輔助圓 (解題精講.doc

1、第二十五講 輔助圓 在處理平面幾何中的許多問題時，常需要借助于圓的性質(zhì)，問題才得以解決而我們需要的圓并不存在(有時題設(shè)中沒有涉及圓；有時雖然題設(shè)涉及圓，但是此圓并不是我們需要用的圓)，這就需要我們利用已知條件，借助圖形把需要的實際存在的圓找出來，添補(bǔ)輔助圓的常見方法 1利用圓的定義添補(bǔ)輔助圓； 2作三角形的外接圓； 3運(yùn)用四點共圓的判定方法：(1)若一個四邊形的一組對角互補(bǔ)，則它的四個頂點共圓 (2)同底同側(cè)張等角的三角形，各頂點共圓 (3)若四邊形ABCD的對角線相交于P，且PAPC=PBPD，則它的四個頂點共圓 (4)若四邊形ABCD的一組對邊AB、DC的延長線相交于P，且PAPBPCPD

2、，則它的四個頂點共圓【例題求解】一利用圓的定義添加輔助圓 【例1】 如圖，若PA=PB，APB=2ACB，AC與PB交于點P，且PB=4，PD=3，則ADDC等于( ) A6 B7 C12 D16 思路點撥 作出以P點為圓心、PA長為半徑的圓，為相交弦定理的應(yīng)用創(chuàng)設(shè)了條件注：到一個定點等距離的幾個點在同一個圓上，這是利用圓的定義添輔助圓的最基本方法變式練習(xí)：如圖，已知OA=OB=OC，且AOB=BOC，則ACB是BAC的( ) A倍 B是倍 C D 二作三角形的外接圓【例2】 如圖，在ABC中，AB=AC，任意延長CA到P，再延長AB到Q，使AP=BQ，求證：ABC的外心O與A，P，Q四點共圓

3、 思路點撥 先作出ABC的外心O，連PO、OQ，將問題轉(zhuǎn)化為證明角相等變式練習(xí)：5如圖，在等腰梯形ABCD中，ABCD，AB=998，CD=1001，AD=1999，點P在線段AD上，滿足條件的BPC=90的點P的個數(shù)為( ) A0 B1 C2 1 D不小于3的整數(shù) (全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽題)三四點共圓1若有一個四邊形對角互補(bǔ)，則四邊形的四個頂點四點共圓?！纠?】如圖；已知H是ABC三條高的交點，連結(jié)DF，DE，EF，求證：H是DEF的內(nèi)心變式練習(xí)：如圖，直線AB和AC與O分別相切于B、C，P為圓上一點，P到AB、AC的距離分別為4cm、6cm，那么P到BC的距離為 (全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽題)思路點撥

4、 連DF，EF，尋找PD、PE、PF之間的關(guān)系，證明PDFPFE，而發(fā)現(xiàn)P、D、B、F與P、E、C、F分別共圓，突破角是解題的關(guān)鍵注：圓具有豐富的性質(zhì)：(1)圓的對稱性；(2)等圓或同圓中不同名稱量的轉(zhuǎn)化； (3)與圓相關(guān)的角；(4)圓中比例線段適當(dāng)發(fā)現(xiàn)并添出輔助圓，就為圓的豐富性質(zhì)的運(yùn)用創(chuàng)造了條件，由于圖形的復(fù)雜性，有時在圖中并不需畫出圓，可謂“圖中無圓，心中有圓”2同底同側(cè)有相等頂角的三角形，則各頂點四點共圓（若能證明其兩頂角為直角，即可肯定這四個點共圓，且斜邊上兩點連線為該圓直徑。）【例4】如圖，在ABC中，高BE、CF相交于H，且BHC=135，G為ABC內(nèi)的一點，且GB=GC，BGC

