二次函數(shù)中與角有關的存在性問題

1、二次函數(shù)中與角有關的存在性問題與角有關的存在性問題包括相等角的存在性、二倍角或半角的存在性，其他倍數(shù)關系角的存在性等，解決這類問題我們通常利用以下知識點去構造相關角：平行線的同位角、內錯角相等；等腰三角形的等邊對等角；相似三角形對應角相等；全等三角形對應角相等；三角形的外角定理等。然后利用解直角三角形、相似三角形邊的比例關系作為計算工具去計算求解，難度相對較大，需要同學們靈活運用，融會貫通?！绢愋鸵幌嗟冉堑拇嬖谛詥栴}】（一）.利用平行線、等腰三角形構造相等角例1 如圖，直線與x軸、y軸分別交于A，B兩點，拋物線與直線y=c分別交y軸的正半軸于點C和第一象限的點P，連接PB，得（O為坐標原點）。

2、若拋物線與x軸正半軸交點為點F，設M是點C，F(xiàn)間拋物線上的一點（包括端點），其橫坐標為m.（1）直接寫出點P的坐標和拋物線的解析式.（2）求滿足的點M的坐標.解：(1)易得點P坐標為（3，4），拋物線解析式為.(2) 當點M在線段OP上方時，CPx軸，當點C、M重合時，MPO=POA，點M的坐標為（0，4）；當點M在線段OP下方時，在x軸正半軸取點D，連接DP，使得DO=DP，此時DPO=POA.設點D坐標為（n，0），則DO=n，解得：n=，點D坐標為.設直線PD解析式為，代入得：.聯(lián)立拋物線解析式得綜上所述：點M的坐標為（0，4）或（2） .利用相似三角形構造相等角例2 如圖，拋物線與x軸

3、交于A、B兩點，與y軸交于點C，其對稱軸交拋物線于點D，交x軸于點E，已知OB=OC=6.（1）求拋物線的解析式及點D的坐標；（2）連接BD，F(xiàn)為拋物線上一動點，當時，求點F的坐標；解：（1）因為OB=OC=6，所以B（6，0），C，將B、C點坐標代入解析式，得，所以點D的坐標為（2，8）（2）如圖1，過F作FGx軸于點G，設，則FG=，AG=x+2，當時，且，所以，所以，即，當點F在x軸上方時，則有，解得x=2（舍去）或x=7，此時F點的坐標為；當點F在x軸下方時，則有，解得x=2（舍去）或x=5，此時F點的坐標為，,綜上可知點F的坐標為或.【類型二二倍角或半角的存在性問題】（1） .二倍角

4、的構造方法如圖，已知，我們可以利用等腰三角形和外角定理去構造，在BC邊上找一點D，使得BD=AD，則.這樣我們就構造出了二倍角，接下來利用三角函數(shù)（一般用正切）計算就可以了。例3 如圖，在平面直角坐標系中，直線與x軸交于點A，與y軸交于點C，拋物線經過A，C兩點，與x軸的另一交點為點B（1）求拋物線的函數(shù)表達式；（2）點D為直線AC上方拋物線上一動點；連接BC，CD，設直線BD交線段AC于點E，的面積為S1，的面積為S2，求的最大值；過點D作DFAC，垂足為點F，連接CD，是否存在點D，使得中的某個角恰好等于BAC的2倍？若存在，求點D的橫坐標；若不存在，請說明理由解：（1）（2） 過D作DM

5、AC于M，過B作BNx軸交AC于N，,設，最大值為.在OA上取一點P使得PA=PC，設OP=m，則PC=PA=4-m，在RtPCO中，由勾股定理得：（4-m）2=m2+22，解得m=，tanCPO=，過D做x軸的平行線交y軸于R，交AC延長線于G，情況一：DCF =2BAC=DGC+CDG，CDG=BAC，tanCDG=tanBAC=，即，設，DR=a，RC=，代入得，a1=0，a2=2，xD=2情況二：FDC =2BAC，tanFDC=，設FC=4k，DF=3k，DC=5k，tanDGC=，F(xiàn)G=6k，CG=2k，DG=，RC=，RG=，DR=，a1=0(舍去)，a2=，綜上所述：點D的橫坐

6、標為2或.（2） 半角的構造方法如圖，已知，構造半角可以用下面兩種方法：方法一：和前面二倍角的構造相對應，利用外角定理，如圖，延長CB至D，使得BD=BA，則，若AC、BC的長度已知，則容易求出tanD的值，從而進行相關計算。方法二：如圖，直接做的角平分線BE，若AC、BC的長度已知，則容易求出tanEBC的值。 例4 如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與x軸交與A、B兩點（點A在點B的左側），且過點（-2，4）.（1）直接寫出a的值和點B的坐標；（2）將拋物線向右平移2個單位長度，所得的新拋物線與x軸交于M，N兩點，兩拋物線交于點P，求點M到直線PB的距離；（3）在（2）的條件下，若點D為直線BP上的一動點，是否存在點D，使得？若存在，請求出點D的坐標；若不存在，請說明理由.（1）；B（3，0）（2）A（5，0）、M（3，0）、N（3，0）設點M到直線PB的距離為h，則=，h=（3）存在，理由：設，如圖，過點B作的平分線BH交y軸于點H，過點H作HGPB于點G，設OH=m，則