導(dǎo)數(shù)在中學(xué)數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

1、.導(dǎo)數(shù)在中學(xué)數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用摘 要導(dǎo)數(shù)不僅是中學(xué)教材中必不可少的一部分，也是歷年高考的考點。導(dǎo)數(shù)在中學(xué)數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用是十分廣泛的，它包含了導(dǎo)數(shù)對不等式的證明、求曲線在某一點的切線斜率、分析函數(shù)的圖像、極值與最優(yōu)化、函數(shù)單調(diào)性等方面的應(yīng)用。應(yīng)用導(dǎo)數(shù)知識解決中學(xué)數(shù)學(xué)問題不僅可以鍛煉學(xué)生的思維，同時也簡化了解題的難度，因此對導(dǎo)數(shù)知識進(jìn)行整理是十分有必要的。本文對導(dǎo)數(shù)在中學(xué)數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用進(jìn)行了歸納整理，同時也對導(dǎo)數(shù)應(yīng)用中需要注意的幾點事項做出了標(biāo)注，分析了導(dǎo)數(shù)應(yīng)用中的易錯點。從而為初學(xué)者查詢導(dǎo)數(shù)相關(guān)知識提供了資料。關(guān)鍵詞： 導(dǎo)數(shù) 中學(xué)數(shù)學(xué) 應(yīng)用 ABSTRACTDerivative is not

2、only an essential part of the middle school textbooks, but also the college entrance examination over the years. The application of derivative in high school in mathematics is very extensive, it contains a proof, derivative of inequality in the analysis of the demand curve, tangent at a point in the

3、 application of function optimization, image, extremum and monotony of function etc. The application of derivative knowledge to solve mathematical problems in middle school can not only train the students thinking, but also simplify the difficulty of solving the problem. This paper summarizes the ap

4、plication of derivative in the middle school in mathematics, but also on some matters needing attention in the application of derivative made annotation, analyzes the application of derivative in error prone points. So as to provide useful information for beginners to query derivative knowledge. Key

5、words: Derivatives；Middle school mathematics；application 1.緒論導(dǎo)數(shù)是微積分中一個重要的核心內(nèi)容，導(dǎo)數(shù)的推廣已經(jīng)十分廣泛，大多數(shù)的國家已經(jīng)將導(dǎo)數(shù)列入到了中學(xué)教材中。在我國，導(dǎo)數(shù)也是歷年高考常常出現(xiàn)的考點。導(dǎo)數(shù)是解決許多數(shù)學(xué)問題的有力工具，利用導(dǎo)數(shù)知識可以解決中學(xué)的很多數(shù)學(xué)問題?？梢越鉀Q中學(xué)數(shù)學(xué)中計算曲線在某一點的切線斜率、分析函數(shù)的性質(zhì)與圖像、求解方程的根、證明不等式、判斷函數(shù)的單調(diào)性、求解最值的最優(yōu)化問題等。2導(dǎo)數(shù)在中學(xué)數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用2.1導(dǎo)數(shù)在計算曲線在某一點的切線斜率中的應(yīng)用在計算曲線在某一點的切線斜率的問題時，主要就是利用到導(dǎo)

6、數(shù)的幾何意義：在某一點的導(dǎo)數(shù)就是曲線在處切線的斜率。例2.1已知曲線L：，求經(jīng)過點的曲線L的切線方程。分析：主要是計算出曲線L在P點處的斜率K，又因為點，此時便可根據(jù)點斜式能夠計算出過點P的曲線L的切線方程了。解：由題意可知：曲線L： 過點P的斜率K為：曲線L過P點的切線方程為：化簡得：點評：本題在計算曲線L的切線方程時，主要考查的對象是導(dǎo)數(shù)的幾何意義。例2.2在上求一點P，使P到直線的距離最短。 2分析：本題的解法有多種，它可以利用初等解法，也可以利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義進(jìn)行計算。下面我將用不同的解法進(jìn)行作答，進(jìn)行對比。便可以充分的體現(xiàn)出導(dǎo)數(shù)解題時的便利性。解法1：平移直線，使其與曲線相切，可知P

