氣體動(dòng)力學(xué)講義吳子牛lecture1.ppt

1、VIII:氣體動(dòng)力學(xué)第八講,線化方法：紀(jì)念錢學(xué)森先生九十壽辰 2001年11月19日 星期二 上午9：50中午12：15 明理樓422,錢學(xué)森簡(jiǎn)況,1911年12月11日出生于上海，3歲到北京 1929年中學(xué)畢業(yè)，考入上海交大機(jī)械工程系，1930年因病休學(xué)一年 1934年上海交大機(jī)械系鐵道工程專業(yè)畢業(yè) 19341935考取清華大學(xué)留美資格(飛機(jī)設(shè)計(jì))并在杭州飛機(jī)廠實(shí)習(xí)，1935年到MIT. 1936年轉(zhuǎn)學(xué)加州理工學(xué)院航空系（從師于Von Karman） 1939年獲得航空、數(shù)學(xué)博士學(xué)位(高速氣動(dòng)力學(xué)問題)，在加州理工學(xué)院任助理教授，出師第1篇論文為薄殼體穩(wěn)定性理論(1940年),錢學(xué)森簡(jiǎn)況續(xù),

2、1942年，參與美國機(jī)密工作(火箭技術(shù)等) 1946年，其導(dǎo)師von Karman與加州理工學(xué)院出現(xiàn)關(guān)系問題辭職。錢學(xué)森也離開，到MIT任副教授(空氣動(dòng)力學(xué)). 1947年，錢學(xué)森36歲成為MIT正教授 1949年秋回加州理工學(xué)院任噴氣推進(jìn)技術(shù)正教授，同年接到召喚其回國的信件 1950年7月被取消參加機(jī)密研究的資格，準(zhǔn)備回國時(shí)，被拘留。保釋后被監(jiān)視5年之久(1955年6月表達(dá)需要祖國幫助愿望) 1954年在美國發(fā)表工程控制論專著,錢學(xué)森簡(jiǎn)況續(xù),在周總理關(guān)懷下，1955年回國 1955年11月與錢偉長(zhǎng)合作籌建力學(xué)所，1956年1月5日任第一任所長(zhǎng) 1957年任力學(xué)學(xué)會(huì)第一任理事長(zhǎng) 1957年其工

3、程控制論獲中科院自然科學(xué)一等獎(jiǎng)，并被補(bǔ)選為中國科學(xué)院學(xué)部委員 1958年任中國科技大學(xué)近代力學(xué)系主任，1959年(48歲)入黨 1961年任中國自動(dòng)化學(xué)會(huì)首任理事長(zhǎng) 后為中國的火箭、導(dǎo)彈等航天事業(yè)作出重大貢獻(xiàn),錢學(xué)森學(xué)術(shù)成就,應(yīng)用力學(xué)：A空氣動(dòng)力學(xué)，B固體力學(xué) 噴氣推進(jìn) 工程控制論 物理力學(xué) 工程科學(xué) 其它(化學(xué)流體力學(xué)等),內(nèi)容提要,基本原理 定常勢(shì)流基本方程 速度圖法 卡門錢學(xué)森方法 小擾動(dòng)線化方法 線化方法的求解,內(nèi)容提要,VIII-1:基本原理,氣體動(dòng)力學(xué)基本方程為非線性方程，一般情況下無法求解。特殊情況下存在特征線方法；某些情況下可以將方程線化，線化方程的求解有許多成熟的方法。 方法

4、一：速度圖法。將物理空間的方程用變換換成速度空間的方程，使方程變?yōu)榫€性的。 方法二：小擾動(dòng)線化方法。由于物體幾何形狀比較薄平，物體的存在只給均勻來流一個(gè)小的擾動(dòng)。于是可以針對(duì)小擾動(dòng)量將方程線化。,符號(hào)約定,空間： 或 速度： 或,VIII-2:定常勢(shì)流基本方程,基本假設(shè)：理想氣體、量熱完全氣體、均能、均熵、無旋 基本方程： 無旋假設(shè) ：存在勢(shì)函數(shù),VIII-3:速度圖法,考慮平面二維定常勢(shì)流： 通過變換,將物理平面(x,y)上的非線性方程，轉(zhuǎn)換為速度平面( )的線性方程，稱為速度圖法(Hodograph Method),VIII-3:速度圖法,物理平面與速度平面,物理平面： 速度平面：,VII

