正弦定理、余弦定理在生活中的應(yīng)用

1、正弦定理、余弦定理在生活中的應(yīng)用正弦定理、余弦定理是解三角形得重要工具，解三角形在經(jīng)濟(jì)生活和工程測(cè)量中的重要應(yīng)用，使高考考查的熱點(diǎn)和重點(diǎn)之一，本文將正弦定理、余弦定理在生活中的應(yīng)用作以簡(jiǎn)單介紹，供同學(xué)們學(xué)習(xí)時(shí)參考.一、在不可到達(dá)物體高度測(cè)量中的應(yīng)用例1 如圖，在河的對(duì)岸有一電線鐵塔AB，某人在測(cè)量河對(duì)岸的塔高時(shí)，選與塔底在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)測(cè)量點(diǎn)與，現(xiàn)測(cè)得，并在點(diǎn)測(cè)得塔頂?shù)难鼋菫?，求塔高分析：本題是一個(gè)高度測(cè)量問(wèn)題，在BCD中，先求出，用正弦定理求出BC，再在中求出塔高AB.解析：在中，=由正弦定理得=所以=在中，=.點(diǎn)評(píng)：對(duì)不可到達(dá)的物體的高度測(cè)量問(wèn)題，可先在與物體底部在同一平面內(nèi)找兩點(diǎn)，測(cè)

2、出這兩點(diǎn)間的距離，再測(cè)出這兩點(diǎn)分別與物體底部所在點(diǎn)連線和這兩點(diǎn)連線所成的角，利用正弦定理或余弦定理求出其中一點(diǎn)到物體底部的距離，在這一點(diǎn)測(cè)得物體頂部的仰角，通過(guò)解直角三角形，求得物體的高.二、在測(cè)量不可到達(dá)的兩點(diǎn)間距離中的應(yīng)用例2某工程隊(duì)在修筑公路時(shí)，遇到一個(gè)小山包，需要打一條隧道，設(shè)山兩側(cè)隧道口分別為A、B，為了測(cè)得隧道的長(zhǎng)度，在小山的一側(cè)選取相距km的C、D兩點(diǎn)高，測(cè)得ACB=750， BCD=450，ADC=300，ADC=450（A、B、C、D），試求隧道的長(zhǎng)度.分析：根據(jù)題意作出平面示意圖，在四邊形ABCD中，需要由已知條件求出AB的長(zhǎng)，由圖可知，在ACD和BCD中，利用正弦定理可求

3、得AC與BC，然后再在ABC中，由余弦定理求出AB.解析：在ACD中，ADC=300，ACD=1200，CAD=300，AC=CD=.在BCD中，CBD=1800-450-750=600由正弦定理可得，BC=在ABC中，由余弦定理，可得，=5AB=2.236km,即隧道長(zhǎng)為2.236km.點(diǎn)評(píng)：本題涉及到解多個(gè)三角形問(wèn)題，注意優(yōu)化解題過(guò)程.如為求AB的長(zhǎng)，可以在ABD中，應(yīng)用余弦定理求解，但必須先求出AD與BD長(zhǎng)，但求AD不如求AC容易，另外。實(shí)際問(wèn)題應(yīng)求出近似值.三、在航行中的應(yīng)用例3在海岸A處 ，發(fā)現(xiàn)北偏東450方向，距A處海里B處有一艘走私船，在A處北偏西750方向，距A處2海里的C處的

4、緝私船奉命以海里/小時(shí)的速度追截走私船，此時(shí)走私船正以10海里/小時(shí)的速度從B處向北偏東方向航行，問(wèn)緝私船沿什么方向能最快追上走私船，并求出所需時(shí)間.分析：根據(jù)題意作出平面示意圖，設(shè)在D處追上走私船，由圖知，要求追截方向和時(shí)間即求DCB及CD長(zhǎng)度，先用余弦定理求BC及CBA，從而求出ABD，列出關(guān)于追截時(shí)間的方程，求出時(shí)間，再用余弦定理求出DCB.解析：設(shè)在D處追上走私船，所需時(shí)間為小時(shí)，則CD=，BD=在中，=，AB=，BC=2，由余弦定理得 =6，=又0CBA，則CBA=450，則BC為正東西方向，在中，由余弦定理得，即，解得，或（舍），BD=，CD=，BD=BC，故緝私船沿東偏北300方向追截，所需時(shí)間為小時(shí).點(diǎn)評(píng)：處理航行問(wèn)題，一要理解方向角、方位角等概念，二要根據(jù)題意畫出示意圖，根據(jù)圖將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角形邊或角的計(jì)算問(wèn)題，利用正余弦定理計(jì)算之.在利用正余弦定理解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，一要熟悉仰角