7、點即為所求。設(shè)切線，代入曲線方程，得： （1）又因為直線與曲線相切，解得：（1）式為故切點為解法2：設(shè)點則點P到直線的距離為：由上式可知，當(dāng)時取得最小值故點P為解法3：由題可知，點P必為平行于直線的直線與拋物線的切點。因此過P點的切線必定平行于直線由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，在P點的數(shù)值為1又設(shè)則，故點評：利用不同的解法，我們可以清楚地認(rèn)識到利用導(dǎo)數(shù)工具進(jìn)行求解的簡潔性與便利性，掌握導(dǎo)數(shù)這一工具，可以提高我們解題的效率。本題在導(dǎo)數(shù)方面主要運用的是導(dǎo)數(shù)求解曲線的斜率的知識，即利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義進(jìn)行求解。2.2導(dǎo)數(shù)在分析函數(shù)的性質(zhì)與圖像中的運用在利用導(dǎo)數(shù)分析圖像時應(yīng)著重注意其切線變化的大小關(guān)系。理清導(dǎo)數(shù)

8、與函數(shù)圖像之間的關(guān)系。倒數(shù)圖像與函數(shù)的圖像有者密不可分的聯(lián)系，下面我將用3個例題來簡單講解他們之間的關(guān)系。2.2.1已知函數(shù)圖像，畫出其導(dǎo)函數(shù)的圖像y0圖2.1 函數(shù)圖像yx0圖2.2 函數(shù)圖像例2.3已知函數(shù)的圖像如圖2.1、圖2.2所示，請畫出其導(dǎo)函數(shù)圖像的大致情況 3分析：根據(jù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)圖像之間的關(guān)系，在已知函數(shù)圖像的情況下要求其導(dǎo)函數(shù)的圖像，我們就只需判斷出其函數(shù)圖像在其各個切點的斜率的變化情況，便可以得出其導(dǎo)函數(shù)圖像的大致情況。解：圖2.1的的曲線上的切點的斜率變化是越來越大，當(dāng)時，斜率大于0；當(dāng)時，斜率等于0；當(dāng)時，斜率小于0.其圖2.1的導(dǎo)函數(shù)圖像如圖2.3所示。圖2.2的的曲線

9、上的切點的斜率變化是各切點每處都不小于0，當(dāng)時斜率越來越大；當(dāng)時，斜率等于0；當(dāng)時斜率越來越小。其圖2.2的導(dǎo)函數(shù)圖像如圖2.4所示。yx0圖2.3 導(dǎo)函數(shù)圖像yx0圖2.4 導(dǎo)函數(shù)圖像點評：此類題目在解題時主要應(yīng)用的是導(dǎo)數(shù)與函數(shù)圖像之間的關(guān)系以及利用到導(dǎo)數(shù)的幾何意義，在解決此類問題時要緊緊抓住切線的斜率的大小變化的情況。2.2.2已知導(dǎo)函數(shù)圖像，畫出其原函數(shù)的圖像例2.4已知函數(shù)的圖像如圖2.5所示，下面4個圖像中能大致表示的圖像是（） 3-101圖2.5 導(dǎo)函數(shù)圖像圖2.5-2 選擇原函數(shù)圖0-123A0-112B0-2-11C0-112D分析：根據(jù)的符號變化，可以得到的符號變化。因此而得

10、到其的單調(diào)性的變化，便能夠以此來畫出其原函數(shù)的大致圖像。解：由圖2.5可知，當(dāng)時，則，原函數(shù)為增函數(shù)，圖像上升；當(dāng)時，則，原函數(shù)為減函數(shù)，圖像下降；當(dāng)時，則，原函數(shù)為減函數(shù)，圖像下降；當(dāng)時，則，原函數(shù)為增函數(shù)，圖像上升。綜上所述，只有C選項滿足上述條件，故選C。點評：本題解題時所用方法與例2.3相同，但例2.3與例2.4是兩個完全相反的問題，在做此類題目時要注意題目要求，分清兩個題目類型之間的區(qū)別。2.2.3已知導(dǎo)函數(shù)圖像，求解原函數(shù)例2.5已知函數(shù)在點處取得極大值5，其導(dǎo)函數(shù)的圖像經(jīng)過點，如圖2.6所示，求：（1）的值；（2）函數(shù)的解析式。 3012圖2.6 導(dǎo)函數(shù)圖像分析：首先根據(jù)圖像信息

