兩個(gè)平面的位置關(guān)系

1、.三兩個(gè)平面的位置關(guān)系知識(shí)提要1. 空間兩個(gè)平面有相交(有一條公共直線)和平行(無(wú)公共點(diǎn))兩種位置關(guān)系2. (1)定義 如果兩個(gè)平面沒(méi)有公共點(diǎn)，則稱(chēng)這兩個(gè)平面互相平行(2)判定 如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行(3)性質(zhì) 如果兩個(gè)平行平面同時(shí)與第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行3. (1)定義 如果兩個(gè)平面相交，所成的二面角是直二面角，則稱(chēng)這兩個(gè)平面互相垂直(2)判定 如果一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一個(gè)平面的一條垂線，則這兩個(gè)平面互相垂直(3)性質(zhì) (1)如果兩個(gè)平面互相垂直，那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們交線的直線，垂直于另一個(gè)平面(2)如果兩個(gè)平面互相垂直，那么在一個(gè)平面

2、內(nèi)垂直于另一個(gè)平面的直線，也垂直于交線4. 二面角 平面內(nèi)一條直線把這個(gè)平面分成兩個(gè)部分，其中的每一部分都叫做半平面一條直線和由這條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角這條直線叫做二面角的棱，這兩個(gè)半平面叫做二面角的面5. 二面角的平面角 以二面角棱上的任意一點(diǎn)為端點(diǎn)，在兩個(gè)面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角，二面角的平面角是900時(shí)稱(chēng)直二面角。6. 作二面角的平面角有：定義法，三垂線(或其逆)定理法，垂面法把平面角放入相關(guān)三角形中求解課前練習(xí)1、是兩個(gè)不同的平面，m，n是平面及之外的兩條不同直線，給出四個(gè)論斷：mn，n，m以其中三個(gè)論斷作為條件，余下的一

3、個(gè)論斷作為結(jié)論，寫(xiě)出你認(rèn)為正確的一個(gè)命題，并證明它解析：m，n，mn（或mn，m，n）證明如下：過(guò)不在、內(nèi)的任一點(diǎn)P，作PMm，PNn，過(guò)PM、PN作平面r交于MQ，交于NQ，同理PNNQ因此MPNMQN = 180，故MQN = 90MPN = 90即m，n，mn 2自二面角內(nèi)一點(diǎn)分別向這個(gè)二面角的兩個(gè)面引垂線，求證：它們所成的角與這個(gè)二面角的平面角互補(bǔ)證明：如圖PQb，PQAB，PRa，PRAB，則AB面PQR經(jīng)PQR的平面交a、b于SR、SQ，那么ABSR，ABSQQSR就是二面角的平面角因四邊形SRPQ中，PQSPRS90，因此PQSR1803在60的二面角MaN內(nèi)有一點(diǎn)P，P到平面M

4、、平面N的距離分別為1和2，求P點(diǎn)到直線a的距離解析：本題涉及點(diǎn)到平面的距離，點(diǎn)到直線的距離，二面角的平面角等概念，圖中都沒(méi)有表示，按怎樣的順序先后作出相應(yīng)的圖形是解決本題的關(guān)鍵可以有不同的作法，下面僅以一個(gè)作法為例，說(shuō)明這些概念的特點(diǎn)，分別作PAM，A是垂足，PBN，B是垂足，先作了兩條垂線，找出P點(diǎn)到兩個(gè)平面的距離，其余概念要通過(guò)推理得出：于是PA、PB確定平面，設(shè)M=AC，N=BC，Ca由于PAM，則PAa，同理PBa，因此a平面，得aPC這樣，ACB是二面角的平面角，PC是P點(diǎn)到直線a的距離，下面只要在四邊形ACBP內(nèi)，利用平面幾何的知識(shí)在PAB中求出AB，再在ABC中利用正弦定理求外

5、接圓直徑2R，即為P點(diǎn)到直線a的距離，為4判定下列命題的真假（1）兩個(gè)平面垂直，過(guò)其中一個(gè)平面內(nèi)一點(diǎn)作與它們的交線垂直的直線，必垂直于另一個(gè)平面；（2）兩個(gè)平面垂直，分別在這兩個(gè)平面內(nèi)且互相垂直的兩直線，一定分別與另一平面垂直；（3）兩平面垂直，分別在這兩個(gè)平面內(nèi)的兩直線互相垂直。ABCDA1D1C1B1解析：（1）若該點(diǎn)在兩個(gè)平面的交線上，則命題是錯(cuò)誤的，如圖，正方體AC1中，平面AC平面AD1，平面AC平面AD1AD，在AD上取點(diǎn)A，連結(jié)AB1，則AB1AD，即過(guò)棱上一點(diǎn)A的直線AB1與棱垂直，但AB1與平面ABCD不垂直，其錯(cuò)誤的原因是AB1沒(méi)有保證在平面ADD1A1內(nèi)，可以看出：線在面

6、內(nèi)這一條件的重要性；（2）該命題注意了直線在平面內(nèi)，但不能保證這兩條直線都與棱垂直，如圖，在正方體AC1中，平面AD1平面AC，AD1平面ADD1A1，AB平面ABCD，且ABAD1，即AB與AD1相互垂直，但AD1與平面ABCD不垂直；（3）如圖,正方體AC1中，平面ADD1A1平面ABCD，AD1平面ADD1A1，AC平面ABCD，AD1與AC所成的角為600，即AD1與AC不垂直ABCDA1D1C1B1解：由上面的分析知，命題、都是假命題。 點(diǎn)評(píng):在利用兩個(gè)平面垂直的性質(zhì)定理時(shí)，要注意下列的三個(gè)條件缺一不可：兩個(gè)平面垂直；直線必須在其中一個(gè)面內(nèi)；直線必須垂直它們的交線。5設(shè)S為平面外的一

