函數(shù)的奇偶性

1、函數(shù)的奇偶性一、 知識要點1奇偶函數(shù)的定義(1)如果對于函數(shù)f(x)定義域內(nèi)任意一個x，都有 ，那么函數(shù)f(x)就叫做偶函數(shù)(2)如果對于函數(shù)f(x)定義域內(nèi)任意一個x，都有f(x)f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做 如果函數(shù)f(x)是奇函數(shù)或偶函數(shù)，那么我們就說函數(shù)f(x)具有 2具有奇偶性的函數(shù)的圖象特點一般地，奇函數(shù)的圖象關(guān)于 對稱，反過來，如果一個函數(shù)的圖象關(guān)于對稱，那么這個函數(shù)是奇函數(shù)；偶函數(shù)的圖象關(guān)于 對稱，反過來，如果一個函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，那么這個函數(shù)是 3函數(shù)奇偶性的判定方法(1)根據(jù)定義判定，首先看函數(shù)的定義域是否關(guān)于 對稱，若不對稱，則函數(shù)是 函數(shù)；若對稱，再判定f(x

2、)f(x)或f(x)f(x)有時判定f(x)f(x)比較困難，可考慮判定f(x) 或判定 (f(x)0)(2)性質(zhì)法判定在定義域的公共部分內(nèi)，兩奇函數(shù)之積(商)為偶函數(shù)；兩偶函數(shù)之積(商)也為偶函數(shù)；一奇一偶函數(shù)之積(商)為奇函數(shù)(注意取商時分母不為零)； 4.奇函數(shù)在關(guān)于原點對稱的兩個區(qū)間上有的單調(diào)性；偶函數(shù)在對稱的兩個區(qū)間上有的單調(diào)性f(x)為奇函數(shù)，且在原點有定義，則f(0)= 5周期函數(shù)定義對于函數(shù)f(x)，如果存在一個非零常數(shù)T，使得當x取定義域內(nèi)的每一個值時，都有 ，那么函數(shù)f(x)就叫做周期函數(shù)，T為函數(shù)的一個周期二、例題講解例1判斷下列函數(shù)的奇偶性：(1)f(x)； (2)f(

3、x)log2(x)；(3)f(x) (4)f(x).(5)f(x)變式 已知f(x)ax2bx是定義在a1,2a上的偶函數(shù)，那么ab的值是變式 已知函數(shù)，若是奇函數(shù)，則的值是 變式 設(shè)函數(shù)f(x)(x1)(xa)為偶函數(shù)，實數(shù)a的值 例2已知函數(shù)f(x)對一切x、yR，都有f(xy)f(x)f(y)(1)試判斷f(x)的奇偶性；(2)若f(3)a，用a表示f(12)例3已知函數(shù)f(x)x5ax3bx8，且f(2)10，求f(2)的值變式 若f(x)ax7bx5cx3dx8，f(5)15，求f(5)的值例4已知定義域為R的奇函數(shù)f(x),在x0時，f(x)=x2+x+1,求f(x)的解析式變式

4、設(shè)0時，求當0時，的表達式例5設(shè)定義在2,2上的偶函數(shù)f(x)在區(qū)間2,0上單調(diào)遞減，若f(1m)f(m)，求實數(shù)m的取值范圍變式 (009陜西)定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足：對任意的x1，x20，)(x1x2)，有0.則()Af(3)f(2)f(1) Bf(1)f(2)f(3) Cf(2)f(1)f(3) Df(3)f(1)f(2)例7(湖北高考)已知f(x)在R上是奇函數(shù)，且滿足f(x4)f(x)，當x(0,2)時，f(x)2x2，則f(7)等于()A2 B2 C98 D98變式 已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且滿足f(x1)f(x)3，當x0,1時，f(x)2x，則f(2005

5、.5)_.考題回放 1(2011安徽高考)設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當x0時，f(x)=2x2-x，則f(1)=( )()-3()-1()1()32(2011遼寧高考)若函數(shù)為奇函數(shù)，則a=( )3已知偶函數(shù)f(x)在區(qū)間0，+)上單調(diào)遞增，則滿足的x的取值范圍是( )4(2012年高考廣東卷文科4) 下列函數(shù)為偶函數(shù)的是( )A .y=sinx B. y= C. y= D. y=ln5(2012年高考天津卷文科6)下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)，又在區(qū)間（1,2）內(nèi)是增函數(shù)的為( )A.y=cos2x，xR B.y=log2|x|，xR且x0 C.y=，xR D.y=+1，xR6（2010年高

6、考山東卷文科5）設(shè)為定義在上的奇函數(shù)，當時，（為常數(shù)），則（ ）（A）-3 （B）-1 （C）1 (D)37(2011年高考安徽卷文科11)設(shè)是定義在R上的奇函數(shù)，當x0時，=，則 .8.(2012年高考重慶卷文科12)函數(shù) 為偶函數(shù)，則實數(shù) 9. (2012年高考浙江卷文科16) 設(shè)函數(shù)f（x）是定義在R上的周期為2的偶函數(shù)，當x0，1時，f（x）=x1，則=_。10.(2012年高考山東卷文科15)若函數(shù)在1，2上的最大值為4，最小值為m，且函數(shù)在上是增函數(shù)，則a.11.（2012年高考安徽卷文科13）若函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，則=_.三、課堂練習1(文)(2011濟南模擬)函數(shù)f(x)(x

7、R)是周期為3的奇函數(shù)，且f(1)a，則f(2011)的值為()Aa Ba C0 D2a2(2011蘭州診斷)已知是定義在R上的偶函數(shù)，并滿足，當1x2時，則()A4.5 B4.5 C0.5 D0.53已知函數(shù)f(x)是R上的偶函數(shù)，g(x)是R上的奇函數(shù)，且g(x)f(x1)，若g(1)2，則f(2012)的值為()A2 B0 C2 D24.若是偶函數(shù),是奇函數(shù),且,則 , .課后作業(yè)1判斷下列各函數(shù)的奇偶性：(1)f(x)(x1)；(2)f(x).2下列函數(shù)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的是()Af(x) Bf(x)Cf(x) Df(x)3下列說法錯誤的個數(shù)為()圖象關(guān)于原點對稱的函數(shù)是奇函數(shù)；圖象

8、關(guān)于y軸對稱的函數(shù)是偶函數(shù)；奇函數(shù)的圖象一定過原點；偶函數(shù)的圖象一定與y軸相交A4B3C2D04已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x2)f(x)，則f(6)的值為()A1 B0 C1 D25設(shè)f(x)是R上的奇函數(shù)，并且當x0，)時，f(x)x(1)，那么當x(，0)時，f(x)等于()Ax(1) Bx(1) Cx(1) Dx(1)6函數(shù)f(x)是定義域為實數(shù)集R的偶函數(shù)，它在區(qū)間0，)上是增函數(shù)，若f(m)f(2)，則實數(shù)m的取值范圍為_7(2009江西高考)已知函數(shù)f(x)是(，)上的偶函數(shù)，若對于x0，都有f(x2)f(x)，且當x0,2)時，f(x)log2(x1)，則f(2008)f(2009)的值為（ ）A2 B1 C1 D28(2009四川高考)已知函數(shù)f(x)是定義在實數(shù)集R上的不恒為零的偶函數(shù)，且對任意實數(shù)x都有xf(x1)(1x)f(x)，則f()的值是（