五年級奧數(shù)題圖形的計(jì)數(shù)（A）

1、圖形的計(jì)數(shù)A3A1OA2A4A5A7A6A8A9A10A11A12一、填空題1如下左圖中一共有（ ）條線段.2. 如上右圖,O為三角形A1A6A12的邊A1A12上的一點(diǎn),分別連結(jié)OA2,OA3,OA11，這樣圖中共有_個三角形.ADCB3. 如下左圖中有_個三角形.BCDA4. 如上右圖中共有_個梯形.5. 數(shù)一數(shù)(1)一共有( )個長方形.(2)一共有( )個三角形. (1) (2)ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWYX6. 如下左圖中,所有正方形的個數(shù)是_.7. 在一塊畫有44方格網(wǎng)木板上釘上了25顆鐵釘(如上右圖),如果用線繩圍正方形,最多可以圍出_個.hhhhhhhhhh

2、hhhhhh8. 一塊相鄰的橫豎兩排距離都相等的釘板,上面有44個釘(如下左圖).以每個釘為頂點(diǎn),你能用皮筋套出正方形和長方形共_個.9. 如下左圖,方格紙上放了20枚棋子,以棋子為頂點(diǎn)的正方形共有_個.hhhhhhhhhhhhhhhhhhhh10. 數(shù)一數(shù), 如上右圖是由_個小立方體堆成的.要注意那些看不見的.二、解答題NMFEDCBAO11. 如下左圖中共有7層小三角形，求白色小三角形的個數(shù)與黑色小三角形的個數(shù)之比.7654321 12. 如上右圖中,AB、CD、EF、MN互相平行，則圖中梯形個數(shù)與三角形個數(shù)的差是多少？13現(xiàn)在都是由邊長為1厘米的紅色、白色兩種正方形分別組成邊長為2厘米、

3、4厘米、8厘米、9厘米的大小不同的正方形、它們的特點(diǎn)都是正方形的四邊的小正方形都是涂有紅顏色的小正方形，除此以外，都是涂有白色的小正方形，要組成這樣4個大小不同的正方形，總共需要紅色正方形多少個？白色正方形多少個？14將的每一邊4等分，過各分點(diǎn)作邊的平行線，在所得下圖中有多少個平行四邊形？答 案 1 30由例1注可知圖形中每邊有3+2+1=6（條）線段，因此整個圖形中共有65=30條線段.2. 37將 A1A6A12分解成以O(shè)A6為公共邊的兩個三角形. OA1A6中共有5+4+3+2+1=15(個)三角形, OA6A12中共有6+5+4+3+2+1=21(個)三角形,這樣,圖中共有15+21+

4、1=37(個)三角形. 3. 15這樣的問題應(yīng)該通過分類計(jì)數(shù)求解.此題中的三角形可先分成含頂點(diǎn)C的和不含頂點(diǎn)C的兩大類.含頂點(diǎn)C的又可分成另外兩頂點(diǎn)在線段AB上的和在線段BD上的兩小類.分類圖解如下:DCCBBAAADBDCB 所以原圖有 (3+2+1)+(3+2+1)+3 =15(個)三角形. 4. 18梯形一共有三行,每行都有3+2+1=6(個),所以一共有63=18(個)梯形.5. 108,36(1)因?yàn)殚L方形是由長和寬組成的,因此可分別考慮所有長方形的長和寬的可能種數(shù).按照前面所介紹的線段的計(jì)數(shù)方法可分別求出長和寬的線段條數(shù),將它們相乘就是所有長方形的個數(shù).因?yàn)锳B邊上有8+7+6+2

5、+1=36條線段，AD邊上有2+1=3條線段，所以圖中一共有363=108個長方形.(2)三角形一共有6行,每行都有3+2+1=6(個),所以一共有66=36(個)三角形.6. 30由例5注可知整個圖形中共有12+22+32+42=30個正方形.7. 50此類問題一般用分類方法計(jì)數(shù).對正方形的邊長分八類計(jì)數(shù)如下:邊長為AB的正方形有16個；邊長為AC的正方形有9個；邊長為AD的正方形有4個；邊長為AE的正方形有1個；邊長為DF的正方形有9個；邊長為CF的正方形有8個；邊長為BF的正方形有2個；邊長為CG的正方形有1個.所以,最多可圍出50個正方形.8. 44因?yàn)檎叫问翘厥獾拈L方形,所以可以把