5、I-3:速度圖法,流線坐標(biāo)系,流線坐標(biāo)系 (s,n) 流線坐標(biāo)系與物理坐標(biāo)系的關(guān)系(旋轉(zhuǎn)角度為 )：,VIII-3:速度圖法,流線坐標(biāo)系中的方程,方程轉(zhuǎn)換,VIII-3:速度圖法,思考題,考慮流線坐標(biāo)系下的方程 假設(shè)流動(dòng)為簡(jiǎn)單波流動(dòng)，即 ，試證明,VIII-3:速度圖法,坐標(biāo)系方程,定義勢(shì)函數(shù) 和流函數(shù) 由 得,VIII-3:速度圖法,失端曲線變換,失端曲線變換，也稱恰普雷津變換,VIII-3:速度圖法,失端曲線變換續(xù),由 得,VIII-3:速度圖法,恰普雷津方程,將 代入 得恰普雷津方程,VIII-3:速度圖法,恰普雷津方程其它形式,將 通過交叉求導(dǎo)并相減得,VIII-3:速度圖法,恰普雷津

6、方程的精簡(jiǎn)形式,定義 ： 則恰普雷津方程變?yōu)?VIII-3:速度圖法,必做習(xí)題,討論恰普雷津方程組 在什么情況下存在特征線。在存在情況下，求出特征線和相容關(guān)系式。討論是否存在簡(jiǎn)單波。,VIII-3:速度圖法,速度圖法的求解思路,通過求解恰普雷津方程(存在若干特解)，得 從而得 由 得,VIII-3:速度圖法,速度圖法的求解思路續(xù),由 消去 得,VIII-3:速度圖法,速度圖法的求解思路續(xù),由 積分得,VIII-3:速度圖法,極限線(limit line),速度圖法有效的必要條件是變換有效，即變換雅可比矩陣的行列式滿足 由 定義的曲線稱為極限線。,VIII-3:速度圖法,速度圖法的困難與優(yōu)點(diǎn),在

7、速度平面上，邊界條件變?yōu)榉蔷€性的，所以速度圖法極少能給出邊值問題的解析解 對(duì)于簡(jiǎn)單波流動(dòng)(P-M流動(dòng))，恰普雷津變換是退化的，即在速度平面上，簡(jiǎn)單波流動(dòng)區(qū)域退化為一條線 復(fù)雜流動(dòng)區(qū)域的部分區(qū)域可以用速度圖法分析，有較多的研究結(jié)果 如果流場(chǎng)與無窮遠(yuǎn)流場(chǎng)差別不大，等熵線可以用其在無窮遠(yuǎn)狀態(tài)的切線代替，此時(shí)可壓縮流恰普雷津方程與不可壓縮流的方程相似，從而可以利用不可壓縮流的結(jié)論(卡門錢學(xué)森方法),VIII-3:速度圖法,VIII-4:卡門錢學(xué)森法,發(fā)表于1939年的“Two-dimensional subsonic flow of compressible fluids”,J.Aeronaut. S

8、ci., 6,399(1939), 是作者在馮卡門指導(dǎo)下完成的博士論文的一部分。 背景1：在高速流動(dòng)范圍設(shè)計(jì)機(jī)翼所遇到的翼面壓力分布計(jì)算遇到困難(只有超音速范圍可以用特征線理論，亞音速范圍內(nèi)機(jī)翼很薄或者速度極低時(shí)有小擾動(dòng)線化理論和不可壓縮流方法)。1902年，俄國的恰普雷津(S.A. Chaplygin)在博士論文中對(duì)定常勢(shì)流作變換，將自變量從物理平面 變換到速度平面 ，將方程變?yōu)榫€性方程，被稱為速度圖法。,VIII-4:卡門錢法,卡門錢學(xué)森法續(xù),背景2：作為近似，恰普雷津建議將等熵關(guān)系式用它的切線代替。后來有學(xué)者用駐點(diǎn)處的切線盡心近似計(jì)算，計(jì)算結(jié)果只對(duì)馬赫數(shù)低于0.5的情況有效。 背景3：馮

