電磁場鏡像法

1、.1-8 鏡像法一、 鏡像法1. 定義：是解靜電場問題的一種間接方法，它巧妙地應(yīng)用唯一性定理，使某些看來棘手的問題很容易地得到解決。該方法是把實(shí)際上分區(qū)均勻媒質(zhì)看成是均勻的，對(duì)于研究的場域用閉合邊界處虛設(shè)的簡單的電荷分布，代替實(shí)際邊界上復(fù)雜的電荷分布來進(jìn)行計(jì)算。即鏡像法處理問題時(shí)不直接去求解電位所滿足的泊松方程，而是在不改變求解區(qū)域電荷分布及邊界條件的前提條件下，用假想的簡單電荷分布（稱為鏡像電荷）來等效地取代導(dǎo)體面域（電介質(zhì)分界面）上復(fù)雜的感應(yīng)（半極化）電荷對(duì)電位的貢獻(xiàn)，從而使問題的求解過程大為簡化。2. 應(yīng)用鏡像法應(yīng)主意的問題 應(yīng)主意適用的區(qū)域，不要弄錯(cuò)。在所求電場區(qū)域內(nèi)： 不能引入鏡像電

2、荷； 不能改變它的邊界條件； 不能改變電介質(zhì)的分布情況； 在研究區(qū)域外引入鏡像電荷，與原給定的電荷一起產(chǎn)生的電荷滿足所求解（討論）的邊界條件；其求得的解只有在所確定的區(qū)域內(nèi)正確且有意義。3. 鏡像法的求解范圍應(yīng)用于電場和電位的求解；也可應(yīng)用于計(jì)算靜電力；確定感應(yīng)電荷的分布等。二、 鏡像法應(yīng)用解決的問題一般是邊界為平面和球面的情況1. 設(shè)與一個(gè)無限大導(dǎo)電平板（置于地面）相距遠(yuǎn)處有一點(diǎn)電荷，周圍介質(zhì)的介電常數(shù)為，求解其中的電場。解：在電介質(zhì)中的場，除點(diǎn)電荷所引起的場外，還應(yīng)考慮無限大導(dǎo)電平板上的感應(yīng)電荷的作用，但其分布不知（未知），因此無法直接求解。用鏡像法求解該問題。對(duì)于區(qū)域，除所在點(diǎn)外，都有以

3、無限遠(yuǎn)處為參考點(diǎn)在邊界上有： 即邊界條件未變。由唯一性定理有對(duì)于大場不存在推廣到線電荷的情況，對(duì)于無限長線電荷也適合上述方法求解。例1-15. P54求空氣中一個(gè)點(diǎn)電荷在地面上引起的感應(yīng)電荷分布情況。解：用鏡像法求解P點(diǎn)： ， 感應(yīng)電荷密度， （大地） 點(diǎn)電荷 例1-16 P55 解：用鏡像法，如圖所示，邊界條件 2. 鏡像法應(yīng)用于求解兩種不同介質(zhì)中置于點(diǎn)電荷或電荷時(shí)的電場問題。解：應(yīng)用鏡像法求解區(qū)域如圖b，如圖c設(shè)中電位為，中電位為滿足條件：在中除所在點(diǎn)外，有，在中在兩種媒質(zhì)分界面上應(yīng)有，由 有 與兩個(gè)鏡像電荷來代替邊界的極化電荷 若q為的線電荷則有：3. 點(diǎn)電荷對(duì)金屬面的鏡像問題點(diǎn)電荷與接

4、地金屬球的問題 與的電場中，求電位為零的等位面。 令 則有余弦定理 等位面為球面（等位線為圓），所以電位與無關(guān)，即與無關(guān)，必有 這說明只要滿足上式，必有一個(gè)半徑為R的球面是零電位的等位面。討論點(diǎn)電荷與接地金屬球問題解：除點(diǎn)外，沒撤除金屬球，整個(gè)空間充滿，在離球心為b處，用一個(gè)負(fù)電荷取代。對(duì)于(金屬球外)的電場可用和兩點(diǎn)來計(jì)算。邊界條件, 未變， 對(duì)于金屬球不接地，原來又不帶電荷，則必須同時(shí)考慮正負(fù)兩部分電荷的作用，此時(shí)用鏡像法，在球外區(qū)域計(jì)算電場，應(yīng)是三部分電荷共同作用：、（，距球心b處）和（，在球心） 若求帶電，則應(yīng)是4部分電荷作用。1-9 部分電容一、 電容1. 定義：由兩個(gè)導(dǎo)體組成電容器

