高中數(shù)學(xué)《立體幾何》大題及答案解析;

1、高中數(shù)學(xué)立體幾何大題及答案解析(理)1.（2009全國卷）如圖，四棱錐中，底面為矩形，底面，點(diǎn)在側(cè)棱上，。 （i）證明：是側(cè)棱的中點(diǎn)；求二面角的大小。 2.（2009全國卷）如圖，直三棱柱abc-a1b1c1中，abac,d、e分別為aa1、b1c的中點(diǎn)，de平面bcc1（）證明：ab=ac （）設(shè)二面角a-bacba1b1c1ded-c為60,求b1c與平面bcd所成的角的大小3.（2009浙江卷）如圖，平面，分別為的中點(diǎn)（i）證明：平面；（ii）求與平面所成角的正弦值4.（2009北京卷）如圖，四棱錐的底面是正方形，點(diǎn)e在棱pb上.（）求證：平面； （）當(dāng)且e為pb的中點(diǎn)時(shí)，求ae與平面p

2、db所成的角的大小.5.（2009江西卷）如圖，在四棱錐中，底面是矩形，平面，以的中點(diǎn)為球心、為直徑的球面交于點(diǎn)（1）求證：平面平面；（2）求直線與平面所成的角；（3）求點(diǎn)到平面的距離6.（2009四川卷）如圖，正方形所在平面與平面四邊形所在平面互相垂直，是等腰直角三角形，（i）求證：；（ii）設(shè)線段、的中點(diǎn)分別為、，求證： （iii）求二面角的大小。7.（2009湖北卷文）如圖，四棱錐s-abcd的底面是正方形，sd平面abcd,sdada,點(diǎn)e是sd上的點(diǎn)，且dea(01). ()求證：對(duì)任意的（0、1），都有acbe:()若二面角c-ae-d的大小為600c，求的值。8.（2009湖南卷

3、）如圖3，在正三棱柱中，ab=4, ,點(diǎn)d是bc的中點(diǎn)，點(diǎn)e在ac上，且dee.（）證明：平面平面; （）求直線ad和平面所成角的正弦值。9.（2009四川卷）如圖，正方形所在平面與平面四邊形所在平面互相垂直，是等腰直角三角形，（i）求證：；（ii）設(shè)線段、的中點(diǎn)分別為、，求證： （iii）求二面角的大小。10.（2009重慶卷文）如題（18）圖，在五面體中，四邊形為平行四邊形，平面，求：（）直線到平面的距離；（）二面角的平面角的正切值11如圖，四棱錐pabcd中，底面abcd為平行四邊形，dab60，ab2ad，pd底面abcd(1)證明：pabd； (2)設(shè)pdad，求二面角apbc的余弦

4、值12（本小題滿分12分）如圖，已知四棱錐p-abcd的底面為等腰梯形，abcd,acbd，垂足為h，ph是四棱錐的高 ，e為ad中點(diǎn)（1） 證明：pebc（2） 若apb=adb=60，求直線pa與平面peh所成角的正弦值參考答案1、【解析】（i）解法一：作交于n，作交于e，連me、nb，則面，,設(shè)，則,在中，。在中由解得，從而 m為側(cè)棱的中點(diǎn)m. 解法二:過作的平行線.（ii）分析一:利用三垂線定理求解。在新教材中弱化了三垂線定理。這兩年高考中求二面角也基本上不用三垂線定理的方法求作二面角。過作交于,作交于,作交于,則,面,面面,面即為所求二面角的補(bǔ)角.法二：利用二面角的定義。在等邊三角形

5、中過點(diǎn)作交于點(diǎn)，則點(diǎn)為am的中點(diǎn)，取sa的中點(diǎn)g，連gf，易證，則即為所求二面角.解法二、分別以da、dc、ds為x、y、z軸如圖建立空間直角坐標(biāo)系dxyz，則。sabcdmzxy（）設(shè)，則，由題得，即解之個(gè)方程組得即所以是側(cè)棱的中點(diǎn)。 法2：設(shè)，則又故，即，解得，所以是側(cè)棱的中點(diǎn)。（）由（）得，又，設(shè)分別是平面、的法向量，則且，即且分別令得，即， 二面角的大小。2、解法一：（）取bc中點(diǎn)f，連接ef，則ef，從而efda。連接af，則adef為平行四邊形，從而af/de。又de平面，故af平面，從而afbc，即af為bc的垂直平分線，所以ab=ac。（）作agbd，垂足為g，連接cg。由三垂

