北理工賈云德《計算機視覺》chapter12標(biāo)定

1、第12章 標(biāo)定本章將討論各種攝象機系統(tǒng)及深度成像系統(tǒng)的標(biāo)定方法在攝影測量學(xué)領(lǐng)域中，已經(jīng)建立了大量的攝象機和測距傳感器標(biāo)定方法這些方法可以用來確定攝象機或測距傳感器在場景中的位置和方向以及與場景坐標(biāo)之間的關(guān)系在攝影測量學(xué)中有以下四個標(biāo)定問題： (1) 絕對定位：通過標(biāo)定點確定兩個坐標(biāo)系在絕對坐標(biāo)系統(tǒng)中的變換關(guān)系，或確定測距傳感器在絕對坐標(biāo)系中的位置和方向 (2) 相對定位：通過場景中的標(biāo)定點投影確定兩個攝象機之間的相對位置和方向 (3) 外部定位：通過場景中的標(biāo)定點投影確定攝象機在絕對坐標(biāo)系中的位置和方向 (4) 內(nèi)部定位：確定攝象機內(nèi)部幾何參數(shù)，包括攝象機常數(shù)，主點的位置以及透鏡變形的修正量

2、這些標(biāo)定問題主要起源于高空攝影技術(shù)，是攝影測量中的經(jīng)典問題除了以上四個標(biāo)定問題外，攝影測量學(xué)還解決以下兩個問題：一是通過雙目立體視差確定點在場景中的實際位置，二是對立體圖像對進(jìn)行校正變換，使得立體圖像對的外極線與圖像的行平行以便簡化后續(xù)處理(見第十一章)攝象機標(biāo)定過程中涉及到以下幾種坐標(biāo)，場景坐標(biāo)、攝象機坐標(biāo)、圖像坐標(biāo)和像素坐標(biāo)等，這些坐標(biāo)已經(jīng)在17中介紹成像基礎(chǔ)知識時引入確定這些坐標(biāo)之間的關(guān)系就是本章所要討論的各種標(biāo)定問題的目的121 剛體變換物體位置和方向的任意變化都可以認(rèn)為是剛體變換，因為物體的移動只改變其位置和方向，并不改變其形狀和大小假定通過兩個處于不同位置的攝像機均可看到點，點在兩

3、個攝像機坐標(biāo)系中的坐標(biāo)分別是和顯然兩個攝象機位置之間的變換是剛體運動，因此，點在第一個視場中的坐標(biāo)可以通過旋轉(zhuǎn)和平移變換到第二個視場中的坐標(biāo)， (121)其中矩陣R是一個的正交方陣，用于旋轉(zhuǎn)變換： (122)矢量表示平移，或者說點是第一個坐標(biāo)系原點在第二個坐標(biāo)系上的坐標(biāo)，如圖121所示圖121 兩個攝像機坐標(biāo)系方程121可以認(rèn)為是計算一個點經(jīng)過旋轉(zhuǎn)和平移以后的新坐標(biāo)，或是計算空間中同一個點在不同坐標(biāo)系中的坐標(biāo) 前者用于剛體力學(xué)：在物體移動到一個新的位置以后，計算物體上一點的新坐標(biāo)；后者用于標(biāo)定問題：同一點在不同觀察位置上觀察將會得到不同的坐標(biāo)，這種不同可以由剛體變換確定，而標(biāo)定問題就是來確定這

4、種剛體變換例如，考慮兩個具有不同位置和姿態(tài)的攝象機觀察場景中同一點，由于觀察角度不同，這一點在兩個攝像機坐標(biāo)系中的坐標(biāo)是不同的設(shè)想旋轉(zhuǎn)第一個攝象機，使其方向與第二個攝象機的方向相同；再設(shè)想將第一攝象機平移到第二攝象機的位置上，則兩個攝象機坐標(biāo)系完全重合1211旋轉(zhuǎn)矩陣空間角可用直角坐標(biāo)系中的歐拉角描述：繞軸旋轉(zhuǎn)角，繞新的軸旋轉(zhuǎn)角，繞新的z軸旋轉(zhuǎn)角,角是光軸的俯仰角(pitch)，也叫垂直角，角是光軸的偏航角(yaw)(水平角)，角表示光軸滾動角(roll)或扭轉(zhuǎn)角(twist)無轉(zhuǎn)動(三個角都等于零)指的是兩個坐標(biāo)系統(tǒng)完全對正各角度旋轉(zhuǎn)正方向為從坐標(biāo)系原點沿各軸正方向觀察時的逆時針旋轉(zhuǎn)方向用這

5、些角表示方程122定義的旋轉(zhuǎn)矩陣各元素如下：(123)用歐拉角的形式來確定坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)會引起數(shù)值解不穩(wěn)定，因為歐拉角很小的變化可能對應(yīng)很大的旋轉(zhuǎn)變化因此，標(biāo)定算法或者求解旋轉(zhuǎn)矩陣的各元素常使用其它形式的旋轉(zhuǎn)角表達(dá)式，如，四元數(shù)等旋轉(zhuǎn)矩陣是一個正交矩陣：(124)其中表示單位矩陣由上述公式不難得到旋轉(zhuǎn)矩陣的逆就是該矩陣的轉(zhuǎn)置標(biāo)定算法會在坐標(biāo)系之間產(chǎn)生剛體變換；例如，從坐標(biāo)系1到坐標(biāo)系2，我們有(125)剛體變換的逆變換就是將坐標(biāo)系2的坐標(biāo)變?yōu)樽鴺?biāo)系1的坐標(biāo)： (126)這里的表示坐標(biāo)系上的點是另一個坐標(biāo)系的原點注意平移變換的逆變換并不是簡單的等于必須乘以旋轉(zhuǎn)變換的逆變換，因為表示在坐標(biāo)系2上的平

6、移，其逆變換一定要表示到與坐標(biāo)系1同一個方位的坐標(biāo)系中 圖122 歐拉角或俯仰角、偏航角和滾動角示意圖1212旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)也可以規(guī)定為逆時針(右手坐標(biāo)系)繞由單位矢量表示的軸的旋轉(zhuǎn)這是一種觀察旋轉(zhuǎn)的非常直觀方法，但是它在數(shù)值計算上也有和歐拉角一樣的問題旋轉(zhuǎn)軸和旋轉(zhuǎn)角度表達(dá)式可以轉(zhuǎn)換成矩陣表達(dá)式(方程121)，以作為剛體變換的公式當(dāng)然，如果能直接使用旋轉(zhuǎn)軸和旋轉(zhuǎn)角表達(dá)式來產(chǎn)生滿意的數(shù)值解，將是最好不過的了在這種思路的基礎(chǔ)上產(chǎn)生了旋轉(zhuǎn)四元數(shù)，這也是將四元數(shù)用于旋轉(zhuǎn)表示的原因之一1213 四元數(shù)四元數(shù)是一個四元矢量，可用來表示坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)實踐證明，對于定位求解問題，四元數(shù)表示可以給出很好的數(shù)值解為了理解四

