難點(diǎn)攻堅(jiān)!如何尋找二面角的平面角

1、尋找二面角的平面角的方法二面角是高中立體幾何中的一個(gè)重要內(nèi)容， 也是一個(gè)難點(diǎn) 對于二面角方面的問題， 學(xué)生往往無從下手， 他們并不是不會構(gòu)造三角形或解三角形，而是沒有掌握尋找二面角的平面角的方法我們試將尋找二面角的平面角的方法歸納為以下六種類型一、根據(jù)平面角的定義找出二面角的平面角例 1在 60 的二面角- a -的兩個(gè)面內(nèi)， 分別有 a 和 b 兩點(diǎn)已知 a 和 b 到棱的距離分別為 2 和 4，且線段 ab 10 ，試求：（ 1）直線 ab 與棱 a 所構(gòu)成的角的正弦值；（ 2）直線 ab 與平面 所構(gòu)成的角的正弦值分析：求解這道題，首先得找出二面角的平面角，也就是找出 60角在哪兒如果解

2、決了這個(gè)問題，這道題也就解決了一半根據(jù)題意，在平面 內(nèi)作 ad a ；在平面 內(nèi)作 be ，cd / eb ，連結(jié) bc 、 ac 可以證明 cd a ，則由二面角的平面角的定義，可知adc 為二面角- a -的平面角以下求解略二、根據(jù)三垂線定理找出二面角的平面角例 2如圖，在平面內(nèi)有一條直線 ac 與平面成 30 ， ac 與棱bd 成 45 ，求平面與平面的二面角的大小分析：找二面角的平面角， 可過 a 作 af bd ； ae 平 面 ， 連 結(jié) fe 由 三垂 線 定 理 可 證.bdef ，則afe 為二面角的平面角總結(jié)：（1）如果兩個(gè)平面相交， 有過一個(gè)平面內(nèi)的一點(diǎn)與另一個(gè)平面垂直

3、的垂線， 可過這一點(diǎn)向棱作垂線， 連結(jié)兩個(gè)垂足 應(yīng)用三垂線定理可證明兩個(gè)垂足的連線與棱垂直， 那么就可以找到二面角的平面角（2）在應(yīng)用三垂線定理尋找二面角的平面角時(shí)， 注意“作”“、連”、“證”，即“作 af bd ”、“連結(jié) ef ”、“證明 ef bd ”三、作二面角棱的垂面， 垂面與二面角的兩個(gè)面的兩條交線所構(gòu)成的角，即為二面角的平面角例 3 如圖 1，已知 p 為- cd -內(nèi)的一點(diǎn)， pa于 a 點(diǎn)，pb于 b 點(diǎn)，如果apb n ，試求二面角- cd - 的平面角圖 1圖 2分析： papacdcd平面 pab pbpbcd因此只要把平面 pab 與平面、 的交線畫出來即可 證明

4、aeb為 - cd - 的平面角，aeb180n （如圖 2）注意：這種類型的題， 如果過a 作 ae cd ，垂足為 e ，連結(jié) eb ，我們還必須證明ebcd ，及 aebp 為平面圖形，這樣做起來比較麻煩例 4已知斜三棱柱 abc - a1 b1c1 中，平面 ab1 與平面 ac1 構(gòu)成的二.面角的平面角為30 ，平面 ab1 與平面 bc1 構(gòu)成的二面角為70 試求平面 ac1 與平面 bc1 構(gòu)成的二面角的大小分析：作三棱柱的直截面，可得 def ，其三個(gè)內(nèi)角分別為斜三棱柱的三個(gè)側(cè)面兩兩構(gòu)成的二面角的平面角總結(jié)：對棱柱而言，其直截面與各個(gè)側(cè)棱的交點(diǎn)所形成的多邊形的各個(gè)內(nèi)角，分別為棱

5、柱相鄰側(cè)面構(gòu)成的二面角的平面角四、平移平面法例 5 如圖，正方體 abcd - a1b1c1 d1 中， e 為 aa1 的中點(diǎn)， h 為 cc1 上的點(diǎn)，且 ch ： c1h 1：2 設(shè)正方體的棱長為 a ，求平面 d1 eh 與底面 a1 b1c1d1 構(gòu)成的銳角的正切分析：本題中，僅僅知道二面角棱上的一點(diǎn)d1 ，在這種情況下，尋找二面角的平面角較困難根據(jù)平面平移不改變它與另一個(gè)平面構(gòu)成的角的大小的原理，如果能把二面角中的一個(gè)平面平移，找出輔助平面與另一個(gè)平面的交線，就可以作出二面角的平面角有了平面角之后，只需要進(jìn)行常規(guī)構(gòu)造三角形和解三角形的計(jì)算，就可以解決問題了如圖，過點(diǎn) e 作 em