9、卡門指導(dǎo)錢學(xué)森用來流處的切線進(jìn)行近似，得到更好的結(jié)果。這是因?yàn)椋诹鲌?chǎng)大部分區(qū)域，流動(dòng)參數(shù)更接近來流值，而不是駐點(diǎn)值。 當(dāng)?shù)褥鼐€可以用其在無窮遠(yuǎn)狀態(tài)的切線代替時(shí)，可壓縮流恰普雷津方程與不可壓縮流的方程相似，從而可以利用不可壓縮流的結(jié)論(卡門錢學(xué)森方法)獲得可壓縮流的解。,VIII-4:卡門錢法,等熵曲線的近似,VIII-4:卡門錢法,卡門錢學(xué)森近似,來流處等熵線的斜率為 卡門錢學(xué)森近似（切向氣態(tài)律）,VIII-4:卡門錢法,卡門錢學(xué)森近似性質(zhì),對(duì)于切向氣態(tài)律，有 證明：由 另外，由動(dòng)量方程,VIII-4:卡門錢法,卡門錢學(xué)森近似性質(zhì)續(xù),由 得 由,VIII-4:卡門錢法,卡門錢學(xué)森近似性質(zhì)總結(jié)

10、,在卡門錢學(xué)森近似下，有,VIII-4:卡門錢法,是否,對(duì)于所考慮的(等熵、絕熱)流動(dòng) 取 得 與前面的性質(zhì)一致，因此，有書把 作為卡門錢學(xué)森假設(shè)的出發(fā)點(diǎn)。,VIII-4:卡門錢法,恰普雷津方程,定義 于是恰普雷津方程為,VIII-4:卡門錢法,不可壓縮流的恰普雷津方程,對(duì)于不可壓縮流動(dòng)， 因此恰普雷津方程簡(jiǎn)化為如下的柯西黎曼方程,VIII-4:卡門錢法,線性氣態(tài)律的恰普雷津方程,對(duì)于可壓縮流動(dòng)和卡門錢學(xué)森近似，已經(jīng)證明 因此方程簡(jiǎn)化為 與不可壓縮流方程完全一致。,VIII-4:卡門錢法,可壓不可壓相似比擬,在卡門錢學(xué)森近似前提下，速度平面上的方程為 對(duì)于不可壓流動(dòng)(以下標(biāo)I區(qū)別)，速度平面上

11、的方程為 因此，在速度平面上，可壓縮流與不可壓縮流的解在對(duì)應(yīng)自變量相等處完全相等，即,VIII-4:卡門錢法,對(duì)應(yīng)點(diǎn)速度關(guān)系式,由 得,VIII-4:卡門錢法,密度與馬赫數(shù),由 和 得 由K=1得,VIII-4:卡門錢法,密度續(xù),由 和 得,VIII-4:卡門錢法,對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo),由 得,VIII-4:卡門錢法,壓力系數(shù),由 得 對(duì)于不可壓縮流動(dòng),VIII-4:卡門錢法,壓力系數(shù)關(guān)系式,由 得卡門錢學(xué)森公式（ ）,VIII-4:卡門錢法,結(jié)束語,計(jì)算可壓縮流翼型表面壓力時(shí)，需要知道對(duì)應(yīng)點(diǎn)不可壓縮流的壓力(實(shí)驗(yàn)或解析)，且對(duì)應(yīng)點(diǎn)關(guān)系。當(dāng)馬赫數(shù)較小(M0.8)并且翼型較薄時(shí)，對(duì)應(yīng)點(diǎn)基本相等 ，即兩個(gè)流

12、場(chǎng)取相同的翼型。 卡門錢學(xué)森公式中的線性氣態(tài)率假設(shè)實(shí)際上屬于一種小擾動(dòng)假設(shè)(壓力被低估)，另外兩個(gè)流場(chǎng)取相同翼型也是一種近似(壓力被高估)。兩種效應(yīng)相抵，使得該公式直至高馬赫數(shù)(M=0.7)仍然有效(p203)。,VIII-4:卡門錢法,VIII-5:小擾動(dòng)線化方法,基本假設(shè)：來流 與 向一致(風(fēng)軸)，在來流上疊加小擾動(dòng) 小擾動(dòng)滿足方程,VIII-5:小擾動(dòng)線化法,翼型定義,三個(gè)參數(shù)：弦長(zhǎng) ，彎度曲線 ，厚度曲線 上下表面分別用“+”和“-”表示,小擾動(dòng)線化方程的推導(dǎo),將 代入 得,VIII-5:小擾動(dòng)線化法,亞、超流動(dòng)小擾動(dòng)線化方程,對(duì)于一般超音速流動(dòng)和亞音速流動(dòng) 因此在小擾動(dòng)假設(shè)下， 從而