11、，判斷出其極大值點即的值。再利用題干信息，找出三個已知點，再分別代入其相應(yīng)的函數(shù)式中，解出待定系數(shù)，從而得到函數(shù)的解析式。解：（1）由圖像可知，當(dāng)時，在上遞增；當(dāng)時，在上遞減；當(dāng)時，在上遞增。因此在處取得極大值。（2）由題意可知：又 解得故函數(shù)的解析式為點評：本題主要利用的是導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合圖像信息來進(jìn)行解題的。在利用導(dǎo)數(shù)解題時，我們不僅要找尋題干中蘊含的信息，同時也不能忽視圖像中所包含的信息。2.3導(dǎo)數(shù)在求解方程的根中的應(yīng)用利用導(dǎo)數(shù)求解方程的根可以分為以下幾個方面:1.利用導(dǎo)數(shù)解決根的唯一性。2.利用導(dǎo)數(shù)求方程根的個數(shù)。3.利用導(dǎo)數(shù)求解待定系數(shù)的取值范圍。4.利用導(dǎo)數(shù)求解有關(guān)超越方程的根。

12、下面本人將結(jié)合實例對以上幾個方面進(jìn)行分析。2.3.1利用導(dǎo)數(shù)解決根的唯一性判斷方程在某區(qū)間內(nèi)有唯一實根，即判斷函數(shù)在該區(qū)間上有唯一零點。我們可以通過探究函數(shù)的單調(diào)性，利用零點存在定理進(jìn)行判斷。例2.6證明函數(shù) 在區(qū)間上有唯一零點。 4分析：對于證明函數(shù)有唯一零點（方程有唯一實根）的問題上，首先應(yīng)考慮的是零點是否存在，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)區(qū)間的單調(diào)性，證明函數(shù)在該區(qū)間上單調(diào)就可證明出函數(shù)在該區(qū)間上有唯一零點。證明：對函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，得：在區(qū)間上，為減函數(shù)又 故函數(shù)在區(qū)間上有唯一零點點評：在此問題上，如果區(qū)間兩端的函數(shù)值是一正一負(fù)且函數(shù)單調(diào)，則在該區(qū)間內(nèi)函數(shù)必有唯一零點（方程有唯一實根）。2.3.2利用

13、導(dǎo)數(shù)求解方程根的個數(shù)用導(dǎo)數(shù)來求解方程根的個數(shù)，實際上用導(dǎo)數(shù)來探究函數(shù)的圖像與函數(shù)的圖像有幾個交點的問題。例2.7已知，若與在有兩個不同的交點，求的取值范圍。 4分析：此題主要考查的是對數(shù)函數(shù)與二次函數(shù)的交點問題且含有參數(shù)，因為對數(shù)函數(shù)與二次函數(shù)曲線結(jié)構(gòu)的特點，我們很難具體有效地把握它們交點的情況，所以對于此類問題我們可以用導(dǎo)數(shù)將曲線交點的問題轉(zhuǎn)化為在有實根的問題。解：令則構(gòu)造函數(shù)要讓則時，在上遞增；時，在上遞減。故的極大值點為1，極大值為又且 （1）轉(zhuǎn)化為與的交點問題。要使（1）式在有兩個不同的實根，則解得當(dāng)時（1）式有兩個不同的實根，即在該區(qū)間與有兩個不同的交點。點評：用導(dǎo)數(shù)工具來探究與的交