7、元數(shù)是如何對旋轉(zhuǎn)進(jìn)行表示的，我們首先想象在二維平面上的一個單位圓，單位圓上的任何一個位置都只對應(yīng)于一個旋轉(zhuǎn)角如圖12.3所示圖123單位圓上一點只能對應(yīng)一個旋轉(zhuǎn)角再考慮三維空間中的單位球： (127) 在單位球上的任意一點只對應(yīng)繞軸和軸旋轉(zhuǎn)的兩個角和，無法表示繞軸旋轉(zhuǎn)的第三個角顯然，再增加一個自由度就可以表示所有三個旋轉(zhuǎn)角四維空間單位球定義如下： (128)三維空間中所有三個旋轉(zhuǎn)角可以通過四維單位球上的點來表示由單位四元數(shù)表示的旋轉(zhuǎn)公式如下： (129)每一個單位四元數(shù)和其反極點(antipole)都表示三維空間中的旋轉(zhuǎn) 用單位四元數(shù)表示剛體變換的旋轉(zhuǎn)矩陣： (1210)在計算出單位四元數(shù)之后

8、，就可利用上式計算旋轉(zhuǎn)矩陣單位四元數(shù)與上節(jié)描述的旋轉(zhuǎn)角和旋轉(zhuǎn)軸有密切關(guān)系旋轉(zhuǎn)可以用旋轉(zhuǎn)量和旋轉(zhuǎn)軸方向的組合來表示，即四元數(shù)由一個與旋轉(zhuǎn)量有關(guān)的標(biāo)量和一個旋轉(zhuǎn)軸矢量組成 設(shè)旋轉(zhuǎn)軸的單位矢量為，使用,和表示坐標(biāo)軸，則旋轉(zhuǎn)軸單位矢可以表示為： (1211) 繞該軸逆時針旋轉(zhuǎn)角的單位四元數(shù)為： (1212)上式的第一項為四元數(shù)的標(biāo)量(實)部分，其余項為矢量(虛)部分空間點的四元數(shù)實際上只有矢量部分（虛部），該矢量就是空間點的矢量表示 (1213)設(shè)是點通過矩陣旋轉(zhuǎn)得到，(1214)若是點的四元數(shù)表示，那么對旋轉(zhuǎn)后點的四元數(shù)表示可以由四元數(shù)直接計算： (1215)這里的，是的共軛四元數(shù)： 四元數(shù)乘法定義

9、如下： (1216)剛體變換可以很方便地用七個元素表示，前四個量是單位四元數(shù)，后三個量是平移量在這一表達(dá)式中，若用R(q)表示對應(yīng)于單位四元數(shù)的旋轉(zhuǎn)矩陣，則剛體變換式為： (1217)122絕對定位 絕對定位問題是確定兩個坐標(biāo)系之間的剛體變換問題求解絕對定位問題在機器視覺中有著許多應(yīng)用，其中的一個應(yīng)用是確定測距成像系統(tǒng)或雙目立體視覺系統(tǒng)與定義在場景中的絕對坐標(biāo)系之間的關(guān)系，這樣可以將所有的測量值均表示在一個公共的坐標(biāo)系里若表示點在攝象機坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，表示點在絕對坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，則絕對坐標(biāo)定位問題的輸入就是一個共軛對組：，為了求解絕對定位問題，我們把剛體變換方程展開，以便說明旋轉(zhuǎn)矩陣中各項的作

10、用設(shè)是攝象機坐標(biāo)系內(nèi)的點，是絕對坐標(biāo)系內(nèi)的點，從到的剛體變換公式為：(1218)其中12個未知參數(shù)中有9個是旋轉(zhuǎn)矩陣參數(shù)，3個是平移參數(shù)每個共軛對對應(yīng)有三個等式，則至少需要四個共軛對產(chǎn)生12個方程才能解出12個未知數(shù)在實際應(yīng)用過程中，常常使用大量的共軛對(這些共軛對通常是空間標(biāo)定點在不同坐標(biāo)系中的表示)來提高計算精度在解線性系統(tǒng)方程時，如果旋轉(zhuǎn)矩陣沒有正交標(biāo)準(zhǔn)化，則可能得不到有效的旋轉(zhuǎn)矩陣使用非標(biāo)準(zhǔn)正交矩陣作為旋轉(zhuǎn)矩陣可能會產(chǎn)生意想不到的結(jié)果，如不能保證矩陣轉(zhuǎn)置一定等于矩陣逆，并且共軛對的測量誤差會嚴(yán)重地影響計算結(jié)果，從而不能產(chǎn)生剛體變換的最佳逼近有些方法是在每一步迭代過程之后對矩陣進(jìn)行正交化

11、，但仍不能保證正交化的矩陣是旋轉(zhuǎn)矩陣的最佳逼近一種替代的方法是求解旋轉(zhuǎn)角而不是矩陣的各項元素旋轉(zhuǎn)角最一般的表示方法是歐拉角，不過使用歐拉角會導(dǎo)致非線性方程，從而產(chǎn)生數(shù)值計算上的困難在攝影測量中，通常的做法是對非線性方程線性化并求解，以便得到名義值的修正值這種線性化算法的成功與否很大程度上取決于初始預(yù)估值好壞下面討論用單位四元數(shù)表示方法求剛體變換設(shè)是對應(yīng)于單位四元數(shù)的旋轉(zhuǎn)矩陣，則攝象機坐標(biāo)系上的每一點坐標(biāo)轉(zhuǎn)換成絕對坐標(biāo)的剛體變換公式如下： (1219)其中是攝象機原點在絕對坐標(biāo)系中的位置現(xiàn)在的回歸問題有七個參數(shù)：表示旋轉(zhuǎn)的單位四元數(shù)的四個參數(shù)加上平移矢量的三個參數(shù)正如前面所指出的，絕對定位問題的