6、線定理知cgbd，故agc為二面角a-bd-c的平面角。由題設(shè)知，agc=600. 設(shè)ac=2，則ag=。又ab=2，bc=，故af=。由得2ad=，解得ad=。故ad=af。又adaf，所以四邊形adef為正方形。因?yàn)閎caf，bcad，afad=a，故bc平面def，因此平面bcd平面def。連接ae、df，設(shè)aedf=h，則ehdf，eh平面bcd。連接ch，則ech為與平面bcd所成的角。. 因adef為正方形，ad=，故eh=1，又ec=2，所以ech=300，即與平面bcd所成的角為300.解法二：（）以a為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線ab為x軸的正半軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系axyz。設(shè)b（

7、1，0，0），c（0，b，0），d（0，0，c），則（1，0，2c）,e（，c）.于是=（，0），=（-1，b,0）.由de平面知debc， =0，求得b=1，所以 ab=ac。（）設(shè)平面bcd的法向量則又=（-1，1， 0），=（-1，0，c）,故 令x=1, 則y=1, z=,=(1,1, ).又平面的法向量=（0，1，0）由二面角為60知，=60，故 ，求得 于是 ， ， 所以與平面所成的角為303、（）證明：連接， 在中，分別是的中點(diǎn)，所以， 又，所以，又平面acd ，dc平面acd， 所以平面acd（）在中，所以 而dc平面abc，所以平面abc 而平面abe， 所以平面abe平面a

8、bc， 所以平面abe由（）知四邊形dcqp是平行四邊形，所以 所以平面abe， 所以直線ad在平面abe內(nèi)的射影是ap， 所以直線ad與平面abe所成角是 在中， ，所以4、【解法1】（）四邊形abcd是正方形，acbd，pdac，ac平面pdb，平面.（）設(shè)acbd=o，連接oe， 由（）知ac平面pdb于o， aeo為ae與平面pdb所的角， o，e分別為db、pb的中點(diǎn)， oe/pd，又， oe底面abcd，oeao， 在rtaoe中， ，即ae與平面pdb所成的角的大小為.【解法2】如圖，以d為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系， 設(shè)則，（），acdp，acdb，ac平面pdb，平面.（）當(dāng)且e

9、為pb的中點(diǎn)時(shí)， 設(shè)acbd=o，連接oe， 由（）知ac平面pdb于o， aeo為ae與平面pdb所的角， ，即ae與平面pdb所成的角的大小為.多面體abcdef的體積為veabcdvebcf=5、解：方法（一）：（1）證：依題設(shè)，在以為直徑的球面上，則.因?yàn)槠矫?，則，又，所以平面，則，因此有平面，所以平面平面.（）設(shè)平面與交于點(diǎn)，因?yàn)?，所以平面，則，由（1）知，平面，則mn是pn在平面abm上的射影，所以 就是與平面所成的角，且 所求角為（3）因?yàn)閛是bd的中點(diǎn)，則o點(diǎn)到平面abm的距離等于d點(diǎn)到平面abm距離的一半，由（1）知，平面于m，則|dm|就是d點(diǎn)到平面abm距離.因?yàn)樵趓tp

10、ad中，所以為中點(diǎn)，則o點(diǎn)到平面abm的距離等于。方法二：（1）同方法一；（2）如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，則， ，設(shè)平面的一個(gè)法向量，由可得：，令，則，即.設(shè)所求角為，則，所求角的大小為. （3）設(shè)所求距離為，由，得：6、【解析】解法一：因?yàn)槠矫鎍bef平面abcd，bc平面abcd，bcab，平面abef平面abcd=ab，所以bc平面abef.所以bcef.因?yàn)閍be為等腰直角三角形，ab=ae，所以aeb=45，又因?yàn)閍ef=45,所以feb=90，即efbe.因?yàn)閎c平面abcd, be平面bce,bcbe=b所以 6分（ii）取be的中點(diǎn)n,連結(jié)cn,mn,則mnpc pmnc為

11、平行四邊形,所以pmcn. cn在平面bce內(nèi),pm不在平面bce內(nèi), pm平面bce. 8分（iii）由eaab,平面abef平面abcd,易知ea平面abcd.作fgab,交ba的延長線于g,則fgea.從而fg平面abcd,作ghbd于h,連結(jié)fh,則由三垂線定理知bdfh. fhg為二面角f-bd-a的平面角. fa=fe,aef=45,aef=90, fag=45.設(shè)ab=1,則ae=1,af=,則在rtbgh中, gbh=45,bg=ab+ag=1+=, 在rtfgh中, , 二面角的大小為 12分 解法二: 因等腰直角三角形，所以又因?yàn)槠矫?，所以平面，所以即兩兩垂直；如圖建立空間

