山東省濟南市高考數(shù)學精品資料—三角函數(shù)知識點分析

1、考綱導讀三角函數(shù)1了解任意角的概念、 弧度的意義、正確進行弧度與角度的換算；理解任意角的正弦、余弦、正切的定義；了解余切、正割、余割的定義；會利用單位圓中的三角函數(shù)線表示正弦、余弦、正切2掌握三角函數(shù)的公式（同角三角函數(shù)基本關(guān)系式、誘導公式、和、差角及倍角公式）及運用3能正確運用三角公式進行簡單的三角函數(shù)式的化簡、求值和條件等式及恒等式的證明4掌握正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖象和性質(zhì)；會用單位圓中的三角函數(shù)線畫出正弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖象、并在此基礎(chǔ)上由誘導公式畫出余弦函數(shù)的圖象會用“五點法”畫出正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和的簡圖，理解的物理意義5會由已知三角函數(shù)值求角，并會用符號arcsinx，a

2、rccosx，arctanx表示角6掌握正弦定理、余弦定理，并能初步運用它們解斜三角形，能利用計算器解決解三角形的計算問題知識網(wǎng)絡(luò)任意角的三角函數(shù)三 角 函 數(shù)兩角和與差的三角函數(shù)三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)角的概念的推廣、弧度制任意角的三角函數(shù)的定義同角三角函數(shù)基本關(guān)系誘導公式兩角和與差的正弦、余弦、正切二倍角的正弦、余弦、正切ysinx, ycosx的圖象和性質(zhì)ytanx的圖象和性質(zhì)yAsin(x)的圖象已知三角函數(shù)值求角高考導航三角部分的知識是每年高考中必考的內(nèi)容，近幾年的高考對這部分知識的命題有如下特點：1降低了對三角函數(shù)恒等變形的要求，加強了對三角函數(shù)圖象和性質(zhì)的考查尤其是三角函數(shù)的最大值與

3、最小值、周期2以小題為主一般以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，多數(shù)為基礎(chǔ)題，難度屬中檔偏易其次在解答題中多數(shù)是三角函數(shù)式的恒等變形，如運用三角公式進行化簡、求值解決簡單的綜合題等3更加強調(diào)三角函數(shù)的工具性，加強了三角函數(shù)與其它知識的綜合，如在解三角形、立體幾何、平面解析幾何中考查三角函數(shù)的知識基礎(chǔ)過關(guān)第1課時 任意角的三角函數(shù)一、角的概念的推廣1與角終邊相同的角的集合為 2與角終邊互為反向延長線的角的集合為 3軸線角（終邊在坐標軸上的角）終邊在x軸上的角的集合為 ，終邊在y軸上的角的集合為 ，終邊在坐標軸上的角的集合為 4象限角是指： 5區(qū)間角是指： 6弧度制的意義：圓周上弧長等于半徑長的弧所對的圓

4、心角的大小為1弧度的角，它將任意角的集合與實數(shù)集合之間建立了一一對應關(guān)系7弧度與角度互化：180 弧度，1 弧度，1弧度 8弧長公式：l ；扇形面積公式：S .二、任意角的三角函數(shù)9定義：設(shè)P(x, y)是角終邊上任意一點，且 |PO| r，則sin ； cos ；tan ；+cosx, sinx, tanx, xyOxyOxyO10三角函數(shù)的符號與角所在象限的關(guān)系：12、正弦、余弦、正切、余切函數(shù)的定義域和值域：解析式y(tǒng)sinxycosxytanx定義域值 域13三角函數(shù)線：在圖中作出角的正弦線、余弦線、正切線xyO典型例題例1. 若是第二象限的角，試分別確定2, ,的終邊所在位置.解： 是