12、輸入是共軛對集合：，考慮一組點的兩種集合表示，在攝象機坐標(biāo)系中的點集和絕對坐標(biāo)系中的點集絕對定位問題就是在空間中將這兩個點群對正下面計算每個點集的矩中心： (1220) (1221)用矩中心與每一個點相減得： (1222) (1223)若已知旋轉(zhuǎn)矩陣，則平移表達(dá)式可表示為： (1224) 下面將討論求解旋轉(zhuǎn)矩陣，使得這兩簇射線對正在推導(dǎo)旋轉(zhuǎn)矩陣時，將點表示為從矩中心出發(fā)的射線，這樣所有坐標(biāo)都將是射線坐標(biāo)由于射線束是由共軛對集合推導(dǎo)的，因此，我們可以知道在攝象機射線束中的某一條射線對應(yīng)于絕對坐標(biāo)射線的那一條射線當(dāng)兩組射線對正后，每一對對應(yīng)射線將會重合換句話說，每一對射線位于同一條直線上，并指向同

13、一方向若不考慮測量誤差的影響，則每對射線之間的夾角應(yīng)為0，夾角的余弦為1測量誤差導(dǎo)致射線束不能完全對正但可以在最小方差的意義上，通過求解旋轉(zhuǎn)矩陣束得到最佳對正結(jié)果，其中旋轉(zhuǎn)矩陣的求解是求每對射線標(biāo)量積的極大值： (1225) 在四元數(shù)中，上面的和式可以表示為： (1226)上式可以變成二次表達(dá)式： (1227)假設(shè)對應(yīng)一個列向量則使二次式取極大值的單位四元數(shù)是對應(yīng)于最大正特征值的特征向量特征根可以利用Horn 1987給出的公式求解四階多項式來確定，也可以利用標(biāo)準(zhǔn)數(shù)值方法Press 1988計算特征向量和特征值矩陣和是由每個射線元素構(gòu)成設(shè)，那么： (1228) (1229)矩陣N為： (123

14、0)式中的和式S是由攝象機坐標(biāo)系和絕對坐標(biāo)系的射線坐標(biāo)元構(gòu)成其中，是求所有共軛對的攝象機坐標(biāo)點的坐標(biāo)坐標(biāo)和在絕對坐標(biāo)點的坐標(biāo)坐標(biāo)的乘積和： (1231)上述計算的結(jié)果是一個單位四元法，表示校準(zhǔn)射線束的旋轉(zhuǎn)變換剛體變換可以作用于測距攝象機，雙目立體視覺系統(tǒng)或任何其它深度測量系統(tǒng)產(chǎn)生的測量坐標(biāo)值，以便把這是測量值變換到絕對坐標(biāo)系統(tǒng)的測量坐標(biāo)值 123 相對定位相對定位問題是指用場景點在兩個圖像平面上的投影來確定兩個攝象機坐標(biāo)系之間的關(guān)系相對定位問題是雙目立體視覺系統(tǒng)標(biāo)定的第一步我們曾在第十一章討論了沿極線匹配特征的雙目立體視覺算法為了簡化表示，假定左、右圖像平面上的外極線皆與圖像陣列的行線重合，且

15、對應(yīng)的左、右圖像陣列的行標(biāo)號也相同設(shè)場景點在左、右兩個攝象機的視場范圍內(nèi)(見圖111)點在左攝象機坐標(biāo)系用表示，在右攝象機坐標(biāo)系內(nèi)用表示點在左攝象機圖像平面上的投影為，在右攝象機圖像平面上的投影為設(shè)左右攝像機智的焦距分別為由透視投影得到公式： (1232) (1233)將左攝象機坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換為右攝象機坐標(biāo)系的剛體變換方程如下： (1234)從透視投影方程（12.32）和（12.33）求出和，并將它們代入上面的剛體變換方程，得到一組共軛對投影之間的關(guān)系方程： (1235)變換方程的旋轉(zhuǎn)部分改變左攝象機的方位使之與右攝象機方位相同而平移部分就是兩個攝象機之間的基線平移變量和深度變量在等式中以比值的形

16、式出現(xiàn)，分別表示基線的長度和深度可任意縮放例如，可以將攝象機分離兩倍的距離，并將場景中的點移遠(yuǎn)兩倍的距離而不改變透視幾何關(guān)系僅通過標(biāo)定點的投影是不可能確定基線長度，但這并不是一個嚴(yán)重的問題，和確定比例系數(shù)一樣，基線長度可以通過其它的方法確定現(xiàn)在，假定攝象機之間的平移量是單位矢量求解相對定位問題可以得到旋轉(zhuǎn)的三個參數(shù)和表示基線方向的單位矢量的兩個參數(shù)雙目立體深度測量值是以基線長度為計量單位的假定單位基線長度，意味著雙目立體測量值可以用任意計量單位表示在這個單位基線長度假設(shè)下得到的測量值是正確的，但仍未確定比例系數(shù)點之間的相對距離是正確的這些任意設(shè)置的計量單位值乘以基線長度可以得到真實計量單位值1

17、27節(jié)將介紹如何確定基線距離，這也是求解絕對定位問題的一個部分求解絕對定位問題得到絕對坐標(biāo)變換使用絕對坐標(biāo)變換，任意計量單位立體測量值到真實計量單位的轉(zhuǎn)換和點在觀察者坐標(biāo)系到絕對坐標(biāo)系的變換可以同步進(jìn)行方程組（12.35）含有12個相對位置參數(shù)和2個與場景點有關(guān)的未知數(shù)，因此若有個標(biāo)定點，則有個未知量，旋轉(zhuǎn)矩陣是正交矩陣，由此可以產(chǎn)生6個約束，另一個約束是基線距離取單位值的約束。根據(jù)方程（12.34），若有n個標(biāo)定點，則可產(chǎn)生3n個約束方程，這樣會有7+3n個約束當(dāng)n=5時，約束數(shù)等于未知量數(shù)。所以求解這一問題至少需要五個共軛對，在實際中，使用更多的共軛對可以得到更高的求解精度求解相對定位問題

18、首先從一組標(biāo)定點開始，使用這些標(biāo)定點在左、右圖像平面上的投影來確定這兩個攝象機之間的剛體變換每個投影點對應(yīng)于一條從攝象機投影中心出發(fā)的射線，這條射線穿過投影點進(jìn)入場景對于場景中的標(biāo)定點，其在兩個圖像平面的兩個投影點和對應(yīng)的兩條射線應(yīng)相交于點但實際上，由于在圖像平面上投影點位置的測量誤差，相交點位置可能不在點我們希望求出滿足單位基線長度約束的兩個攝象機在空間的相對位置和方向，以便使圖像平面中的射線位置測量誤差達(dá)到最小設(shè)是從左攝象機投影中心點出發(fā)，穿過左圖像平面上的點的射線(矢量)；是從右攝象機投影中心點出發(fā)，穿過右圖像平面上的點射線(矢量)；是從左攝象機投影中心點到右攝象機投影中心點的矢量我們需

