概率論與數(shù)理統(tǒng)計 第五章 二維隨機變量及其分布課件

1、概率論與數(shù)理統(tǒng)計 第五章 二維隨機變量及其分布,第五章二維隨機變量及其分布,第一節(jié)二維隨機變量及其分布函數(shù) 第二節(jié)二維離散型隨機變量 第三節(jié)二維連續(xù)型隨機變量 第四節(jié)邊緣分布 第五節(jié)隨機變量的獨立性,概率論與數(shù)理統(tǒng)計 第五章 二維隨機變量及其分布,第一節(jié)二維隨機變量及其分布函數(shù),一、二維隨機變量 如果由兩個變量所組成的有序數(shù)組（），它的取值是隨著試驗結(jié)果而確定的，則稱（）為二維隨機變量，稱（）的取值規(guī)律為二維分布。,二維隨機變量的分布函數(shù),概率論與數(shù)理統(tǒng)計 第五章 二維隨機變量及其分布,二、二維隨機變量的分布函數(shù) 設(shè)()是二維隨機變量，()R2, 則稱F(x,y)=Px,y為()的分布函數(shù)，或

2、與的聯(lián)合分布函數(shù)。,分布函數(shù)的性質(zhì),概率論與數(shù)理統(tǒng)計 第五章 二維隨機變量及其分布,三、分布函數(shù)的性質(zhì) （1）對于任意x,y R，有0F(x,y)1。 （2）F(x,y)關(guān)于x（或y）單調(diào)不減。 （3）F(x,y)關(guān)于x（或y）右連續(xù)。 （4）F(-,-)0，F(xiàn)(+,+)1 F(-,y)0，F(xiàn)(x,-)0 （5）對于任意x1x2，y1y2有P(x1x2,y1y2) =F(x2,y2)- F(x2,y1)- F(x1,y2)+ F(x1,y1),例題1,概率論與數(shù)理統(tǒng)計 第五章 二維隨機變量及其分布,例題1 設(shè)()的聯(lián)合分布函數(shù)為F(x,y)=A(B+arctanx)(C+arctany)，其中

3、x,yR。求常數(shù)A，B，C。 解：,back,概率論與數(shù)理統(tǒng)計 第五章 二維隨機變量及其分布,第二節(jié)二維離散型隨機變量,二維離散型隨機變量 如果二維隨機變量()所有可能取的數(shù)組是有限或可列的，并且以確定的概率取各個不同的數(shù)組，則稱()為二元離散型隨機變量。,()分布律,概率論與數(shù)理統(tǒng)計 第五章 二維隨機變量及其分布,()的聯(lián)合分布律,概率論與數(shù)理統(tǒng)計 第五章 二維隨機變量及其分布,設(shè)()的所有可能取值為(xi,yj)，其中i,j=1,2,稱 為()的聯(lián)合概率分布，也簡稱概率分布。 （1）0Pij1 （2）ij Pij=1,例題2,概率論與數(shù)理統(tǒng)計 第五章 二維隨機變量及其分布,例題2 一口袋中

4、有三個球，它們依次標有數(shù)字1,2,2。從這袋中任取一球后，不放回袋中，再從袋中任取一球。設(shè)每次取球時，袋中各球被取到的可能性相同。以,分別記第一次和第二次取得的球上標有的數(shù)字。 求（1）(,)的分布律 （2）P() 解: (1),back,P(=1,=1)=,P(=1,=2)=,P(=1)P(=1|=1)=0,P(=1)P(=2|=1)=1/3 。,概率論與數(shù)理統(tǒng)計 第五章 二維隨機變量及其分布,例題2 一口袋中有三個球，它們依次標有數(shù)字1,2,2。從這袋中任取一球后，不放回袋中，再從袋中任取一球。設(shè)每次取球時，袋中各球被取到的可能性相同。以,分別記第一次和第二次取得的球上標有的數(shù)字。 求（1