7、點(diǎn)，SA=SB=SC，若，求證：平面ASC平面ABC。解析：（1）把角的關(guān)系轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系（2）利用棱錐的性質(zhì)（三棱錐的側(cè)棱相等，則頂點(diǎn)在底面上的射影為底面三角形的外心）證明：設(shè)D為AB的中點(diǎn) 同理且即為且S在平面上的射影O為的外心 則O在斜邊AC的中點(diǎn)。平面ABC平面SAC平面ASC平面ABC教學(xué)過(guò)程一平面與平面的平行例 1 已知平面、，如果直線,求證：平面平面。證明：設(shè)，過(guò)O1作兩相交直線，設(shè)與確定的平面為，從而。同理。所以。例 2 已知平面平面，（1）若直線平面，判斷直線與平面的位置關(guān)系。（2）若直線平面，判斷直線與平面的位置關(guān)系。（3）給出的三個(gè)平面（與、不重合），試判斷平面、之間的位

8、置關(guān)系。解：（1）或。（2）。（3）或都相交。例 3 在正方體中，、分別為棱的中點(diǎn)，、分別為棱的中點(diǎn)。（1）求證：、共面；（2）證明：平面平面。證明：（1）EF/B1D1，B1D1/BD，EF/BD，E、F、B、D共面。（2）NE/A1B1，A1B1/AB，NE/AB，且NE=AB，ABEN是平行四邊形。AN/平面BEFD。同理：AM/平面BEFD。平面平面。二平面與平面的垂直例 4 已知平面平面，平面，求證：。證明：設(shè)在內(nèi)作。例 5 在三棱錐中，求證：平面SAB平面SAC。證明：作BDSA于D，DESC于E，連接BE，設(shè)SD=x,則SB=2x，又，又，所以，所以BDDE，又BDAS，從而B(niǎo)D

9、面SAC。所以平面SAB平面SAC。三二面角例 6 在三棱錐中，底面，垂直平分且分別交、于、，又，求以為棱，以、為面的二面角的大小。解：E為SC的中點(diǎn)，SB=BC，BESC，又DESC，SC平面BDE，BDSC，又BDSA，BD平面SAC，EDG為二面角E-BD-C的平面角。設(shè)SA=AB=1，則SB=BC=，SC=2，SCA=300，EDC=600，所以二面角E-BD-C的的大小為600。例7 在立體圖形PABCD中，底面ABCD是正方形，PA底面ABCD，PAAB，Q是PC中點(diǎn)AC，BD交于O點(diǎn)（）求二面角QBDC的大?。海ǎ┣蠖娼荁QDC的大小解析：（）解：連QO，則QOPA且QOPAA

10、B PA面ABCD QO面ABCD面QBD過(guò)QO， 面QBD面ABCD故二面角QBDC等于90（）解：過(guò)O作OHQD，垂足為H，連CH 面QBD面BCD，又 COBD，CO面QBD，CH在面QBD內(nèi)的射影是OH。 OHQD， CHQD，于是OHC是二面角的平面角設(shè)正方形ABCD邊長(zhǎng)2，則OQ1，OD，QD OHQDOQOD， OH又OC，在RtCOH中：tanOHC OHC60，故二面角BQDC等于60例8 河堤斜面與水平面所成角為60，堤面上有一條直道CD，它與堤腳的水平線AB的夾角為30，沿著這條直道從堤腳上行走到10米時(shí)，人升高了多少（精確到0.1米）？解析： 已知 所求河堤斜面與水平面

11、所成角為60 E到地面的距離利用E或G構(gòu)造棱上一點(diǎn)F 以EG為邊構(gòu)造三角形解：取CD上一點(diǎn)E，設(shè)CE10 m，過(guò)點(diǎn)E作直線AB所在的水平面的垂線EG，垂足為G，則線段EG的長(zhǎng)就是所求的高度在河堤斜面內(nèi)，作EFAB垂足為F，連接FG，由三垂線定理的逆定理，知FGAB因此，EFG就是河堤斜面與水平面ABG所成的二面角的平面角，EFG60由此得：EGEFsin60CE sin30sin60104.3（m）答：沿著直道向上行走到10米時(shí)，人升高了約4.3米例9 四棱錐P-ABCD的底面是邊長(zhǎng)為a的正方形，PB垂直面ABCD，證明無(wú)論四棱錐的高怎樣變化，面PAD與面PCD所成的二面角恒大于90解析：注意

12、到題目中所給的二面角，面PAD與面PCD的棱為PD，圍繞PD而考慮問(wèn)題解決途徑證法一：利用定義法經(jīng)A在PDA平面內(nèi)作AEPD于E，連CE因底是正方形，故CDDACEDAED，AEEC，CEDAED90，則CEPD故CEA是面PAD與面PCD所成二面角的平面角設(shè)AC與BD交于O，連EO，則EOAC，而AEADa所以面PAD與面PCD所成的二面角恒大于90證法二：運(yùn)用三垂線法PB面ABCD，則PBAD，又ADAB，AD面PAB，即面PAB面PAD過(guò)B作BEPA，則BE面PAD在面PBC內(nèi)作PGBC，連GD經(jīng)C作CF面PAD于F，那么連結(jié)EF，有EFAD經(jīng)F作FHPD于H，連CH，則FHC是所求二面角