12、直角坐標(biāo)系, (i) 設(shè)，則，從而 ，于是， , 平面，平面， （ii），從而 于是 ，又平面，直線不在平面內(nèi)， 故平面（iii）設(shè)平面的一個(gè)法向量為，并設(shè)（ 即 取，則，從而（1，1，3） 取平面d的一個(gè)法向量為 故二面角的大小為7、（）證發(fā)1：連接bd，由底面是正方形可得acbd。 sd平面，bd是be在平面abcd上的射影，由三垂線定理得acbe.(ii)解法1：sd平面abcd，平面， sdcd. 又底面是正方形， dd，又ad=d，cd平面sad。過點(diǎn)d在平面sad內(nèi)做dfae于f，連接cf，則cfae， 故cfd是二面角c-ae-d 的平面角，即cfd=60在rtade中，ad=,

13、 de= ， ae= 。于是，df=在rtcdf中，由cot60=得， 即=3 ， 解得=8、解:（）如圖所示，由正三棱柱的性質(zhì)知平面.又de平面abc，所以de.而dee，,所以de平面.又de 平面，故平面平面. （）解法 1: 過點(diǎn)a作af垂直于點(diǎn),連接df.由（）知，平面平面，所以af平面,故是直線ad和平面所成的角。 因?yàn)閐e，所以deac.而abc是邊長為4的正三角形，于是ad=，ae=4-ce=4-=3.又因?yàn)?，所以e= = 4, , .即直線ad和平面所成角的正弦值為 .解法2 : 如圖所示，設(shè)o是ac的中點(diǎn)，以o為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)分別是a(2,0,0,

14、), (2,0,), d(-1, ,0), e(-1,0,0).易知=（-3，-），=（0，-，0），=（-3，0）.設(shè)是平面的一個(gè)法向量，則解得.故可取.于是 = . 由此即知，直線ad和平面所成角的正弦值為 .所以me與bn不共面，它們是異面直線。 .12分9、【解析】解法一：因?yàn)槠矫鎍bef平面abcd，bc平面abcd，bcab，平面abef平面abcd=ab，所以bc平面abef.所以bcef.因?yàn)閍be為等腰直角三角形，ab=ae，所以aeb=45，又因?yàn)閍ef=45,所以feb=90，即efbe.因?yàn)閎c平面abcd, be平面bce,bcbe=b所以 6分（ii）取be的中點(diǎn)n

15、,連結(jié)cn,mn,則mnpc pmnc為平行四邊形,所以pmcn. cn在平面bce內(nèi),pm不在平面bce內(nèi), pm平面bce. 8分（iii）由eaab,平面abef平面abcd,易知ea平面abcd.作fgab,交ba的延長線于g,則fgea.從而fg平面abcd,作ghbd于h,連結(jié)fh,則由三垂線定理知bdfh. fhg為二面角f-bd-a的平面角. fa=fe,aef=45,aef=90, fag=45.設(shè)ab=1,則ae=1,af=,則在rtbgh中, gbh=45,bg=ab+ag=1+=, 在rtfgh中, , 二面角的大小為12分 解法二: 因等腰直角三角形，所以又因?yàn)槠矫妫?/p>

16、所以平面，所以即兩兩垂直；如圖建立空間直角坐標(biāo)系, (i) 設(shè)，則，從而 ，于是， , 平面，平面， （ii），從而 于是 ，又平面，直線不在平面內(nèi)， 故平面（iii）設(shè)平面的一個(gè)法向量為，并設(shè)（ 即 取，則，從而（1，1，3） 取平面d的一個(gè)法向量為 故二面角的大小為10、解法一:（）平面, ab到面的距離等于點(diǎn)a到面的距離，過點(diǎn)a作于g，因，故；又平面，由三垂線定理可知，故，知，所以ag為所求直線ab到面的距離。在中，由平面，得ad，從而在中，。即直線到平面的距離為。（）由己知，平面，得ad，又由，知，故平面abfe，所以，為二面角的平面角，記為.在中, ,由得,從而在中, ,故所以二面角

17、的平面角的正切值為.解法二: （）如圖以a點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),的方向?yàn)榈恼较蚪⒖臻g直角坐標(biāo)系數(shù),則a(0,0,0) c(2,2,0) d(0,2,0) 設(shè)可得,由.即,解得 ，面,所以直線ab到面的距離等于點(diǎn)a到面的距離。設(shè)a點(diǎn)在平面上的射影點(diǎn)為,則 因且,而,此即 解得,知g點(diǎn)在面上,故g點(diǎn)在fd上.,故有 聯(lián)立,解得, . 為直線ab到面的距離. 而 所以（）因四邊形為平行四邊形,則可設(shè), .由得,解得.即.故由,因,故為二面角的平面角，又,所以 111111.解：(1)因?yàn)閐ab60，ab2ad，由余弦定理得.從而bd2ad2ab2，故bdad又pd底面abcd，可得bdpd所以bd平面pad故pabd(2)如圖