5、第二象限的角，k360+90k360+180（kZ）.（1）2k360+18022k360+360（kZ），2是第三或第四象限的角，或角的終邊在y軸的非正半軸上.（2）k180+45 k180+90（kZ），當k=2n（nZ）時，n360+45n360+90；當k=2n+1（nZ）時，n360+225n360+270.是第一或第三象限的角.（3）k120+30k120+60（kZ），當k=3n（nZ）時，n360+30n360+60；當k=3n+1（nZ）時，n360+150n360+180；當k=3n+2（nZ）時，n360+270n360+300.是第一或第二或第四象限的角.變式訓練1：已

6、知是第三象限角，問是哪個象限的角？解： 是第三象限角，180+k360270+k360（kZ），60+k12090+k120.當k=3m(mZ)時，可得60+m36090+m360（mZ）.故的終邊在第一象限.當k=3m+1 (mZ)時，可得180+m360210+m360（mZ).故的終邊在第三象限.當k=3m+2 （mZ）時，可得300+m360330+m360（mZ）.故的終邊在第四象限.綜上可知，是第一、第三或第四象限的角. 例2. 在單位圓中畫出適合下列條件的角的終邊的范圍,并由此寫出角的集合:(1)sin;(2)cos.解：（1）作直線y=交單位圓于A、B兩點，連結(jié)OA、OB，則O

7、A與OB圍成的區(qū)域即為角的終邊的范圍，故滿足條件的角的集合為|2k+2k+，kZ .（2）作直線x=交單位圓于C、D兩點，連結(jié)OC、OD，則OC與OD圍成的區(qū)域（圖中陰影部分）即為角終邊的范圍.故滿足條件的角的集合為 .變式訓練2：求下列函數(shù)的定義域：（1）y=；（2）y=lg(3-4sin2x）.解：（1）2cosx-10，cosx.由三角函數(shù)線畫出x滿足條件的終邊范圍(如圖陰影所示).x（kZ）.（2）3-4sin2x0,sin2x,-sinx.利用三角函數(shù)線畫出x滿足條件的終邊范圍(如右圖陰影),x（k-,k+）（kZ).例3. 已知角的終邊在直線3x+4y=0上，求sin,cos,ta

8、n的值.解：角的終邊在直線3x+4y=0上，在角的終邊上任取一點P(4t,-3t) (t0),則x=4t,y=-3t,r=|t|,當t0時，r=5t,sin=,cos=,tan=; 當t0時，r=-5t,sin=,cos=,tan=. 綜上可知，t0時，sin=,cos=,tan=;t0時，sin=,cos=-,tan=. 變式訓練3：已知角的終邊經(jīng)過點P，試判斷角所在的象限，并求的值解：由題意，得 故角是第二或第三象限角當，點P的坐標為，當，點P的坐標為，例4. 已知一扇形中心角為，所在圓半徑為R(1) 若，R2cm，求扇形的弧長及該弧所在弓形面積；(2) 若扇形周長為一定值C(C0)，當為

9、何值時，該扇形面積最大，并求此最大值解：（1）設(shè)弧長為l，弓形面積為S弓。 （cm2）扇形周長 當且僅當224，即2時扇形面積最大為變式訓練4：扇形OAB的面積是1cm2，它的周長是4cm，求中心角的弧度數(shù)和弦長AB解：設(shè)扇形的半徑為r，弧長為l，中心角的弧度數(shù)為則有 由|得2 |AB|2sin 1( cm )小結(jié)歸納1本節(jié)內(nèi)容是三角函數(shù)的基礎(chǔ)內(nèi)容，也是后續(xù)結(jié)論的根源所在，要求掌握好：如角度的范圍、函數(shù)的定義、函數(shù)值的符號、函數(shù)值的大小關(guān)系及它們之間的相互轉(zhuǎn)化關(guān)系2在計算或化簡三角函數(shù)的關(guān)系式時，常常要對角的范圍以及相應的三角函數(shù)值的正負情況進行討論，因此，在解答這類題時首先要弄清：角的范圍是