14、點問題時有下面五個步驟：1.構(gòu)造函數(shù)；2.求；3.求出的單調(diào)性與極值;4.找出與軸的交點情況,列出不等式;5.求解不等式,得出結(jié)論。2.3.3利用導(dǎo)數(shù)求解待定系數(shù)的取值范圍例2.8：取何值時，關(guān)于的方程在上有解？ 5分析：可以先將與分離開，再利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的值域。解：則將看作是的函數(shù)，在上是增函數(shù)故點評：此題也可以結(jié)合二次函數(shù)的圖像，使其問題轉(zhuǎn)變?yōu)閰^(qū)間根的分布問題，但需分類討論，然而利用導(dǎo)數(shù)來求其函數(shù)的值域，就可以將其運算量減少，從這個方面看，也可以看出其導(dǎo)數(shù)解題的簡潔性。2.3.4利用導(dǎo)數(shù)求解有關(guān)超越方程的根例2.9證明方程有唯一解。 6分析：此方程由觀察易知是其一個實根，但我們無法說明此方

15、程根的唯一性。我們可以利用導(dǎo)數(shù)工具來解決這一問題，在解題過程中我們應(yīng)注意函數(shù)的定義域，必須要在定義域范圍內(nèi)進(jìn)行求解。證明：移項得：令 當(dāng)即時，為增函數(shù)；當(dāng)即時，為減函數(shù).01圖2.7 函數(shù)圖像 如圖2.7所示，此時圖像與軸相切，與軸只有唯一的一個交點。故方程有唯一解點評：在解決有關(guān)超越方程根時，我們很難進(jìn)行猜根求解，但我們可以通過構(gòu)造函數(shù)后，進(jìn)行求導(dǎo)，畫出草圖。結(jié)合圖像，便可以找出其交點，使我們能夠較快地解決問題。2.4導(dǎo)數(shù)在證明不等式中的應(yīng)用利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，可以根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義、函數(shù)的單調(diào)性、最值性以及構(gòu)造函數(shù)來證明不等式。其中構(gòu)造函數(shù)可以通過作差法、換元法、取對數(shù)等方法進(jìn)行構(gòu)造，然后再通

16、過求導(dǎo)的方法加以證明。在構(gòu)造函數(shù)證明不等式方面我將以其中的換元法來進(jìn)行敘述。2.4.1利用導(dǎo)數(shù)的定義證明不等式例2.10已知函數(shù)，求證時， 7分析：令，.因為要證當(dāng)時，即，只需證在上單調(diào)遞增。證明：令則當(dāng)時 ，在上單調(diào)遞增故即點評：在利用導(dǎo)數(shù)的定義來證明不等式時，先要將函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)給計算出來，然后在確定函數(shù)在某點的導(dǎo)數(shù)值和函數(shù)值，接著便利用導(dǎo)數(shù)的定義來證明其不等式。2.4.2利用函數(shù)的單調(diào)性來證明不等式例2.11已知，.且，求證： 8分析：，在上單調(diào)遞減。證明：令 則 在上單調(diào)遞減又即點評：利用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式，首先是利用導(dǎo)數(shù)工具先計算出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，再利用導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì)判斷出函數(shù)的單調(diào)

17、性，再證明不等式。2.4.3利用最值性證明不等式例2.12：的定義域是，其中，若，求證： 7分析：首先構(gòu)造一個函數(shù)，然后求出在某區(qū)間中的全部駐點和不可導(dǎo)之處的函數(shù)的極值和區(qū)間兩個端點之處的函數(shù)值，將它們進(jìn)行比較，證明不等式成立。證明：令時，則即化簡得或 無解由解得：或時，在上單調(diào)遞增；時，在上單調(diào)遞減是的極小值點又在上只有一個極值點是的最小值故的最小值為：，的最小值為：又，時 成立點評：根據(jù)連續(xù)函數(shù)在封閉區(qū)間上的連續(xù)性、順序性等可得到如果函數(shù)在封閉區(qū)間上連續(xù)時，則一定存在其最大（最?。┲?。這就是我們用來求解連續(xù)函數(shù)的最大（最小）值的理論依據(jù)。如果函數(shù)在處可導(dǎo)。那么還是其穩(wěn)定點。因此我們只需通過