19、要在同一個坐標(biāo)系中處理每一條射線，所以旋轉(zhuǎn)以使它和在同一個坐標(biāo)系中，用表示這個旋轉(zhuǎn)后得到的射線如果兩條射線相交，則說明它們位于垂直于的平面中基線也位于同一平面中因此，基線也垂直于，這一關(guān)系在數(shù)學(xué)上可描述為基線矢量與的點積為0： (1236)這個關(guān)系式稱為共面條件由于測量誤差，射線將不會交于點，也不滿足共面條件解決這一問題的有效方法是使用使用最小二乘法124 校正校正(rectification)是立體圖像對重新取樣的過程，以使得外極線對應(yīng)于圖像陣列的行其基本思想：校正左、右圖像平面位置，使這兩個平面與兩攝像機光學(xué)中心連線平行，此時，由于極點在無窮遠(yuǎn)處，圖像陣列的行就是極線，如圖12.4所示。立

20、體對應(yīng)點可以沿對應(yīng)圖像搜索匹配點得到如圖12.5所示。圖12.4 校正處理示意圖 圖12.5 校正處理實驗結(jié)果（a）原始圖像 （b）校正處理后的圖像實際上，上述條件很難達(dá)到，可能會出現(xiàn)一些偏差(繞攝相機垂直軸向內(nèi)旋轉(zhuǎn))，但如果將左，右圖像投影到一個平面上，就能得到理想的極線幾何左(右)攝象機中的每一個像素點分別對應(yīng)于左(右)攝象機坐標(biāo)系統(tǒng)中的一條射線設(shè)和分別表示將左，右攝象機的射線變換到公共平面坐標(biāo)系的剛體變換確定每個圖像的頂點在公共平面上的位置，創(chuàng)建新的左、右圖像網(wǎng)格，將每一個網(wǎng)格點變換回原來的圖像上使用1262節(jié)所討論的雙變量線性內(nèi)插方法內(nèi)插旬素值以確定公共平面上新的左、右圖像中的像素值1

21、25 雙目立體深度測量 雙目立體視覺是匹配左、右圖像平面上的特征點并生成共軛對集合 ，在理想狀態(tài)下，每一個共軛對定義的兩條射線，相交于空間中某一場景點空間相交的問題就是找到相交點的三維空間坐標(biāo)由于圖像平面坐標(biāo)的測量誤差以及攝象機的誤差，兩條射線不會相交，所以通過立體對計算深度問題就是求最接近射線的場景點的坐標(biāo) 我們將假設(shè)立體測量所有的坐標(biāo)系不同于任一攝象機坐標(biāo)系例如，立體坐標(biāo)系可以建立在支撐兩個攝象機的框架上這里出現(xiàn)了兩個剛體變換：一個是左攝象機相對于立體坐標(biāo)系的校準(zhǔn)變換，另一個是右攝象機相對于立體坐標(biāo)系的校準(zhǔn)變換左變換包括有旋轉(zhuǎn)矩陣和平移量 ，右轉(zhuǎn)換包括旋轉(zhuǎn)矩陣和平移量為了在右(左)攝象機坐

22、標(biāo)系中表示測量點，則需要使用相對定位問題中的剛體變換公式和平移公式在三維空間中共軛對的坐標(biāo)分別為 和 將左攝象機坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)和平移到立體坐標(biāo)系中： (1237)同樣，對于右攝像機有： (1238)為了計算最靠近兩條射線的點，通過求下式的最小值求出對應(yīng)于兩條射線之間的最小的距離時，和值 (1239)其中，是立體坐標(biāo)系中的基，和分別是旋轉(zhuǎn)后進(jìn)入立體坐標(biāo)系的左，右射線為了求解射線相交問題，對和求導(dǎo)并等于0解方程求出和并代入射線方程(方程1242和1243)，以便求取位于每一條射線上的點求出這兩點的位置平均值，就得到深度的估計值立體點測量值是在立體坐標(biāo)系統(tǒng)中進(jìn)行的，立體坐標(biāo)系可以是左或右攝象機坐標(biāo)系，或

23、是一個中性坐標(biāo)系如果通過求解外部定位問題(128節(jié))或通過其它方法來求解左、右攝象機與立體坐標(biāo)系之間的剛體變換，那么，立體點測量值單位與標(biāo)定點單位一樣不考慮如何標(biāo)定立體坐標(biāo)系，我們必須將點測量值變換到場景絕對坐標(biāo)系中同時通過求解具有比例因子的絕對定位問題將測量值轉(zhuǎn)換到與場景相適應(yīng)的某一計量單位系統(tǒng)中126 含有比例因子的絕對定位在122節(jié)中，絕對定位變換公式不允許包含比例因子；坐標(biāo)系之間的變換僅包括旋轉(zhuǎn)和平移的剛體變換在雙目立體系統(tǒng)中，若兩個攝象機之間的基線未知或不正確時，或在測距攝象機之間具有不同測量單位時，比例因子會發(fā)生改變122節(jié)所討論的絕對定位問題可以推廣到包含比例因子變化的情況推廣后

24、的坐標(biāo)變換將包含用于視點與絕對坐標(biāo)對正(alignment)的旋轉(zhuǎn)和平移變換，也包含攝象機專用的測量單位到公用計量單位轉(zhuǎn)換的比例因子設(shè)點在一個坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為，在另一個坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為，則坐標(biāo)系變換公式為： (1240)其中，s是比例因子這一參數(shù)使絕對定位問題參數(shù)數(shù)量增加到七個：三個旋轉(zhuǎn)參數(shù)，三個平移參數(shù)，一個比例因子比例變換是一種均勻比例縮放：即每個軸縮放比例量相同絕對定位問題的輸入是來自第一和第二個視場的幾個共軛對集合回歸問題是求出旋轉(zhuǎn)陣，平移量，和比例因子s： (1241)達(dá)到極小值求解上述問題至少需要三個點，以得到九個方程來解七個未知量實際中，使用更多的點可以得到更高的精度暫時忽略一下

25、共軛對的對應(yīng)關(guān)系是已知的，設(shè)想一下兩個點集(在第一個坐標(biāo)系中的點集和在第二個坐標(biāo)系中的點集)是在絕對坐標(biāo)系中的兩個點群計算每個點群矩中心如下： (1242) (1243)將每個點群變換為有關(guān)矩中心的一個矢量簇： (1244)計算矢量簇平均長度，即可確定比例因子這說計算比例因子列需知道旋轉(zhuǎn)和平移，這在標(biāo)定雙目立體基線距離中十分有用，并且使用點越多計算結(jié)果越精確在確定旋轉(zhuǎn)和比例因子之后，平移可以從矩中心很容易地計算出來： (1245)計算旋轉(zhuǎn)是確定如何校準(zhǔn)關(guān)于矩中心的射線束的基本問題，計算第一和第二視場中的射線坐標(biāo)標(biāo)量積之和，得到的矩陣M： (1246) 設(shè)矩陣Q = 則旋轉(zhuǎn)矩陣為： (1247)