10、什么？對應的三角函數(shù)值是正還是負？與此相關(guān)的定義、性質(zhì)或公式有哪些?第2課時 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系及誘導公式基礎(chǔ)過關(guān)1同角公式：(1) 平方關(guān)系：sin2cos21，1tan2 ，1cot2 (2) 商數(shù)關(guān)系：tan ，cot (3) 倒數(shù)關(guān)系：tan 1，sin 1，cot 12誘導公式：22ksincossincos規(guī)律：奇變偶不變，符號看象限3同角三角函數(shù)的關(guān)系式的基本用途：根據(jù)一個角的某一個三角函數(shù)值，求出該角的其他三角函數(shù)值；化簡同角三角函數(shù)式；證明同角的三角恒等式4誘導公式的作用：誘導公式可以將求任意角的三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化為090角的三角函數(shù)值典型例題例1. 已知f()=;（1）化簡

11、f();（2）若是第三象限角，且cos，求f()的值.解 ：（1）f（）=-cos. （2）cos=-sin,sin=-,cos=-,f()=.變式訓練1：已知A則A構(gòu)成的集合是 ( )A1, 1, 2, 2 B1, 1C2, 2 D2, 1, 01, 2解：C例2求值：(1) 已知，求的值2) 已知，求下列各式的值；解：（1）；（2）變式訓練2：化簡： ， 解：原式sin 原式0例3. 已知，sin xcos x（1）求sin xcos x的值（2）求的值解：( 1 ) ，( 2 ) 變式訓練3：已知sin +cos=,(0,).求值：（1）tan;（2）sin-cos;（3）sin3+co

12、s3.解 方法一 sin+cos=,(0,),(sin+cos)2=1+2sincos，sincos=-0.由根與系數(shù)的關(guān)系知，sin,cos是方程x2-x-=0的兩根，解方程得x1=,x2=-.sin0,cos0,sin=,cos =-.（1）tan=-.（2）sin-cos=.（3）sin3+cos3=.方法二 （1）同方法一.（2）（sin-cos）2=1-2sincos=1-2=.sin0,cos0,sin-cos0,sin-cos=.（3）sin3+cos3=(sin+cos)(sin2-sincos+cos2)=.例4已知tan=2,求下列各式的值：（1）;（2） ;（3）4sin

13、2-3sincos-5cos2.解：（1）原式=.（2）.（3）sin2+cos2=1,4sin2-3sincos-5cos2=.變式訓練4：已知sin(+k)=-2cos(+k) (kZ).求:（1）;（2）sin2+cos2.解：由已知得cos(+k)0,tan(+k)=-2(kZ),即tan=-2.（1）.（2）sin2+cos2=.小結(jié)歸納1求函數(shù)的定義域一般有三類問題：一是給出解釋式（如例1），應抓住使整個解式有意義的自變量的集合；二是未給出解析式（如例2），就應抓住內(nèi)函數(shù)的值域就是外函數(shù)的定義域；三是實際問題，此時函數(shù)的定義域除使解析式有意義外，還應使實際問題或幾何問題有意義.2求

14、函數(shù)的值域沒有通用方法和固定模式，除了掌握常用方法（如直接法、單調(diào)性法、有界性法、配方法、換元法、判別式法、不等式法、圖象法）外，應根據(jù)問題的不同特點，綜合而靈活地選擇方法.第3課時 兩角和與差的三角函數(shù)基礎(chǔ)過關(guān)1兩角和的余弦公式的推導方法： 2基本公式 sin()sin coscos sincos() ;tan() .3公式的變式tantantan ()(1tan tan)1tan tan4常見的角的變換：2()()；() ()()()；典型例題例1求2sin50+sin10(1+tan10)的值.解：原式=變式訓練1：(1)已知(,)，sin=,則tan()等于（ ）A. B.7 C. D

15、.7 (2) sin163sin223+sin253sin313等于 （ ）A. B. C. D.解：(1)A (2)B 例2. 已知(，)，(0，),()，sin()，求sin()的值解：() (0,)(0,) (,)sin() cos()sin()cos()cos()()變式訓練2：設(shè)cos（）=，sin（）=，且，0，求cos（+）.解：，0，.故由cos（）=，得sin（）=.由sin（）=，得cos（）=.cos=cos（）（）=cos（+）=2cos21=-1=.例3. 若sinA=,sinB=,且A,B均為鈍角,求A+B的值.解 A、B均為鈍角且sinA=,sinB=，cosA=