6、/ a1 d1 與 d1d 相交于 m 點(diǎn)，過 m 點(diǎn)作 mnc1d1 ，與 d1h 相交于 n 點(diǎn)可證平面 emn / 平面 a1b1c1 d1 這樣，求平面 d1 eh與平面 a1b1c1 d1 的二面角的平面角就轉(zhuǎn)化為求平面d1eh 與平面 emn的二面角的平面角顯然en 為這兩個(gè)平面的交線，過點(diǎn)m 作mf en ， f 為垂足，連結(jié)d1 f ，可證 d1f en 則 d1fm 為本題要.尋找的二面角五、找垂面，作垂線例 6 如圖，正方體 abcd - a1 b1c1d1 中， m 為棱 ad 的中點(diǎn)，求平面 b1c1cb 和平面 bc1m 所構(gòu)成的銳二面角的正切分析：平面 ac 與二面

7、角 m - bc1 - c 的一個(gè)面 b c 垂直，與另一個(gè)平面 mbc11 相交，過 m 點(diǎn)作 mpbc ，垂足為 p ，過 p 作 pnbc ，交 bc1于 n 點(diǎn)，連結(jié) mn ，由三垂線定理可證mn bc1 ，則 mnp 為二面角 m - bc1 - c 的平面角總結(jié)：當(dāng)一個(gè)平面與二面角的一個(gè)平面垂直，與另一個(gè)平面相交時(shí)，往往過這個(gè)面上的一點(diǎn)作這兩個(gè)垂直平面交線的垂線，再過垂足作二面角棱的垂線根據(jù)三垂線定理即可證明，并找出二面角的平面角再如圖，要找- a -所構(gòu)成的二面角的平面角，可找平面，且b ，l ，過 b 上任何一點(diǎn)a 作 abl ，垂足為 b ，過 b 作bc，垂足為 c ，連結(jié)

8、 ac ，可證acb 為- a -的平面角六、根據(jù)特殊圖形的性質(zhì)找二面角的平面角1三線合一例 7如圖，空間四邊形abcd 中， abad3 ，bccd4 ， bd2 ， ac5 試求 a - bd - c 二面角的余弦值分析：如圖 1， abad ， bccd ，則 abd 和 bdc 為等腰三.角形過 a 作 ae bd ，垂足為 e ，連結(jié) ce 根據(jù)等腰三角形三線合一，且 e 為 bd 中點(diǎn)，可證 ce bd ，則 aec 為二面角 a - bd - c 的平面角2全等三角形例 8如圖，已知空間四邊形abcd，6，ab bcad dc4 ， bd 8 ， ac6 試求 a - bd -

9、c 的余弦值分析：過 a 作 aebd ，垂足為 e ，連結(jié) ce 根據(jù)已知條件，aed 和 ced 全等，可證 cebd ，則aec 為二面角 a - bd - c 的平面角3二面角的棱蛻化成一點(diǎn)例 9 如圖，四棱錐 a - bced 中，db 和 ec 與面 abc 垂直， abc為正三角形（ 1）若 bc ec bd 時(shí)，求面 ade 與面 abc 的夾角；（ 2）若 bc ec 2bd 時(shí)，求面 ade 與面 abc 的夾角分析：如圖，面 ade 與面 abc 的交線蛻化成一點(diǎn)，但面 ade 與面 abc 與面 dc 相交如果三個(gè)平面兩兩相交，它們可能有三種情況：（1）交線為一點(diǎn)；（2）一條交線；（3）三條交線互相平行在圖1 中，兩條交線 bc 與 de 互相平行，所以肯定有過a 且平行于 de 的一條交線可過 a 作 am / de ，平面 ade 與平面 abc 的交線即為 am 過 a 作ande 于 n ，過 a 作 afbc 于 f 可證 anam ，afam ，則naf.為面 ade 與面 abc 的夾角如圖， de 與 bc 不平行且相交 根據(jù)三個(gè)平面兩兩相交可能出現(xiàn)的三種情況，這三個(gè)面的交線為一點(diǎn) 延長 ed