26、其中矩陣S為： (1248)矩陣Q的特征值和特征向量的分解表示為： (1249)的特征值是通過解一個三次方程得到的這個三次方程的根可以直接利用197公式求出用特征值解線性方程： (1250)得到正交特征向量V1 ,V2和V3矩陣S是矩陣Q的平方根在特征系統(tǒng)表示中(方程1247)，矩陣的平方根和其逆矩陣是很容易計算的矩陣S的逆矩陣為： (1251) 計算特征向量的叉積，除以特征向量的平方根，再乘以矩陣M就可得到旋轉(zhuǎn)矩陣R這種計算方法保證了矩陣R是歸一化正交矩陣這個算法提供了一種旋轉(zhuǎn)矩陣的解析解(非迭解)比例尺度可以通過方程1244得到無需確定平移或旋轉(zhuǎn)參數(shù)，而平移量可以通過方程1245來確定變換

27、公式1240可以作用于任何深度測量系統(tǒng)的點測量值，包括雙目立體系統(tǒng)或測距攝象機，以便將測量點變換到絕對坐標(biāo)系中，并將測量值轉(zhuǎn)換成絕對坐標(biāo)計量單位測量值計量單位是任何一種可用于絕對定位問題中標(biāo)定點計量單位例如，在絕對坐標(biāo)系統(tǒng)中標(biāo)定點的單位是毫米，而雙目立體深度測量值是以基線為一個單位，則由這些標(biāo)定點求解絕對定位問題的剛體變換將深度測量值的單位轉(zhuǎn)換成毫米單位測量系統(tǒng)中每個坐標(biāo)軸上的單位應(yīng)是相同的，因為作用于每一個坐標(biāo)軸上的比例因子是相同的127 外部定位外部定位問題就是在絕對坐標(biāo)系中，確定圖像平面坐標(biāo)和場景點坐標(biāo)之間的關(guān)系在機器人學(xué)和機器視覺中，外部定位問題被稱之為手眼問題直到本節(jié)，我們一直在攝象

28、機坐標(biāo)系中表示場景點的坐標(biāo)；但在許多應(yīng)用中，都需要建立圖像平面坐標(biāo)系與定義在場景中的絕對坐標(biāo)系之間的關(guān)系在圖像平面中，每個點都定義一條從投影中心出發(fā)，經(jīng)過圖像平面中的點，指向場景的射線在場景中，攝象機的位置就是投影中心的位置，攝象機的定位決定了從投影中心出發(fā)穿過圖像平面點的射線簇的定位一個圖像平面點并不對應(yīng)場景中唯一的一個點，但我們可以利用穿過此點的射線方程，連同其它有關(guān)場景的幾何信息，在場景絕對坐標(biāo)系中確定唯一的對應(yīng)點例如，如果我們知道一個圖像點對應(yīng)于墻上的一個點，并且也知道墻的模型平面方程，則只要求出射線方程與平面方程的交點就可以得到墻上對應(yīng)點的準(zhǔn)確位置外部定位問題就是確定對應(yīng)圖像平面點的

29、射線簇的位置和方向，使得每一個圖像平面點可以被變換為場景絕對坐標(biāo)系中的對應(yīng)射線，如圖126所示射線束的位置和方向可以表示成攝象機坐標(biāo)與絕對坐標(biāo)之間的剛體變換一個圖像平面點在攝象機三維坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為 ，其中表示圖像平面位于投影中心前面距離為的位置投影中心對應(yīng)攝象機坐標(biāo)系的原點，攝象機在場景中的位置就是投影中心在絕對坐標(biāo)系中的位置 在攝象機坐標(biāo)系中，經(jīng)過圖像平面中點的射線參數(shù)方程為 (1252)其中t的取值可以從0(在投影的中心)到無窮大當(dāng)t1時，攝象機坐標(biāo)系中的點 是圖像平面點已知圖像上一個測量點位置和攝象機常數(shù)的估計值，則可以從攝象機坐標(biāo)系中得到對應(yīng)的射線方程圖12.6外部定位問題示意圖設(shè)，

30、則可以將攝象機坐標(biāo)系與絕對坐標(biāo)系之間的剛體變換作用于射線的參數(shù)方程(方程1252)中，得到場景絕對坐標(biāo)系中的射線方程： (1253)確定剛體變換的基本步驟是：已知標(biāo)定點在場景中的坐標(biāo)為，測定標(biāo)定點的投影坐標(biāo)，利用透視投影方程建立圖像平面點與場景點的聯(lián)系，最后求解剛體變換攝象機外部定位參數(shù)(旋轉(zhuǎn)角和到攝象機原點的平移)稱為非固有參數(shù)，與攝象機內(nèi)部幾何的固有參數(shù)(例如攝象機焦距)相對外部定位問題可以簡單地陳述為：什么是絕對坐標(biāo)與相對坐標(biāo)之間的剛體變換，該變換可以確定空間射線簇位置和方向使得每一條射線都通過其對應(yīng)的標(biāo)定點？為了明確一下坐標(biāo)系，我們將使用下標(biāo)來區(qū)分絕對坐標(biāo)和攝象機坐標(biāo)在絕對坐標(biāo)系中，點

31、的位置是 ，在攝象機坐標(biāo)系中，點的位置是我們將外部定位問題確定為從絕對(場景)坐標(biāo)到攝象機坐標(biāo)的變換實際應(yīng)用中的逆變換由式1212給出從絕對坐標(biāo)到攝象機坐標(biāo)的剛體變換如下： (1254) 在攝象機坐標(biāo)系中，場景點的位置是未知的，但是點在圖像平面上的投影可以由透視投影方程來確定： (1255)因此，聯(lián)立(12.54)和(12.55) 可知每一個標(biāo)定點確定兩個獨立的約束方程： (1256)6個標(biāo)定點產(chǎn)生12個等式可以用于求解變換矩陣中12個參數(shù)，但是使用旋轉(zhuǎn)矩陣的歸一化正交約束可以將標(biāo)定點減少為4個在實際應(yīng)用中，常常使用更多的點以便得到精確的結(jié)果使用歐拉角公式替換旋轉(zhuǎn)矩陣的元素，然后求解非線性回歸