13、 簡(jiǎn)化為如下的小擾動(dòng)線化方程,VIII-5:小擾動(dòng)線化法,跨、高超流動(dòng)小擾動(dòng)方程,對(duì)于跨音速流動(dòng)或高超音速流動(dòng) 因此即使在小擾動(dòng)假設(shè)下， 從而需要保留 的某些高階項(xiàng)，最后方程為非線性的(p154),VIII-5:小擾動(dòng)線化法,小擾動(dòng)線化方程的適應(yīng)范圍,流動(dòng)范圍：一般亞音速和一般超音速流動(dòng)，即馬赫數(shù)不太接近1，也不能太大 流動(dòng)位置：離開駐點(diǎn)較遠(yuǎn)(因?yàn)樵隈v點(diǎn)處， )， 但如果駐點(diǎn)影響范圍與整個(gè)流動(dòng)區(qū)域相比很小，則處處按小擾動(dòng)線化處理效果不錯(cuò)，所算得的升力系數(shù)和力矩系數(shù)令人滿意 物面形狀：在來流方向比較長(zhǎng)，在某個(gè)(只此一個(gè))垂直于來流的方向很薄。,VIII-5:小擾動(dòng)線化法,無旋流線化方程,在無旋流

14、假設(shè)下，存在勢(shì)函數(shù) ，滿足 從而小擾動(dòng)線化方程為,VIII-5:小擾動(dòng)線化法,線化物面邊界條件,物面方程： 物面法向： 物面無穿透條件： 零高度邊界條件 ：,VIII-5:小擾動(dòng)線化法,壓力系數(shù),壓力系數(shù)定義 定常均能假設(shè) 等熵假設(shè) 因此,VIII-5:小擾動(dòng)線化法,線化壓力系數(shù),將 代入 得,VIII-5:小擾動(dòng)線化法,VIII-6:線化方程的求解,分離變量法與積分變換法 相似法則(利用不可壓縮流結(jié)果) 特征線理論(略) 疊加法(線化流存在源、匯、偶極子) 其它方法：旋成體理論(p190),VIII-6:線化方程求解,分離變量與積分變換法,說明問題1：沿波形壁 的二維流動(dòng). 定解問題：,方程

15、類型,亞音速流動(dòng)，令 ，方程可以寫為 屬于橢圓型方程，擾動(dòng)傳播有限 亞音速流動(dòng)，令 ，方程可以寫為 屬于雙曲型方程，擾動(dòng)可以傳播至,無窮遠(yuǎn)條件,亞音速流動(dòng)， 超音速流動(dòng)，,亞音速流,用分離變量法求得 從而按定義有,超音速流,用積分變換法(達(dá)朗伯解) 對(duì)于向右流動(dòng)，按定義有,流線比較,流線方程： 亞音速： 超音速：,壁面壓力系數(shù)比較,亞音速： 超音速：,說明問題2：超音速二維翼型線化解,假設(shè)：超音速流，二維薄翼，小攻角，于是只有小擾動(dòng)波產(chǎn)生，沒有P-M膨脹波或激波那樣的非線性波(均為馬赫波)。這要求是薄翼、小攻角、尖前緣(當(dāng)然也是尖后緣)、來流馬赫數(shù)不高( ). 物理模型(p172-179),亞