18、比較的穩(wěn)定點、區(qū)間端點和不可導(dǎo)處的所有函數(shù)值，便可以找出在區(qū)間上的最大（最小）值，從而證明不等式的成立。2.4.4利用構(gòu)造函數(shù)證明不等式（換元法）例2.13已知函數(shù)，函數(shù)的圖像在點處的切線平行于軸（1）求的值；（2）求函數(shù)的極小值；（3）設(shè)斜率為的直線與函數(shù)的圖像交于兩點，其中，證明 9分析：此題是一道綜合性較強、難度較大的題目，它屬于函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合性題目，主要運用到導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)等方面來證明不等式，下面是利用換元法來構(gòu)造函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)知識對不等式進(jìn)行證明。解：（1） （2）的極小值為（3）由題意，可得：即令則當(dāng)時，在上為減函數(shù)；當(dāng)時，在上為增函數(shù)。又 故點評：此題運用導(dǎo)數(shù)求

19、函數(shù)的單調(diào)性、極值、柯西不等式的應(yīng)用及不等式證明等方面的知識進(jìn)行解題，在本題的處理上運用換元法便大大減小了計算時的難度。2.5導(dǎo)數(shù)在判斷函數(shù)單調(diào)性中的應(yīng)用如果函數(shù)是連續(xù)函數(shù)，若在處其導(dǎo)函數(shù)，也就是指其該點處切線的斜率大于0，那么函數(shù)在點處附近單調(diào)遞增；若在處其導(dǎo)函數(shù)，也就是指其該點處切線的斜率小于0，那么函數(shù)在點處附近單調(diào)遞減。例2.14討論函數(shù)的單調(diào)性。 10分析：函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)有關(guān)。如果導(dǎo)函數(shù)為正，則函數(shù)為增函數(shù)；如果導(dǎo)函數(shù)為負(fù)，則函數(shù)為減函數(shù)。解： 令解得： 令解得：在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減。點評：假設(shè)在上連續(xù)，在內(nèi)處處可導(dǎo)，則有如果在內(nèi)，則函數(shù)在上為增函數(shù)；如果在內(nèi)，則

20、函數(shù)在上為減函數(shù)；如果函數(shù)在內(nèi)，則函數(shù)在上為常函數(shù)。2.6導(dǎo)數(shù)在求解最值和最優(yōu)化問題中的運用2.6.1導(dǎo)數(shù)在求解函數(shù)的最大(小)中的應(yīng)用例2.15求函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值和最小值。分析：先將函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，再找出其極值點，最后對所有的極值點、區(qū)間端點的函數(shù)值進(jìn)行對比找出其最大值和最小值。解：令解得：且沒有不可導(dǎo)的點存在是的極值點又 比較上述四個值：在上的最大值為142，最小值為7點評：在求解可導(dǎo)函數(shù)的最值問題時要將所有的極值點、不可導(dǎo)點、區(qū)間端點的函數(shù)值進(jìn)行對比，要做到不重不漏。2.6.2導(dǎo)數(shù)在求解最優(yōu)化問題中的應(yīng)用例2.16某新農(nóng)村需要圍建一個面積為矩形曬谷場，一邊可以利用原來的石條沿，其它三

21、邊也需要砌新的石條沿。問：曬谷場的長和寬各為多少，才能使材料用得最?。糠治觯涸谇蠼獗绢}時，首先設(shè)出曬谷場的寬為，則長為。因此，便可以設(shè)出一個關(guān)于的函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)工具便可以算出材料最省的方案。解：設(shè)曬谷場的寬為，則長為令石條沿的總長為 在內(nèi)只有一個極值點即的極小值點為16又當(dāng)曬谷場的長為，寬為，才能使材料用得最省。點評：在求解最優(yōu)化問題時，應(yīng)利用導(dǎo)數(shù)求出極值點，找出其最值。從中找到解決問題的最佳方案。3導(dǎo)數(shù)在中學(xué)數(shù)學(xué)解題時的幾點評注及易錯點3.1對導(dǎo)數(shù)的幾何意義不明確而導(dǎo)致在應(yīng)用中的錯誤對導(dǎo)數(shù)的幾何意義理解地不夠透徹，也可能會使其在解題時出錯，函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義是函數(shù)曲線在點處的切線斜率