32、問題下面是一個求取外部定位的例子機器人在手臂的底部安裝了一個吸力抓取機構(gòu)抓取機構(gòu)非常適合于抓取那些小而平的物體，但前提是抓取機構(gòu)必須定位在這些物體的中心附近已知一個扁平物體放在手臂可以到達(dá)的一個桌子上，絕對坐標(biāo)系定義在桌子的一個角點一部攝象機位于桌子的上方，整個桌子在視場范圍內(nèi)圖像平面中的點的位置坐標(biāo)是如果物體相對于桌面背景具有很好的的反差，則可以使用一階矩就可估算圖像平面位置在桌子的絕對坐標(biāo)系中的點的位置坐標(biāo)是通過求解外部定位問題可以確定相對于絕對坐標(biāo)系的攝象機的位置和方向給定一個圖像平面中物體中心的位置，通過求出由攝象機原點出發(fā)，穿過點的射線與桌面的交點，可以確定桌面上的物體中心在絕對坐標(biāo)

33、系中的的位置桌面的方程： (1257)和從攝象機中心出發(fā)的射線方程： (1258)必須在絕對坐標(biāo)系中通過求解外部定位問題得到變換公式可以把從攝象機出發(fā)的射線轉(zhuǎn)換到絕對坐標(biāo)系中如果絕對坐標(biāo)系的原點是在桌面上，其z軸垂直于桌面，則方程1257變?yōu)閦 = 0，計算射線與桌面的交點變得十分容易128 內(nèi)部定位內(nèi)部定位問題就是確定攝象機內(nèi)部幾何參數(shù)，這些幾何參數(shù)包括： (1) 攝象機常數(shù)：投影中心到攝象機平面的距離； (2) 主點：圖像平面坐標(biāo)系原點的位置； (3) 透鏡變形系數(shù)：由于攝象機的光學(xué)缺陷引起的圖像平面坐標(biāo)的改變； (4) 比例因子：表示行和列之間的距離 攝象機內(nèi)部幾何參數(shù)也稱為固有參數(shù)(i

34、ntrinsic parameters)，是與攝象機外部定位問題中的非固有參數(shù)相對應(yīng)內(nèi)部定位問題是用于確定攝象機固有參數(shù)的一個回歸問題攝象機常數(shù)與透鏡焦距長度不完全一樣當(dāng)透鏡聚焦于無窮遠(yuǎn)時，攝象機常數(shù)等于焦距，否則，攝象機常數(shù)小于焦距長度主點是光軸與圖像平面的交點，是圖像平面坐標(biāo)系的原點，也可以認(rèn)為是圖像陣列的中心盡管攝象機常數(shù)接近于焦距，主點很靠近圖像中心點，但在許多應(yīng)用中，這種近似可能并不是很好在圖像傳感器中，像素行和列之間的間距可以從攝象機技術(shù)說明書得到，但是圖像幀獲取裝置可能會引入誤差，因此，必須標(biāo)定像素間距一些標(biāo)定算法可以同時求解內(nèi)部定位問題和外部定位問題其出發(fā)點是在攝象機外部定位確

35、定之前，圖像平面上標(biāo)定點的真正位置是未知的然而，內(nèi)部定位問題可以由其自身來解決現(xiàn)在已經(jīng)有幾種確定攝象機常數(shù)，主點位置和透鏡變形量的方法，無需知道攝象機在絕對坐標(biāo)系中的外部定位1210節(jié)將討論確定固有參數(shù)和非固有參數(shù)的方法確定攝象機的獨立于非固有參數(shù)的固有參數(shù)的基本思想是使用一個具有規(guī)則圖形的標(biāo)定圖像，如網(wǎng)格線圖形變形可被用來估算透鏡變形量，并計算對其它非固有參數(shù)名義值的修正量透鏡變形包括兩個部分：徑向變形 ，它會或多或少地使光線彎曲；偏心，由于透鏡中心偏離光軸引起的徑向變形和偏心可以用多項式模型來表示；內(nèi)部定位算法就是估算這些多項式的系數(shù) 圖127示意的是在不考慮偏心的情況下，大多數(shù)透鏡變形呈

36、現(xiàn)的徑向?qū)ΨQ性光線或多或少地彎曲指向光軸，但這一誤差在透鏡上(或在圖像平面上)與主點距離相同的所有點處都是相同的因為由光線彎曲量引起的誤差是旋轉(zhuǎn)對稱的，故徑向變形可以用一個含有半徑偶次冪的多項式模型來表示 ，用 表示真實的圖像坐標(biāo)， 表示未修正的圖像坐標(biāo)，這個坐標(biāo)是通過使用主點位置的估計由像素坐標(biāo)為和得到的： (1259)圖127大多數(shù)透鏡變形是徑向?qū)ΨQ射線將或多或少地彎曲并指向圖像中心在圖像平面中，與主點真實位置距離相等的所有點的徑向變形量是相同的 將修正量 (dx ,dy ) 加到未修正坐標(biāo)以便得到真實圖像平面坐標(biāo)： (1260) 徑向透鏡變形的修正量由距圖像中心距離的偶次冪多項式模型來表

37、示： (1261)其中是主點位置坐標(biāo)的精確值，而 (1262)是到圖像中心的徑向距離的平方注意，和與方程12114和12115中的和不一樣，后者是用來計算未修正的圖像坐標(biāo)；和是對和的修正在標(biāo)定結(jié)束之后，修正量可用于初始估算： (1263)修正徑向變形的標(biāo)定問題就是找出多項式的系數(shù)、和六階以上的透鏡變形多項式模型很少用到，事實上，也沒有必要用二階多項式由于需要精確的主點位置估計以便建立透鏡變形的模型，因此，主點的位置包含在標(biāo)定問題之中透鏡變形更有力的模型可以包含由于透鏡偏心而引起的切向變形的影響： (1264) 使用一個具有幾條不同定位和位置的標(biāo)定目標(biāo)唯一的要求就是線必須是直的，并不要求一定是絕

38、對的水平或垂直這個方法沒有涉及到同時求外部定位問題用激光機很容易制成一個由水平線和垂直線構(gòu)成的網(wǎng)格斜線的渲染圖像不是很精確，但由于外部定位對問題求解無關(guān)緊要，因此可以平移和旋轉(zhuǎn)網(wǎng)格到不同位置，獲取幾幅圖像，收集大量數(shù)字化直線用于標(biāo)定集合將這個網(wǎng)格安放在一個垂直于光軸的扁平剛體平面上由于并不要求直線一定是平行的，所以任意傾斜目標(biāo)上的直線并不影響標(biāo)定結(jié)果在整幅圖像上，通過計算所有小窗函數(shù)上的一階矩，可以確定圖像邊緣點的位置到子像素分辨率級水平窗口的尺寸應(yīng)該略大于直線寬度，但應(yīng)小于網(wǎng)格直線的間距Hough變換可以用來把邊緣組合成直線，并確定直線參數(shù)的初始估計值在真實(未修正)圖像坐標(biāo)系中，每一條直線