16、音速線化流相似法則,亞音速小擾動(dòng)方程 通過簡(jiǎn)單仿射變換可以化成不可壓縮流的拉普拉斯方程 由此可以建立可壓縮流場(chǎng)和不可壓縮流場(chǎng)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系(相似關(guān)系)，利用(實(shí)驗(yàn)或解析容易獲得的)不可壓縮流場(chǎng)的解簡(jiǎn)單求出可壓縮流場(chǎng)的解。,仿射變換基本原理,可壓縮流場(chǎng)和不可壓縮流場(chǎng) 之間，如果各變量(包括自變 量和因變量)之間存在比列關(guān) 系(不同參數(shù)比列系數(shù)可以不 一樣)，使得控制方程和邊界 條件都能在可壓和不可壓之間 互換，則各參數(shù)的比列對(duì)應(yīng) 關(guān)系稱為仿射變換。,方程相似法則,求比列系數(shù)k,a,b,c,如果關(guān)系式 使得 事實(shí)上由(1)代入(2)得 因此，對(duì) 和任何k，上式都退化為(3),物面相似法則,當(dāng) ，取

17、何 使得物面邊界條件 事實(shí)上，將 代入(1)得 由(3)知，如果 ，則(1)退化為(2).,總結(jié),可壓縮流場(chǎng)和不可壓縮流場(chǎng)之間存在如下仿射關(guān)系 因此，先求解或?qū)嶒?yàn)測(cè)得不可壓?jiǎn)栴} 的解后，就可按(1)獲得可壓縮流場(chǎng)的解。,連帶相似法則,在滿足仿射變換 的可壓與不可壓流場(chǎng)之間，其它相似關(guān)系式可以按下式求得：,戈太特法則,亞音速線化流場(chǎng)的參數(shù)可以借助于一個(gè)仿射變換的不可壓縮無旋流場(chǎng)的相應(yīng)參數(shù)間接求出，兩個(gè)流場(chǎng)的空間關(guān)系式滿足 相應(yīng)點(diǎn)之間的流動(dòng)參數(shù)滿足,戈太特法則應(yīng)用,范圍：小擾動(dòng)流動(dòng)。 空氣動(dòng)力學(xué)應(yīng)用?？紤]兩個(gè)處于可壓縮流場(chǎng)和不可壓縮流場(chǎng)中的機(jī)翼。,翼型尺寸關(guān)系,由 得 因此，按戈太法則轉(zhuǎn)換后，不可

18、壓縮流場(chǎng)翼型在x方向不變，在z方向縮小 倍,流場(chǎng)尺寸關(guān)系,考慮流線對(duì)x軸的傾角 。則 即 ，按戈太法則轉(zhuǎn)換后，不可壓縮流場(chǎng)在x方向不變，在z方向縮小 倍,升力系數(shù)力矩系數(shù)關(guān)系,由 得 由 得,戈太特法則缺陷,應(yīng)用戈太特法則，從不可壓縮流場(chǎng)獲得可壓縮流場(chǎng)的解，不可壓縮流場(chǎng)的翼型與來流馬赫數(shù)有關(guān)，而且總是與可壓縮流場(chǎng)的翼型不一樣。,普朗特葛勞渥特法則,戈太特法則只能建立可壓縮與不可壓縮中不同翼型(并且不同攻角)的氣動(dòng)力關(guān)系，從而用起來十分不方便。 普朗特葛勞渥特法則建立可壓縮與不可壓縮中相同翼型(并且相同攻角)的氣動(dòng)力關(guān)系，從而得到可壓縮性對(duì)同一翼型的氣動(dòng)力影響。,基本原理,引入兩個(gè)不可壓縮流場(chǎng)及翼型。其中不可壓翼型1是可壓縮流場(chǎng)的仿射變換翼型，而不可壓翼型2與可壓縮翼型完全一樣。由可壓縮與不可壓縮1的氣動(dòng)力關(guān)系，以及不可壓縮2與不可壓縮1的關(guān)系，獲得可壓縮與不可縮2的關(guān)系,具體應(yīng)用,參閱氣體動(dòng)力學(xué)(p167-172) 由于要用到不可壓縮流動(dòng)的流動(dòng)參數(shù)與翼型參數(shù)的關(guān)系，有關(guān)理論包括三維機(jī)翼的升力線理論可以參閱“空氣動(dòng)力學(xué)” （陳再新等，航空工業(yè)出版社，1993）。,疊加法,經(jīng)過仿射變換或其它變換 亞、超音速的小擾動(dòng)線化方程 可以轉(zhuǎn)化為拉普拉斯方程 拉普拉斯方程的基本解包括均勻流、點(diǎn)源(匯)、偶極子和點(diǎn)渦(