函數(shù)存在定理： 若f(x)是連續(xù)函數(shù)，則f(x)必有原函數(shù)。由(ex)?ex有(ex?2)?ex，(ex?c)?ex，因此 可知e的原函數(shù)不止一個(gè)，而是無窮多個(gè)。 xf(x)有一個(gè)原函數(shù)f(x)，則f(x)就有無窮多個(gè)原函數(shù)f(

3、x)?c（c為任意常數(shù)），即f(x)?c是f(x)的全部原函數(shù)；（2）f(x)的任意兩個(gè)原函數(shù)之差是一個(gè)常數(shù)。 設(shè)f?(x)?f(x)，?(x)?f(x)，則有?(x)?f(x)?(x)?f?(x)?f(x)?f(x)?0由前面所學(xué)定理知 ?(x)?f(x)?c 說明：（1）若2、不定積分 定義2 在區(qū)間 i上，函數(shù) f(x)的全體原函數(shù)的集合，稱為 f(x)在 i上的不定積分，記為 ?f(x)dx,其中“?”稱為積分號， f(x)稱為被積函數(shù) ，f(x)dx稱為被積表達(dá)式，x稱為積分變量. 由不定積分的定義可知：求 f(x)的不定積分就是求f(x)的所有原函數(shù).若f(x)為f(x)的一個(gè)原函

4、數(shù)，則 ?f(x)dx=f(x)?c. 其中c為任意常數(shù)，稱之為積分常數(shù).簡言之，求已知函數(shù)的不定積分，就是求出它的一個(gè)原函數(shù)，再加上任意常數(shù)c即可. 例1 求下列不定積分. （1） 2xxdxsinxdxe （2） （3）?dx 1311x)?x2，所以x3是x2的一個(gè)原函數(shù)，于是 ?x2dx?x3?c. 333（2）因?yàn)??cosx)?sinx，所以?cosx是sinx的一個(gè)原函數(shù)，于是?sinxdx?cosx?c. 解 （1）因?yàn)?（3）因?yàn)?ex)?ex，所以ex是e的一個(gè)原函數(shù)，于是 xxxedx?e?c. ?y)處切線斜率為x2，并且曲線過點(diǎn)(0,1)，求曲線方程。 解： 設(shè)曲線方

5、程為y?f(x)，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義和題意知 ?11?y?f?(x)?x2，則有 y?x2dx；?x3?x2，?y?x3?c 3?3?13又因?yàn)?y|x?0?1，代入上式得 c?1，所以曲線方程為y?x?1 3例2 已知某曲線上任意點(diǎn)(x,3、基本積分公式 根據(jù)不定積分的定義，由導(dǎo)數(shù)或微分的基本公式可得下列基本積分公式（式中c為任意常數(shù)）.對比導(dǎo)數(shù)公式，是記憶積分公式的基礎(chǔ). 導(dǎo)數(shù)公式 積分公式 導(dǎo)數(shù)公式 積分公式 (kx)?k ?kdx?kx?c u?1(tanx)?sec2x 2sec?xdx?tanx?c (x)?uxu (lnx)?1 x(ax)?axlna (ex)?ex (sinx)

6、?cosx (cosx)?sinx xu?1 (cotx)?csc2x （u?1）?xdx?u?1?c1(secx)?secx?tanx ?xdx?ln|x|?c axx?adx?lna?c(a?0,a?1) (cscx)?cscx?cotx 1xx?(arcsinx) edx?e?c?21?x1 ?cosxdx?sinx?c (arctanx)?21?xu?csc2xdx?cotx?c ?secx?tanxdx?secx?c ?cscx?cotxdx?cscx?c dx2?1?xdx?1?x2?arctanx?c ?arcsinx?c ?sinxdx?cosx?c 以上基本積分公式組成基本積