6、正方形看成長方形,這樣就不必分別求正方形和長方形的個數(shù),仍用分類計(jì)數(shù)的方法求解.先考慮有一組對邊平行于BC的長方形有多少個.這一類按其水平邊的位置可分為6小類,即位置在BF、FE、EC、FC、BE、BC.同樣,其豎直邊也分為6類.所以這一類有66=36個長方形.ABCDEF 另一類是沒有邊平行于BC的.這一類又分類兩小類,分解圖如下頁圖所示,其中分別有6個和2個長方形.hhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhh所以，一共可套出正方形和長方形36+6+2=44個.9 21以正方形的面積大小分類計(jì)數(shù).設(shè)相鄰兩點(diǎn)的距離為1，則正方形面積為1的有9個；面積為2的有4個；面積為5的

7、有2個；面積為8的有4個；面積為13的有2個；所以，共有9+4+2+4+2=21個正方形.10 30將原立體圖形從左至右分類計(jì)算，共有11+7+5+7=30個.11. 白色小三角形個數(shù)=1+2+3+6=21，黑色小三角形個數(shù)=1+2+3+7=28，所以它們的比=.12. 解法一本圖中三角形的個數(shù)為(1+2+3+4)4=40(個).下面求梯形的個數(shù).梯形由兩底唯一確定.首先在AB,CD,EF,MN中,考慮兩底所在的線段,共有(43)2=6(種)選法；對上述四條線段中確定的兩條線段，共有10（10=4+3+2+1）個梯形.共60個梯形.故所求差為20.解法二在圖 中可數(shù)出4個三角形,6個梯形,梯形

8、比三角圖形圖形多2個.而在題圖中,這種恰有10個.故題圖中,梯形個數(shù)與三角形的個數(shù)之差為210=20(個).13. 邊長2厘米的正方形:22=4(個) 紅色邊長4厘米的正方形(4-1)4=12(個) 紅色(4-2)(4-2)=4(個) 白色邊長8厘米的正方形(8-1)4=28(個) 紅色(8-2)(8-2)=36(個) 白色邊長9厘米的正方形(9-1)4=32(個) 紅色 (9-2)(9-2)=49(個) 白色 所以,紅色小正方形共有4+12+28+32=76(個)白色小正方形共有4+36+49=89(個)注本題的要求是由邊長為1厘米的紅色和白色兩種正方形,分別組成邊長是2厘米,4厘米,8厘米

9、,9厘米的大小不同的正方形,可以看作方陣問題來解.四周的小正方形是涂紅色的,可看成是空心方陣,因此,涂紅色正方形的個數(shù)等于4(n-1).其他小正方形是涂白色的，可當(dāng)作實(shí)心方陣，所以，涂白色的正方形的個數(shù)等于(n-2)(n-2).比如,由邊長為1厘米的正方形組成邊長為9厘米的正方形,涂紅色的小正方形的個數(shù)是:4(9-1)=32(個),涂白色的小正方形的個數(shù)是:(9-2)(9-2)=49(個).14. 將平行四邊形分為三類:尖角在上、下方；尖角在左下、右上方；尖角在左上、右下方.就第類而言: 型6個； 型3個，與其對稱的3個； 型1個，與其對稱的1個； 型1個；共15個.同理,第、類也分別含15個，故上述三類平行四邊形共45個.注這樣數(shù)平行四邊行,很麻煩,又易出錯.我們試圖找到一種對應(yīng)關(guān)系:先考慮任一邊不與BC平行的平行四邊形,延長各邊必與BC有4個交點(diǎn),特殊情況下,第二個交點(diǎn)與第三個交點(diǎn)重合；反過來，BC