5、，即由兩個(gè)導(dǎo)體組成的獨(dú)立系統(tǒng)電容C。 單位法拉。由它的電極的幾何形狀、尺寸相互位置及導(dǎo)體間的介質(zhì)有關(guān)，與帶電情況無關(guān)。其實(shí)際表明的是兩導(dǎo)體間介質(zhì)的性質(zhì)。公式與是相互對(duì)應(yīng)的。2. 幾種常用電容器電容的計(jì)算 孤立導(dǎo)體的電容 ， 實(shí)質(zhì)上是該導(dǎo)體與無限遠(yuǎn)處另一導(dǎo)體的電容。 無限長同軸導(dǎo)體圓柱面電容 ，a、b分別為內(nèi)外圓柱導(dǎo)體的半徑。 同心球面導(dǎo)體間的電容孤立導(dǎo)體球的電容 二線傳輸線每單位長度電容 3. 部分電容實(shí)際工作中，常遇到三個(gè)或更多導(dǎo)體組成的系統(tǒng)。在多個(gè)導(dǎo)體中一個(gè)導(dǎo)體在其他導(dǎo)體的影響下，與另一導(dǎo)體構(gòu)成的電容只能引入部分電容的概念的描述。 定義：在由三個(gè)及三個(gè)以上帶電導(dǎo)體組成的系統(tǒng)，任意兩個(gè)導(dǎo)體之

6、間的電壓不僅要受到它的自身電荷還要受到其余導(dǎo)體上電荷的影響，這時(shí)系統(tǒng)中導(dǎo)體間的電壓與導(dǎo)體電荷關(guān)系一般不能僅用一個(gè)電容來表示，要用部分電容來描述。靜止獨(dú)立系統(tǒng)：一個(gè)系統(tǒng)，其中電場的分布只與系統(tǒng)內(nèi)各帶電體的形狀、尺寸、相對(duì)位置及電介質(zhì)分布有關(guān)，而和系統(tǒng)外的帶電體無關(guān)，并且所有電通量密度全部從系統(tǒng)內(nèi)帶電體發(fā)出，也全部終止于系統(tǒng)內(nèi)的帶電體上。例對(duì)于個(gè)導(dǎo)體構(gòu)成靜電獨(dú)立系統(tǒng)，令導(dǎo)體從順序編號(hào)，則若系統(tǒng)中電介質(zhì)是線性的，設(shè)0號(hào)導(dǎo)體為參考導(dǎo)體，則其余導(dǎo)體與0號(hào)導(dǎo)體之間的電壓為： ： 只與導(dǎo)體的幾何形狀、大小、尺寸、相互位置及電介質(zhì)有關(guān)。 ，也只與導(dǎo)體形狀、尺寸等有關(guān)。： 令，自有部分電容，即各導(dǎo)體與0號(hào)導(dǎo)體之

7、間的電容互有部分電容，相應(yīng)兩導(dǎo)體之間的部分電容。都是正的，共有 個(gè)部分電容例1-18. P65.解：用鏡像法；構(gòu)成兩隊(duì)電軸，由電軸法求空間p點(diǎn)電位。設(shè)電軸與幾何軸重合，則： 1-10 靜電能量與力一、 定義引入：從所學(xué)的機(jī)械能，我們知道很多力學(xué)問題由于從能量角度出發(fā)而使問題求解大為簡化。因此在研究帶電體系統(tǒng)的力學(xué)關(guān)系時(shí)，通過能量來分析是有利的。對(duì)于一種電荷分布，存在著與之相關(guān)聯(lián)的力系統(tǒng)，也就有與之相關(guān)聯(lián)的能量儲(chǔ)存在系統(tǒng)中，一個(gè)帶電體系統(tǒng)的能量比照力學(xué)系統(tǒng)來分，可分為位能和動(dòng)能兩部分。在靜電場中，由于，所以這一系統(tǒng)的能量完全以位能形式存在。1. 靜電能量：由于電荷的相互作用而引起的位能稱為靜電能

8、量，其計(jì)算為任意電荷分布下的靜電能量可以根據(jù)在實(shí)現(xiàn)這種分布的過程中，由于反抗電荷之間的庫侖作用力所需要作的功來計(jì)算。二、靜電能量的計(jì)算靜電場的能量定域在靜電場中。它是在建立電場過程中由外源作功轉(zhuǎn)化而來的。1. 電荷作任意分布時(shí)的靜電能量電荷之間有相互作用力，移動(dòng)電荷時(shí)，電場力要作功，說明電場內(nèi)儲(chǔ)存有能量?；蛘哒f要形成一個(gè)帶電體系，形成一個(gè)電場，外力要對(duì)電荷作功，這個(gè)功就轉(zhuǎn)換為電場的能量，儲(chǔ)存在電場中，即靜電能量是分布在靜電場之中的。推導(dǎo)：設(shè)電荷的體密度為，面密度為，假設(shè)系統(tǒng)中的介質(zhì)是線性的。設(shè)帶電導(dǎo)體已充電到這種程度，場中某一特定點(diǎn)的電位是，再引入電荷增量置于該點(diǎn)時(shí)，需要作功為因此全部靜電能量

