垂徑定理 (2)

1、3.3垂徑定理,把一個(gè)圓沿著它的任意一條直徑對(duì)折，重復(fù)幾次，你發(fā)現(xiàn)了什么？由此你能得到什么結(jié)論？,圓是軸對(duì)稱圖形，,判斷：任意一條直徑都是圓的對(duì)稱軸（ ）,x,任何一條直徑所在的直線都是對(duì)稱軸。,（1）兩條直徑ab、cd，cd平分ab嗎？ （2）若把直徑ab向下平移，變成非直徑的弦，弦ab是否一定被直徑cd平分？,思考：當(dāng)非直徑的弦ab與直徑cd有什么位置關(guān)系時(shí)，弦ab有可能被直徑cd平分？,o,a,b,c,d,e,如圖，ab是o的一條弦，作直徑cd，使cdab，垂足為e .,垂徑定理的幾何語(yǔ)言敘述:,ae=be，,ac=bc，,ad=bd,（2）你能發(fā)現(xiàn)圖中有哪些相等的線段和?。繛槭裁?？,（

2、1）這個(gè)圖形是軸對(duì)稱圖形嗎？如果是，它的對(duì)稱軸是什么？,垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦，并且 平分弦所對(duì)的兩條弧,cdab,引申定理,定理中的徑可以是直徑、半徑、弦心距等過(guò)圓心的直線或線段。從而得到垂徑定理的變式： 一條直線具有：,平分弦,經(jīng)過(guò)圓心,垂直于弦,平分優(yōu)弧,平分劣弧,a,b,c,d,e,a,b,d,c,ac=bc,ad=bd,cdab,ae=be,平分弦 的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧,（不是直徑）,垂徑定理的推論:,cdab嗎？,(e),垂徑定理的推論, cd是直徑, am=bm, cdab,“知二推三” (1)垂直于弦 (2)過(guò)圓心 (3)平分弦 (4)平分弦所對(duì)的優(yōu)弧

3、 (5)平分弦所對(duì)的劣弧 注意:當(dāng)具備了(2）(3)時(shí),應(yīng)對(duì)另一 條弦增加”不是直徑”的限制.,小結(jié)：,1、垂徑定理：,垂直于弦的直徑平分弦， 并且平分弦所對(duì)的兩條弧,2、垂徑定理的推論：,平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧,經(jīng)過(guò)圓心,垂直弦,平分弦,平分優(yōu)弧,平分劣弧,3、五要素“知二推三”：,4、常用輔助線：,作弦心距，連接半徑，構(gòu)造直角三角形,o,a,b,c,d,e,垂徑定理的幾個(gè)基本圖形：,判斷下列圖形，能否使用垂徑定理？,( )(1)垂直于弦的直線平分這條弦, 并且平分 弦所對(duì)的兩條弧.,( )(2)經(jīng)過(guò)弦的中點(diǎn)的直徑一定垂直于弦.,( )(3)弦的垂直平分線一

4、定平分這條弦所對(duì)的弧.,知識(shí)運(yùn)用：,1、如圖，ab是o的直徑，cd為弦，cdab于e，則下列結(jié)論中不成立的是（ ）,a、coe=doe,b、ce=de,c、oe=ae,c,1、如圖，oeab于e，若弦ab=16cm, oe=6cm,則o的半徑是 cm。,o,a,b,e,10,運(yùn)用一：垂徑定理的計(jì)算,2、在o中，弦ab的長(zhǎng)為8cm， o的半徑為5cm，則圓心o到ab的距離是 cm 。,3,3、如圖，oeab于e，若o 的半徑為13cm,oe=5cm, 則ab= cm。,24,d + h = r,常見(jiàn)輔助線： 涉及求半徑、弦、弦心距、弓形高的計(jì)算時(shí)，連接作弦心距，連接半徑，構(gòu)造直角三角形，利用垂徑

5、定理和勾股定理解決。,半弦半徑弦心距，勾股定理來(lái)解題,達(dá)標(biāo)檢測(cè),1、為改善市民生活環(huán)境，市建設(shè)污水管網(wǎng)工程，某圓柱型水管截面如圖所示，管內(nèi)水面ab=8dm 。若水管截面半徑5dm，污水最大深度為_(kāi)dm。 若水深1dm，則水管截面半徑為_(kāi)dm.,2,8.5,變式：為改善市民生活環(huán)境， 市建設(shè)污水管網(wǎng)工程，某圓柱 型水管截面管內(nèi)水面寬ab=8dm， 截面半徑為5dm，水深_dm.,2或8,解：如圖，設(shè)半徑為r，,在taod中，由勾股定理，得,解得 r27.9（m）.,答：趙州橋的主橋拱半徑約為27.9m.,2：趙州橋主橋拱的跨度(弧所對(duì)的弦的長(zhǎng))為37.4m, 拱高(弧的中點(diǎn)到弦的距離)為7.2m