7、分表，許多不定積分最終要應(yīng)用這些基本積分公式，請讀者務(wù)必牢記.利用不定積分的性質(zhì)和基本積分公式，直接求出不定積分的方法，稱為直接積分法. 4、不定積分性質(zhì) 性質(zhì)1 由于 ?f(x)dx是f(x)的原函數(shù)，則有 ?f(x)，f(x)是f(x)的原函數(shù)，則有 又由于f?(x) ?f(x)dx?f(x) 或 d?f(x)dx?f(x)dx ?f?(x)dx?f(x)?c 或 ?df(x)?f(x)?c 性質(zhì)2 ?f(x)?g(x)dx?f(x)dx?g(x)dx； 例3 求 ?x?(x?2x?3)dx 33411474?10?369333363x?x?x?c 解： 原式?x?2x?3x?dx?147

8、4?(x?1)3dx 例4 求 ?2x121x3?3x2?3x?131?x?3x?3ln|x|?c 解：原式?dx?x?3?dx?22?2xxx?x?1?x?x2dx 例5 求 ?x?x31?x2?x1?1 解： 原式?dx?dx?ln|x|?arctanx?c 2?x(1?x2)?x1?x?x4dx 例6 求 ?1?x213x4?1?11?2?x?x?arctanx?c 解： 原式?dx?x?1?dx?22?31?x1?x?2xdx 例7 求 ?sin211 解： 原式?(1?cosx)dx?(x?sinx)?c 221例8 求： ?2x2xdx sincos22 解： 原式?4?11dx?

9、4?2dx?4?csc2xdx?4cotx?c xxsinx4sin2cos2221?x2?x4dx 11?x2?x21?1?arctanx?c 解： 原式?dx?dx?x2(1?x2)?x21?x2?x例9 求 課后作業(yè)及小結(jié)： 1、學(xué)習(xí)了不定積分相關(guān)概念 2、掌握基本不定積分公式及其計(jì)算方法。 作業(yè)：p148.2,7 第二節(jié)：不定積分的換元法與分部法 1、引入 求 分析 這個(gè)不定積分在積分表中直接查不出來，因?yàn)樗谋环e函數(shù)cos2x是以2x為變量的復(fù)合函數(shù)，與積分變量x不 xdx改變一下，使得被積函數(shù)的變量與積分變量變得相同，那么就可以公式同.但如果把積分表達(dá)式cos2?cos2xdx.

10、?cosudu?令u?2xsinu?c求出此不定積分了，其中u是x的函數(shù). 111dx?d(2x)cos2xdx=cos2x?d(2x)?cos2xd(2x) 解：因?yàn)?，所?222u回代111?cosudu?sinu?c?sin2x?c 222將上述方法推而廣之，若能選擇適當(dāng)?shù)淖儞Qu大大增加. 定理1 （第一類換元積分法） 設(shè)連續(xù)函數(shù) ?(x)，使代換后的積分關(guān)于積分變量u易于求出，則可求出的積分將 f(u)的原函數(shù)f(u)，u?(x)具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則有換元積分公式 令u?(x)?f?(x)?(x)dx?f?(x)d?(x)?f(u)du u回代湊微分?f(u)?c?f?(x)?c. 證明

11、只需要證明等式右邊的導(dǎo)數(shù)是f?(x)?(x)即可. f?(x)?c?f?(x)?=f?(u)?(x)?f(u)?(x)?f?(x)?(x). 用這種方法的計(jì)算步驟是先“湊”微分式，再作變量替換，因此我們將這類求不定積分的方法也稱為湊微分法 例 求 ?(3x?2)5dx 解： 原式?例 求 1151615(3x?2)d(3x?2)3x?2?uudu?u?cu?3x?2(3x?2)6?c ?3318181?2x?3dx 111111d(2x?3)2x?3?u?du?ln|u|?cu?2x?3ln|2x?3|?c 解： 原式?22x?32u22 例 求 ?x1?x2dx xdx?121dx?d(1?