39、的方程為： (1265) 因為每條直線的確切位置和方向未知，因此，直線參數(shù)的估計必須作為內(nèi)部定位問題的一部分來精確求解若表示直線上邊緣點的坐標(biāo)，則使用上述修正模型得到未修正坐標(biāo)(，)，用這一坐標(biāo)去替換方程1265中的真實圖像坐標(biāo)對于每一個觀測值(邊緣點)和所有固s有參數(shù)值，將產(chǎn)生如下形式的方程： (1266)n個邊緣點的方程組是n維非線性系統(tǒng)，必須使用非線性回歸方法求解主點位置的修正量初始值為0，徑向透鏡變形和偏心系數(shù)也被初始化為0 全部最小化判據(jù)是： (1267) 求解這個非線性回歸問題可以得到主點的位置、徑向透鏡變型參數(shù)、和，以及透鏡偏心參數(shù)、和每條直線的參數(shù)估算是確定固有參數(shù)時的副產(chǎn)品，

40、可以舍棄129攝象機標(biāo)定攝象機標(biāo)定問題就是建立圖像陣列中的像素位置和場景點位置之間的關(guān)系因為每個像素都是通過透射投影得到的，它對應(yīng)于與場景點的一條射線攝象機標(biāo)定問題就是確定這條射線在場景絕對坐標(biāo)系中的方程攝象機標(biāo)定問題即包括外部定位問題又包括內(nèi)部定位問題這是因為，建立圖像平面坐標(biāo)和絕對坐標(biāo)之間的關(guān)系，必須首先確定攝象機的位置和方向以及攝象機常數(shù)，建立圖像陣列位置(像素坐標(biāo))和圖像平面位置之間的關(guān)系，必須確定主點的位置、縱橫比和透鏡變形攝象機標(biāo)定問題涉及到確定兩組參數(shù)：用于剛體變換(外部定位)的非固有參數(shù)和攝象機自身(內(nèi)部定位)所擁有的固有參數(shù)1291 攝像機標(biāo)定基本方法下面將介紹由Tsai 1

41、987總結(jié)的一種攝象機標(biāo)定基本方法，該方法在計算機視覺中得到廣泛的應(yīng)用設(shè)表示圖像平面的原點位置，表示從點出發(fā)到圖像點的矢量，是一個標(biāo)定點，表示從光軸上的點出發(fā)到的矢量如圖12.8所示，如果僅是由于徑向透鏡變形而造成實際圖像坐標(biāo)不同于理想圖像坐標(biāo)，那么平行于攝象機常數(shù)和在z方向上的平移并不影響的方向，因為兩個圖像坐標(biāo)分量是以同樣的比例縮放的這些約束對于求解外部定位問題是足夠了 圖12.8攝像機透視投影與透鏡徑向變形幾何示意圖假設(shè)標(biāo)定點位于的平面中，并假設(shè)攝象機相對于這個平面放置的，以滿足下面兩條重要條件：1. 絕對坐標(biāo)系中的原點不在視場范圍內(nèi)2. 絕對坐標(biāo)系中的原點不會投影到圖像上接近于圖像平面

42、坐標(biāo)系統(tǒng)的軸 條件1消除了透鏡變形對攝象機常數(shù)和到標(biāo)定平面距離的影響；條件2保證了剛體平移的分量不會接近于0，因為分量常常出現(xiàn)在下面引入的許多方程的分母中這兩個條件在許多成像場合下是很容易滿足的例如，假定攝象機放在桌子的正上方，鏡頭朝下正好看到桌子的中間位置絕對坐標(biāo)系可以定義在桌子上，其中，對應(yīng)于桌子平面，和軸分別對應(yīng)于桌子的邊緣，桌子的頂角是絕對坐標(biāo)系的原點，位于視場之外假定有個標(biāo)定點，每個標(biāo)定點的絕對坐標(biāo)為，未修正圖像坐標(biāo)根據(jù)這些觀測值形成一個矩陣，其中的行為： (1268)設(shè)是含有與剛體變換參數(shù)有關(guān)的未知參數(shù)的矢量： (1269)從標(biāo)定點的次觀察來形成一個矢量使用五個以上標(biāo)定點，我們就可

43、以得到關(guān)于參數(shù)矢量的過量線性方程組使用奇異值分解來求解這個線性系統(tǒng)，并使用方程解來計算除了的所有剛體變換參數(shù)，是攝象機常數(shù)的比例函數(shù)，將在后面確定首先，計算出平移的分量的大小如果和不同時為0，和不同時為0，則： (1270)其中如果和同時都為0，則： (1271)如果和同時為0，則： (1272)其次，確定的符號選取標(biāo)定點，這個點在圖像平面上的投影點是離圖像中心最遠(yuǎn)的圖像點(位于視場邊界的場景點和其對應(yīng)的圖像點)利用上面得到的結(jié)果矢量，可根據(jù)1269，計算，和 設(shè)和如果和同號， 和也同號，那么具有正確的符號(正號) ，否則在前加一個負(fù)號注意，在不考慮的符號時，上述剛體變換計算參數(shù)都是正確的，不

44、需要改變第三， 計算余下的剛體變換參數(shù)： (1273) 因為旋轉(zhuǎn)矩陣是正交歸一化矩陣，則一定成立使用這一性質(zhì)來計算旋轉(zhuǎn)矩陣的最后一行中的各個元素： (1274) 如果的符號是正的，則在前加負(fù)號在下面的計算攝象機常數(shù)步驟之后，和的符號可能會有所變動第四，計算攝象機常數(shù)和平移的分量為了估計和，可使用所有的標(biāo)定點來構(gòu)成線性方程組， (1275)使用每一個標(biāo)定點來計算對應(yīng)的矩陣行， (1276)并計算出方程1275右邊所對應(yīng)的矢量元素， (1277)矢量包括所要估計的參數(shù)： (1278)使用奇異值分解求解這個方程組如果攝象機常數(shù)，則在剛體變換的旋轉(zhuǎn)矩陣元素和前加負(fù)號第五， 使用前面各步驟得到的和的估算