6、，你能求出趙州橋 主橋拱的半徑嗎？（精確到0.1m）,ab=37.4,cd=7.2,r,18.7,r-7.2,2、如果圓的兩條弦互相平行，那么這兩條弦所夾的弧相等嗎？為什么？,有三種情況：1、圓心在平行弦外； 2、圓心在其中一條弦上； 3、圓心在平行弦內(nèi)。,運(yùn)用二：運(yùn)用垂徑定理進(jìn)行證明,圖中兩圓為同心圓,變式3：隱去（變式1）中的大圓，得右圖連接oa，ob，設(shè)oa=ob，ac、bd有什么關(guān)系？為什么？,變式4：隱去（變式1）中的小圓，得右圖，連接oc，od，設(shè)oc=od，ac、bd有什么關(guān)系？為什么？,變式1：ac與bd有什么關(guān)系？,變式2：acbd依然成立嗎,運(yùn)用二：運(yùn)用垂徑定理進(jìn)行證明,拓

7、展延伸：,1、在半徑為5的o中，弦abcd， 弦ab和cd的距離為4，若ab=8， 求cd的長(zhǎng)。,例2、已知o的直徑為10cm， o的兩條平行弦ab=8cm，cd=6cm，則ab、cd間的距離為_(kāi),例題選講,鏈接中考,7.（2007.江西）如圖，點(diǎn)a、b是o上兩點(diǎn)，ab=10，點(diǎn)p是 o上的動(dòng)點(diǎn)，（p與a，b不重合），連接ap、pb，過(guò)點(diǎn)o分別oeap于e，ofpb于f，則ef= 。,5,1、m為o內(nèi)的一點(diǎn),利用尺規(guī)作一條弦ab,使ab過(guò)點(diǎn)m.并且am=bm.,解：連接om,過(guò)m作abom， 交o于a，b兩點(diǎn).,a,b,運(yùn)用三、垂徑定理作圖,例題選講,3.如圖是一個(gè)圓形瓷片的殘片，你能找到它的

8、圓心嗎？（保留作圖痕跡）,思維拓展,某居民小區(qū)一處圓柱形的輸水管道破裂，維修 人員為更換管道，需確定管道圓形截面的半徑， 下圖是水平放置的破裂管道有水部分的截面 （1）請(qǐng)你補(bǔ)全這個(gè)輸水管道的圓形截面；,（2）若這個(gè)輸水管道有水部分的水面寬ab16 cm，水面最深地方的高度為4cm，求這個(gè)圓形截 面的半徑,雙基訓(xùn)練,2.已知ab=10cm,以ab為直徑作圓,那么在此 圓上到ab的距離等于5的點(diǎn)共有( ) a.無(wú)數(shù)個(gè) b.1個(gè) c.2個(gè) d.4個(gè),c,3.下列說(shuō)法中正確的個(gè)數(shù)是（ ） .直徑是弦 .半圓是弧 .平分弦的直徑垂直于弦 .圓是軸對(duì)稱圖形，對(duì)稱軸是直徑 a.1個(gè) b.2個(gè) c.3個(gè) d.

9、4個(gè),b,1.確定一個(gè)圓的條件是和,圓心,半徑,雙基訓(xùn)練,4. 如圖,將半徑為2cm的圓形紙片折疊后，圓弧恰好經(jīng)過(guò)圓心，則折痕ab的長(zhǎng)為( ) a.2cm b. cm c. cm d. cm,c,5.已知點(diǎn)p是半徑為5的o內(nèi)的一定點(diǎn)，且op=4，則過(guò)p點(diǎn)的所有弦中，弦長(zhǎng)可能取的整數(shù)值為（ ）,a.5，4，3 b.10，9，8，7，6，5，4，3 c.10，9，8，7，6 d.10，9，8,c,2如圖，在o中，ab、ac為互相垂直且相等的兩條弦，odab于d，oeac于e，求證四邊形adoe是正方形,證明：,四邊形adoe為矩形，,又ac=ab, ae=ad, 四邊形adoe為正方形.,在直徑是20cm的o中，ab的度數(shù)是60，那么弦ab的弦心距是_,挖掘潛力,某地有一座圓弧形拱橋圓心為，橋下水面寬度為、2 m ，過(guò)o 作oc ab 于d， 交圓弧于c，cd=2、4m， 現(xiàn)有一艘寬3m，船艙頂部為方形并高出水面（ab）2m的貨船要經(jīng)過(guò)拱橋，此貨船能否順利通過(guò)這座拱橋？,c,n,m,a,e,h,f,b,d,o,隨