12、x2) 223 解： ?1111? 原式?1?x2d(1?x2)1?x2?u?udu?u2?cu?1?x21?x22233lnxdx 例 求 ?x?32?c 解： ?1dx?dlnx x? 原式?lnxdlnxlnx?u?udu?121u?cu?lnx(lnx)2?c 22 用第一換元積分法解題時(shí)，關(guān)鍵是把被積表達(dá)式f(x)dx湊成兩部分：其一為d?(x)f(x)dx?g?(x)?d?(x)因此此法又稱為湊微分法。下面給出一些常用的湊微分式子： 11212 dx?d(ax?b) xdx?dx?d(x?c) a2211dx?dln|x|?d(ln|x|?c) dx?2dx?2d(x?c) xx1

13、11dx?darctanx 2dx?d 2xx1?x1 dx?darcsinx exdx?d(ex?c) 1?x2 ；其二 為 g?(x)。即 sinxdx?dcosx cosxdx?dsinx 1dx 例 求 ?x(1?2lnx)1111?dlnx?d(1?2lnx) =ln|1?2lnx|?c 解： 原式=?21?2lnx21?2lnx1dx 例 求 ?24?x1111?x?x?1 解： 原式=?=arctandx?d?c ?22?42?2?x?x?2?21?1?2?2?1dx 例 求 ?22a?x 解： 原式= 1a?51?x?1?a?22dx?1?x?1?a?2dxx?arcsin?c

14、aa 2?sinxdx 解： 原式=?(sin例 求 =?例 求 2x)sinxdx?(1?cos2x)dcosx 21cos3x?cos5x?c 3524(1?2cosx?cosx)dcosx?cosx?1?a2?x2dx 111?11? 解： ? 22(a?x)(a?x)2a?a?xa?x?a?x1a?x1?11?1 原式= =ln?c ?dx?(ln|a?x|?ln|a?x|)?c?2aa?x2a?a?xa?x?2a1dx 例 求 ?2x?x?2 解：原式= 11?11?11x?1=?(ln|x?1|?ln|x?2|)?c?lndx?dx?c ?(x?1)(x?2)?3?x?1x?2?3

15、3x?21dx 例 求 ?2x?2x?51111x?1?x?1?1解： 原式=? dx?dx =122?d?arctan?c?2?4(x?1)?4?x?1?22?x?1?2?21?1?2?2?例 求 ?secxdx 1cosx1dx?dx?cosx?cos2x?1?sin2xdsinx 11?11? =?dsinx?dsinx (1?sinx)(1?sinx)2?1?sinx1?sinx? 解： 原式= 11?sinx1(1?sinx)21?sinx?c?ln?c =ln=ln?c?ln|secx?tanx|?c 221?sinx2cosxcosx利用第一類換元積分法求不定積分時(shí)，如果變量代換

16、已熟練，那么，中間變量可以不必引入，利用積分公式可直接寫出結(jié)果. 2、第二換元積分法 定理2（第二換元積分法） 設(shè)x有 ?(t)是單調(diào)可導(dǎo)的函數(shù)，且?(t)?0，又設(shè)f?(t)?(t)具有原函數(shù)?(t)，則 ?f(x)dxx?(t)?f?(t)?(t)dt?(t)?ct?1(x)?1(x)?c其中t?1(x)是x?(t)的 反函數(shù)。 例 求 x2 解： 令 x?t，則 dx?2tdt 12tt?1?11?dx?dt?2dt =21?dt?2(t?ln|1?t|)?c ?1?x?1?t?1?t?1?t?1?1dx ?x?t2，則t?x，? 原式=2(x?ln(1?x)?c 1dx 例 求 ?3x?x65解： 令 x?t，則 dx?6tdt ?(t?1)(t2?t?1)1?1?16t5t3?2?6?dt?6t?t?1?dx?dt?6dt?dt ?x?3x?t3?y2?t?1t?1t?1?t?1?1?1?6?t3?t2?t?ln|t