5、）(,)的分布律 （2）P() 解: (2),back,P(),=P(=1,=1)+P(=2,=1)+ P(=2,=2) =2/3,概率論與數(shù)理統(tǒng)計 第五章 二維隨機變量及其分布,第三節(jié)二維連續(xù)型隨機變量,一、二維連續(xù)型隨機變量 設(shè)()的分布函數(shù)為F(x ,y),若存在非負可積函數(shù)f(x,y)，使得對于任意實數(shù) x,y 有 則稱()為二維連續(xù)型隨機變量，f(x,y) 為()的聯(lián)合概率密度函數(shù)（聯(lián)合密度函數(shù)) 。,聯(lián)合密度函數(shù)性質(zhì),概率論與數(shù)理統(tǒng)計 第五章 二維隨機變量及其分布,二、聯(lián)合密度函數(shù)性質(zhì),例題3,概率論與數(shù)理統(tǒng)計 第五章 二維隨機變量及其分布,例題3 1.設(shè)()的聯(lián)合概率密度為 求（

6、1）常數(shù)C （2）P() 解：（1）,例題3續(xù),C=8,概率論與數(shù)理統(tǒng)計 第五章 二維隨機變量及其分布,例題3 1.設(shè)()的聯(lián)合概率密度為 求（1）常數(shù)C （2）P() 解：（2）,例題3續(xù),概率論與數(shù)理統(tǒng)計 第五章 二維隨機變量及其分布,例題3續(xù) 2.設(shè)(，)的聯(lián)合概率密度為 求（1）常數(shù)k 解（1）,概率論與數(shù)理統(tǒng)計 第五章 二維隨機變量及其分布,(2),概率論與數(shù)理統(tǒng)計 第五章 二維隨機變量及其分布,（3）F(x,y)=P(x,y),概率論與數(shù)理統(tǒng)計 第五章 二維隨機變量及其分布,概率論與數(shù)理統(tǒng)計 第五章 二維隨機變量及其分布,三、常見二維連續(xù)型隨機變量分布 1.二維均勻分布 如果()的

7、聯(lián)合概率密度為 其中G是平面上某個區(qū)域，則稱()U(G)。,二維正態(tài)分布,概率論與數(shù)理統(tǒng)計 第五章 二維隨機變量及其分布,2.二維正態(tài)分布 如果()的聯(lián)合概率密度為 則稱() N(1,12;2,22; )，其中1,20，-1 1。,例題4,概率論與數(shù)理統(tǒng)計 第五章 二維隨機變量及其分布,例題4 ()U(G)，G=0yx，0 x 1 求（1）f( x, y ) （2）P(2 ) （3）() 在平面上的落點到y(tǒng) 軸距離小于0.3的概率。 解：（1）,back,概率論與數(shù)理統(tǒng)計 第五章 二維隨機變量及其分布,例題4 ()U(G)，G=0yx，0 x 1 求（1）f( x, y ) （2）P(2 )

8、（3）() 在平面上的落點到y(tǒng) 軸距離小于0.3的概率。 解：（2）,back,概率論與數(shù)理統(tǒng)計 第五章 二維隨機變量及其分布,例題4 ()U(G)，G=0yx，0 x 1 求（1）f( x, y ) （2）P(2 ) （3）() 在平面上的落點到y(tǒng) 軸距離小于0.3的概率。 解：（3）,back,概率論與數(shù)理統(tǒng)計 第五章 二維隨機變量及其分布,第四節(jié)邊緣分布,一、邊緣分布函數(shù) 設(shè)F(x,y)為()的聯(lián)合分布函數(shù)， 關(guān)于的邊緣分布函數(shù) P(x)=P(x,+)=F(x),其中xR 關(guān)于的邊緣分布函數(shù) P(y)=P(+,y)=F(y),其中yR,例題5,概率論與數(shù)理統(tǒng)計 第五章 二維隨機變量及其分