22、。利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義使我們更加容易求解函數(shù)的曲線的切線方程。例3.1求解曲線經(jīng)過點的切線方程。錯解： 將代入，可得：切線方程為:錯因：本題時由于思維上的定勢而造成的錯誤，因為點不在曲線上，故在解題時盲目地將代入導(dǎo)數(shù)方程求出的切線斜率是錯誤的。正解：設(shè)則 又 聯(lián)立得：當(dāng)時切線方程為；當(dāng)時切線方程為3.2導(dǎo)數(shù)在解題時對極值點、駐點和拐點的區(qū)分極值點定義：令函數(shù)。給定的一個小鄰域，對于任意，都有，稱是的極小值點；否則，稱是的極大值點。極小值點和極大值點統(tǒng)稱為極值點。駐點定義：令函數(shù)，若，稱是駐點。拐點定義：連續(xù)曲線弧上的上凹弧與下凹弧的分界點，稱為曲線弧的拐點。拐點的判定定理：令函數(shù)，若，且，；時或

23、，；時，稱點為的拐點。極值點的必要條件：令函數(shù)，在點處可導(dǎo)，且是極值點，則。在區(qū)分極值點、駐點與拐點時需從上述的幾個定義、定理進(jìn)行仔細(xì)理解與區(qū)分。駐點不一定是極值點，極值點也不一定是駐點。在可導(dǎo)的情況下，極值點一定是駐點。3.3導(dǎo)數(shù)在中學(xué)解題時不可導(dǎo)點的判定在判定不可導(dǎo)點時可以從導(dǎo)函數(shù)、導(dǎo)數(shù)的定義以及假想延拓法來判定不可導(dǎo)點。例3.2為了使函數(shù)在處連續(xù)且可導(dǎo)，應(yīng)該取何值。解：據(jù)已知函數(shù)在處連續(xù)且可導(dǎo)，因此在處左右導(dǎo)數(shù)均存在。根據(jù)假想延拓法知，函數(shù)在左導(dǎo)數(shù)為于是再根據(jù)假想延拓法知，函數(shù)在處右導(dǎo)數(shù)為再根據(jù)函數(shù)在處連續(xù)，得：解得：3.4導(dǎo)數(shù)在中學(xué)數(shù)學(xué)解題時忽視了定義域的錯誤分析例3.3求函數(shù)的單調(diào)區(qū)

24、間。錯解： 令即解得：函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，減區(qū)間為錯因：忽視了定義域。正解： 的定義域為又故函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為.5導(dǎo)數(shù)在解題中因極值點與導(dǎo)數(shù)為零的點區(qū)分不清的錯誤分析例3.4已知函數(shù)在處有極值為10，求的值。錯解： 故即解得：或錯因：函數(shù)可導(dǎo)時在處取得極值的充要條件為；在左右兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)值的符號相反。錯解沒有對條件加以檢驗。正解： 故即解得：或當(dāng)時，易知在的兩側(cè)同號，故在處不存在極值。當(dāng)時，在的兩側(cè)異號，故在處存在極值。綜上所述：本文將歸納總結(jié)出利用導(dǎo)數(shù)解決中學(xué)數(shù)學(xué)問題的若干方法及在利用導(dǎo)數(shù)解題時需注意的方面和易錯點，從而方便導(dǎo)數(shù)初學(xué)者便于查找，在學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)的初級階段能夠有更多的資料進(jìn)行學(xué)習(xí)借鑒，在利用導(dǎo)數(shù)解題時注意到自己平時忽略到的方面。由于篇幅的原因，對于運