5、3A，連結(jié)HG，求證：HG平分BHF思路點撥 經(jīng)計算可得A=45，ABE，BFH皆為等腰直角三角形，只需證GHB=GHF=22.5 由BGC=3A=135=GHC，得B、G、H、C四點共圓，運(yùn)用圓中角轉(zhuǎn)化靈活的特點證明注：許多直線形問題借助輔助圓，常能降低問題的難度，使問題獲得簡解、巧解或新解變式練習(xí)：已知等腰三角形ABC，AB=AC，AD垂直BC于D，DE垂直AC于E，F(xiàn)是DE中點，求證：AF垂直于BE。3把被證共圓的四點兩兩連成相交的兩條線段，若能證明它們各自被交點分成的兩線段之積相等，即可肯定這四點共圓； 【例5】如圖，P是O外一點，PA和PB是O的切線，A，B為切點，P O與AB交于點

6、M，過M任作O的弦CD求證：CPO=DPO4把被證共圓的四點兩兩連結(jié)并延長相交的兩線段，若能證明自交點至一線段兩個端點所成的兩線段之積等于自交點至另一線段兩端點所成的兩線段之積，即可肯定這四點也共圓【例6】如圖，P是O外一點，PA切O于A，PBC是O的割線，ADPO于D求證：思路點撥 因所證比例線段不是對應(yīng)邊，故不能通過判定PBD與PCD相似證明PA2=PDPO=PBPC，B、C、O、D共圓，這樣連OB，就得多對相似三角形，以此達(dá)到證明的目的注：四點共圓既是一類問題，又是平面幾何中一個重要的證明方法，它和證明三角形全等和相似三角形有著同等重要的地位，這是因為，某四點共圓，不但與這四點相聯(lián)系的條

7、件集中或轉(zhuǎn)移，而且可直接運(yùn)用圓的性質(zhì)為解題服務(wù)5五點共圓（7456）【例7】如圖，已知在凸四邊形ABCDE中，BAE=3，BC=CD=DE，且BCD=CDE=求證：BAC=CAD=DAK， (全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽題)課外訓(xùn)練A組1如圖，正方形ABCD的中心為O，面積為1989cm2，P為正方形內(nèi)一點，且OPB=45，PA：PB=5：14，則PB的長為 2如圖，在ABC中，AB=AC=2，BC邊上有100個不同的點Pl、P2，P100，記（i=1，2，100），則= 3設(shè)ABC三邊上的高分別為AD、BE、CF，且其垂心H不與任一頂點重合，則由點A、B、C、D、E、F、H中某四點可以確定的圓共有( )

8、 A3個 B4個 C5個 D6個 (2000年太原市競賽題)6如圖，AD、BE是銳角三角形的兩條高，SABC= 18，SDEC=2，則COSC等于( ) A3 B C D8如圖，已知ABC中，AH是高，AT是角平分線，且TDAB，TEAC求證：(1)AHD=AHE；(2) (陜西省競賽題) 1在凸四邊形ABCD的BC邊上取兩點E,F，E比F離B更近，如果BAE=CDFEAF=FDE證明：FAC=EDB2如圖在ABC中，AB=AC，D是BC邊上任意一點是C點關(guān)于直線AD的對稱點，B與AD交與P試問當(dāng)D在BC（除BC中點外）上運(yùn)動時，ADAP的值有何變化？請加以證明。3等邊ABC中，D，E分別是B

9、C,CA邊上的點，且BD=CE=CD.連接BE，CD交于P，證明：CP垂直AD。4如圖,NS是O的直徑，弦AB垂直NS于M，P為弧ANB上異于N的一點，PS交AB與R，PM的延長線交O與Q，求證：RSMQC組1如圖，已知點P是O外一點，PS、PT是O的兩條切線，過點P作O的割線PAB，交O A、B兩點，與ST交于點C求證： (國家理科實驗班招生試題)2已知BE,CF是銳角ABC的兩條高，求證：ABE的平分線，ACF的平分線與線段EF的中垂線相交于一點。3已知三角形ABC中，ABCACB，BD,CE是角平分線，求證：CEBD4 ABC中，M為AC的中點，BHAC于H，AP,CQ垂直于B的平分線，垂足為P,Q求證：M,H,P,Q四點共圓。參考答案例1 B 練習(xí)1 D例2 練習(xí)2 C例3練習(xí)3例4練習(xí)4例5例6例7課外練習(xí)A組：6.DB