9、布,例題5 設(shè)()的聯(lián)合分布函數(shù)為 求F(x)和F(y)。 解：,邊緣分布律,概率論與數(shù)理統(tǒng)計 第五章 二維隨機變量及其分布,二、（離散型）邊緣分布律 設(shè)()的聯(lián)合分布律為P(=xi,=yj)=Pij（i,j=1,2,） 關(guān)于的邊緣分布律 P(=xi)= P(=xi,+)=jPij =Pi. 關(guān)于的邊緣分布律 P(=yj)= P(+,=yj)=iPij =P.j,例題6,概率論與數(shù)理統(tǒng)計 第五章 二維隨機變量及其分布,例題6 箱子裝有10件產(chǎn)品，其中2件為次品。每次從中任取一件產(chǎn)品（不放回），共取2次。 求（1）()的聯(lián)合分布律 （2）關(guān)于的邊緣分布律 解： （1）,概率論與數(shù)理統(tǒng)計 第五章

10、二維隨機變量及其分布,例題6 箱子裝有10件產(chǎn)品，其中2件為次品。每次從中任取一件產(chǎn)品（不放回），共取2次。 求（1）()的聯(lián)合分布律 （2）關(guān)于的邊緣分布律 解: (2),邊緣密度函數(shù),8/10,2/10,概率論與數(shù)理統(tǒng)計 第五章 二維隨機變量及其分布,三、（連續(xù)型）邊緣密度函數(shù) 設(shè)()的聯(lián)合概率密度為f(x,y)， 關(guān)于的邊緣分布函數(shù) 關(guān)于的邊緣密度函數(shù),例題7,概率論與數(shù)理統(tǒng)計 第五章 二維隨機變量及其分布,例題7 1.()U(G) ，G0x1,|y|x, 求（1）f(x,y) （2）f(x) （3）f(y) 解：（1）,back,概率論與數(shù)理統(tǒng)計 第五章 二維隨機變量及其分布,例題7

11、1.()U(G) ，G0x1,|y|x, 求（1）f(x,y) （2）f(x) （3）f(y) 解：（2）,back,概率論與數(shù)理統(tǒng)計 第五章 二維隨機變量及其分布,例題7 1.()U(G) ，G0x1,|y|x, 求（1）f(x,y) （2）f(x) （3）f(y) 解：（3）,back,概率論與數(shù)理統(tǒng)計 第五章 二維隨機變量及其分布,例題7 2. () N(1,2,12,22; )， 則（1）f(x) N(1,12) （2）f(y） N(2,22) 解：略,back,概率論與數(shù)理統(tǒng)計 第五章 二維隨機變量及其分布,一、隨機變量的獨立性（二維） r.v.，如果對于任意的x和y， P(x,y)

12、=P(x）P（y)，即， F(x,y)=F(x)F(y)，則稱和獨立。 離散型：和獨立Pij=Pi Pj(i,j=1,) 連續(xù)型：和獨立f(x,y)= f(x)f(y),例題8,第五節(jié)隨機變量的獨立性,概率論與數(shù)理統(tǒng)計 第五章 二維隨機變量及其分布,例題8 1.（）的聯(lián)合分布律 證明與獨立。 證明：,因為Pij=Pi.*P.j，所以與獨立,概率論與數(shù)理統(tǒng)計 第五章 二維隨機變量及其分布,例題8續(xù) 2.（）的聯(lián)合分布函數(shù)為 證明與獨立。 證明：,例題8續(xù),所以與獨立,概率論與數(shù)理統(tǒng)計 第五章 二維隨機變量及其分布,3.（）的聯(lián)合概率密度函數(shù)為 試判斷與是否獨立。 解：,所以與獨立,概率論與數(shù)理統(tǒng)計 第五章 二維隨機變量及其分布,二、隨機變量的獨立性（n維） 1.(1 ,n )的聯(lián)合分布函數(shù)F(x1,xn)=P(1 x1 ,n xn)。 2.i的邊緣分布函數(shù)Fi(xi)=P(i xi)。 3.若F(x1,xn) F1(x1) Fn(xn)，則1 ,n