9、可通過積分可得，由于介質(zhì)是線性德爾，所以要達(dá)到最后的分布需要作的功是一定的，與如何實(shí)現(xiàn)這一分布的過程無關(guān)。因此，我們可以選擇這樣一種充電模式，即在任何時(shí)刻使所以帶電體的電荷密度都按同一比例增長，令此比例比值為m，且，這樣任意時(shí)刻，電荷密度增量為 是最終的體電荷密度 是最終的面電荷密度總靜電能量為： 若系統(tǒng)中只有帶電導(dǎo)體的情況，其靜電能量可表示成 S為所以導(dǎo)體表面，由于每一導(dǎo)體表面都是等位面，因此對(duì)于第K號(hào)導(dǎo)體，有 靜電能量的分布問題。， V是對(duì)導(dǎo)體以外整個(gè)場域進(jìn)行的，面積分是對(duì)所有導(dǎo)體表面進(jìn)行的。是導(dǎo)體表面法線方向的單位向量。向量分析中的恒等式： 令有 , S位于無限遠(yuǎn)處在無限遠(yuǎn)處，。故S面上

10、，整個(gè)積分將隨而變，所以靜電能量體密度，各向同性線性媒質(zhì)中， 點(diǎn)電荷系統(tǒng)的靜電能量場源為連續(xù)分布電荷的靜電能量， 而對(duì)于點(diǎn)電荷系統(tǒng)，上式不相等。 令為任意點(diǎn)P上的分別由所引起的場強(qiáng)，合成場強(qiáng)從而有：第一項(xiàng)表明各電荷體系單獨(dú)存在時(shí)各自的靜電能量，稱為自有能（或故有能）；第二項(xiàng)代表兩個(gè)電荷體系間的相互作用能，稱為互有能。當(dāng)保持每個(gè)帶電體系的電荷分布不變而改變它們之間的相對(duì)位置時(shí)，各帶電體系的固有能不變，變化的都是相互作用能，即相互作用能與電荷體系之間的相對(duì)位置有關(guān)?；ビ心芟喈?dāng)于把每個(gè)帶電體從現(xiàn)有位置移到無限遠(yuǎn)離狀態(tài)時(shí)，電場力所作的功。即點(diǎn)電荷與外場的相互作用能稱為互有能。若激發(fā)外電場的電荷以及帶電

11、體，在本身的形狀、大小都不變的條件下，帶電體在外電場中運(yùn)動(dòng)也只是相互作用能發(fā)生了變化而固有能不變。例1-19、例1-20 P71-72三、 靜電力的計(jì)算虛位移法來計(jì)算靜電力、庫侖定律計(jì)算力1. 概念 廣義幾何坐標(biāo)：確定系統(tǒng)中各導(dǎo)體形狀、尺寸與位置的一組獨(dú)立幾何量。如距離、面積、體積、角度等。 廣義力：企圖改變某一廣義坐標(biāo)的力。它對(duì)應(yīng)于該廣義坐標(biāo)廣義力與廣義坐標(biāo)約束關(guān)系：廣義力乘以由它引起的廣義坐標(biāo)的改變應(yīng)等于功。2. 虛位移動(dòng)做功對(duì)于（n+1）導(dǎo)體組成的系統(tǒng)。0號(hào)作為參考導(dǎo)體，除P外其余導(dǎo)體不動(dòng)，且P號(hào)導(dǎo)體也只有一個(gè)坐標(biāo)g發(fā)生變化，該系統(tǒng)所發(fā)生的功能過程為：表示與各帶電體相連接的電源提供的能量

12、。靜電能量的增量電場力所做的功 若各導(dǎo)體電位不變 靜電能量的增量等于外源所提供能量的一半。電源做功 電場力做功為 若各帶電體的電荷維持不變即P號(hào)導(dǎo)體移動(dòng)時(shí)，所有帶電體不知外源相連，。即即外源被隔絕，電場力要做功只有靠減少系統(tǒng)內(nèi)靜電能量實(shí)現(xiàn)。事實(shí)上帶電體并沒有移動(dòng)，電場力分布也沒有改變，所求得的是當(dāng)時(shí)電荷和電位情況下的力。兩種情況所得結(jié)果應(yīng)該相等。例平行板電容器在電場力作用下，有使電容C增大的趨勢。例1-21、1-223. 法拉第對(duì)電場力的觀點(diǎn)法拉第認(rèn)為在電場中的每一段電位移管，沿其軸線方向要受到縱張力，而在垂直于軸線方向，則要受到側(cè)壓力，縱張力與側(cè)壓力的量值相等，都是，因此電位移管本身好像被拉緊了的橡皮筋，沿軸線方向，它有收縮的傾向，而在垂直于軸線方向，它有擴(kuò)張的趨勢。證明：兩種媒質(zhì)分界面上，電場作用于單位面積上的力為 不論電場方向如何，此力總是垂直于該元面積，且總是介電常數(shù)較大的介質(zhì)指向較小的一邊?？倧?fù)習(xí)一、 電軸法兩導(dǎo)線幾何軸間距2h，導(dǎo)線半徑為a，等效電軸與原點(diǎn)距離b，場中任意點(diǎn)的電位。P1-33，c、d點(diǎn)電位計(jì)算二、鏡像法1. 兩種不同介質(zhì)、無限大