45、值作為非線性回歸的初始條件，計算一階透鏡變形系數(shù)，并進(jìn)一步得到和的更精確的估計值通過透視投影來建立真實(修正)圖像平面坐標(biāo) 與攝象機坐標(biāo)系中的標(biāo)定點之間的關(guān)系式： (1279) 假設(shè)通過使用徑向透鏡變形模型第一項建立的真實(修正)圖像平面坐標(biāo)與測量圖像平面坐標(biāo)之間關(guān)系為： (1280)其中半徑的計算公式如下： (1281) 注意，未修正(測量)圖像平面坐標(biāo)不同于像素坐標(biāo)，因為前者的計算過程中已經(jīng)用到了圖像中心位置坐標(biāo)，行間距和列間距，以及比例系數(shù)估計值使用透射投影和透鏡變形方程中的分量以及絕對坐標(biāo)與攝象機坐標(biāo)之間的剛體變換公式，可以得到有關(guān)攝象機常數(shù)，平移和透鏡變形的一個約束條件： (1282

46、)這將形成求解參數(shù)、和的一個非線性因歸問題我們使用軸測量值，而不使用軸測量值，是因為測量值會受到比例系數(shù)的影響圖像的行間距是非常精確的，可以通過攝象機的說明書得到，而不受數(shù)字電路的影響因為標(biāo)定點是在一個平面上，所以不能確定比例系數(shù)而且，圖像中心位置沒有被標(biāo)定在本章末進(jìn)一步閱讀一節(jié)中提供了有關(guān)此類標(biāo)定問題的參考文獻(xiàn)1292 仿射變換法內(nèi)部定位問題同部外部定位問題組合起來可以得到未修正圖像坐標(biāo)與絕對坐標(biāo)系中射線位置和方向之間關(guān)系的整體轉(zhuǎn)換假設(shè)(未修正)圖像與真實圖像坐標(biāo)之間的變換模型是圖像平面內(nèi)的一個仿射模型這個變換考慮了引起攝象機誤差的幾種來源 比例誤差：由攝象機常數(shù)的不精確值造成 平移誤差：由

47、圖像原點(主點)的不精確估計值造成旋轉(zhuǎn)：圖像傳感器繞光軸的旋轉(zhuǎn)彎曲誤差：由攝象機軸的不垂直造成差速比例縮放：由圖像傳感器行列間距不等(非正方形像素)造成然而，由于透鏡變形，仿射變換無法來模型化誤差在128節(jié)求解外部定位問題的過程中，我們建立了從絕對坐標(biāo)系到圖像坐標(biāo)系的變換公式現(xiàn)在我們將增加真實圖像坐標(biāo)到測量(未修正)圖像坐標(biāo)的仿射變換，從而得到絕對坐標(biāo)到測量圖像坐標(biāo)的整體變換公式在圖像平面中，由于誤差和其它未知的內(nèi)部參數(shù)造成的變形的模型是一個仿射變換： (1283)這里我們將真實圖像平面坐標(biāo)映射為未修正(測量)圖像坐標(biāo)根據(jù)透視投影的公式1279有： (1284)使用1254式替換具有絕對坐標(biāo)表

48、達(dá)式的仿射變換中的攝象機坐標(biāo)比值， (1285)這些系數(shù)是仿射變換和剛體變換中的系數(shù)乘積和我們所得到的是一對方程，類似于建立絕對坐標(biāo)和實際圖像坐標(biāo)之間關(guān)系外部定位問題中的方程(方程1255)攝象機誤差的仿射模型已經(jīng)在絕對坐標(biāo)到攝象機坐標(biāo)的變換中上述公式說明(未修正)圖像坐標(biāo)和攝象機坐標(biāo)之間是透視投影關(guān)系，但是攝象機坐標(biāo)空間已經(jīng)發(fā)生扭曲，以便考慮攝象機誤差 回到1285式中，我們可以將主點位置的修正量和加到仿射變換中，得到下式： (1286)上式表明通過每個標(biāo)定點和在圖像平面中的對應(yīng)測量位置產(chǎn)生關(guān)于變換參數(shù)的兩個線性方程攝象機常數(shù)的名義值并未納入到仿射變換中，因為它被用來構(gòu)造攝象機坐標(biāo)系中的射線

49、標(biāo)定點集產(chǎn)生一組齊次線性方程，從而求出變換的系數(shù)至少需要6個標(biāo)定點產(chǎn)生12個方程來求解12個未知數(shù)，但應(yīng)該使用更多的標(biāo)定點以提高求解的參數(shù)精度為了避免所有系數(shù)等于0這一不必要的結(jié)果，應(yīng)將其中一個參數(shù)固定，如或，并將其移至方程的右邊由此形成的線性方程組為， (1287)其中是變換系數(shù)矢量；矩陣的行元素用標(biāo)定點的絕對坐標(biāo)及其絕對坐標(biāo)的乘積和、或來填充；矢量的元素一個常數(shù)，從或中選出由于圖像平面中的仿射轉(zhuǎn)換與求解外部定位問題的旋轉(zhuǎn)矩陣合并在一起，所以形成的變換矩陣不再是正交歸一化矩陣在沒有正交歸一化約束下，也可以使用通常的數(shù)值方法，如奇異值分解法(SVD)，來解線性方程組該變換將絕對坐標(biāo)映射為測量圖

50、像坐標(biāo)實際應(yīng)用中還需要逆轉(zhuǎn)換，其公式如下： (1288)上式可用于確定在絕對坐標(biāo)系中，從圖像測量坐標(biāo)點出發(fā)的射線方程注意，攝象機常數(shù)在整個標(biāo)定算法過程中是不變的因為對攝象機常數(shù)的修正量包含在仿射變換中(方程12162和12163)，透鏡的焦距長度可以用來替代最后，從像素坐標(biāo)到圖像坐標(biāo)的變換公式為， (1289)這個變換可以同攝象機誤差模型(1283)組合起來，從而產(chǎn)生絕對坐標(biāo)到像素坐標(biāo)的變換 1293 非線性方法給定一組標(biāo)定點，確定標(biāo)定點在圖像平面上的投影，計算投影位置的誤差，使用這些誤差來求解攝象機標(biāo)定參數(shù)因為知道標(biāo)定點在圖像上的投影位置十分必要，所以需要同時求解外部定位問題本節(jié)介紹的方法不同于1292節(jié)中介紹的將內(nèi)部定位問題和外部定位問題合并成單一的仿射變換的方法，用本節(jié)的方法可以得到攝象機實際的標(biāo)定參數(shù)，并且攝象機在標(biāo)定后，無論放在場景中什么位置，這些參數(shù)都是正確的攝象機標(biāo)定問題求解的基本思想是測量標(biāo)定點在圖像平面上的投影位置，計算出其與正確位置之間的偏移量，再將這些測量值加到攝象機參數(shù)模型的方程中每個標(biāo)定點產(chǎn)生兩個方程通常需要足夠數(shù)量的方程才能解出所有未知參數(shù)，但為了提高求解精度，可以