16、-=-=-，cosB=-=-=-， cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB=-= 又A, B,A+B2 由知，A+B=.變式訓練3：在ABC中，角A、B 、C滿足4sin2-cos2B=,求角B的度數(shù).解 在ABC中，A+B+C=180,由4sin2-cos2B=,得4-2cos2B+1=,所以4cos2B-4cosB+1=0.于是cosB=,B=60.例4化簡sin2sin2+cos2cos2-cos2cos2.解 方法一 （復角單角，從“角”入手）原式=sin2sin2+cos2cos2-(2cos2-1)(2cos2-1)=sin2sin2+cos2cos2-(4cos2c

17、os2-2cos2-2cos2+1)=sin2sin2-cos2cos2+cos2+cos2-=sin2sin2+cos2sin2+cos2-=sin2+cos2-=1-=.方法二 （從“名”入手，異名化同名）原式=sin2sin2+(1-sin2)cos2-cos2cos2=cos2-sin2 (cos2-sin2)-cos2cos2=cos2-sin2cos2-cos2cos2=cos2-cos2=-cos2=-cos2=.方法三 （從“冪”入手，利用降冪公式先降次）原式=+-cos2cos2=(1+cos2cos2-cos2-cos2)+(1+cos2cos2+cos2+cos2)-co

18、s2cos2=.方法四 （從“形”入手，利用配方法，先對二次項配方）原式=(sinsin-coscos)2+2sinsincoscos-cos2cos2=cos2(+)+sin2sin2-cos2cos2=cos2(+)-cos(2+2)=cos2(+)- 2cos2(+)-1=.變式訓練4：化簡：（1）sin+cos;(2）.解 （1）原式=2=2=2cos=2cos(x-).（2）原式=1.小結(jié)歸納1三角函數(shù)式的化簡、求值、證明等是三角變形常見的題型，三角函數(shù)式變形的過程就是分析矛盾、發(fā)現(xiàn)差異，進而消除差異的過程。在這一過程中須仔細觀察到式子中各項的角、函數(shù)名稱及運算式子的差異，找出特征，

19、從中找到解題的突破口。對于角與角之間的關(guān)系，要充分應用角的恒等變換，以整體角來處理和解決有關(guān)問題，這樣可以避免一些較復雜的計算，如：2=+ ()等2在應用過程中要能靈活運用公式，并注意總結(jié)公式的應用經(jīng)驗。對一些公式不僅會正用，還要會逆用、變形用，如正切的和角公式的變形用，正、余弦的和、差角公式的逆用。另外還要能對形如sinxcosx、sinxcosx的三角函數(shù)式要創(chuàng)造條件使用公式第4課時 二倍角的正弦、余弦、正切基礎(chǔ)過關(guān)1基本公式：sin2 ；cos2 ；tan2 .2公式的變用：1cos2 ；1cos2 典型例題例1. 求值：解：原式 變式訓練1：(cossin) （ ）A B C D 解：

20、D例2 已知為銳角，且，求的值. 解：為銳角變式訓練2：化簡：解：原式1例3已知；(1) 求的值； (2) 設(shè)，求sin的值解：（1）（2）16sin224sin110 解得 故變式訓練3：已知sin()，求cos()的值解：cos(2)2cos2()12sin2() 1例4已知sin2 22 coscos21，(0，)，求sin、tan的值解：由已知得sin22sin2cos2cos20即(sin22cos) (sin2cos)0cos2(1sin) (2sin1)0(0，) cos0 sin12sin1 sin tan變式訓練4：已知、r是公比為2的等比數(shù)列，且sin、sin、sinr也成

21、等比數(shù)列，求、r的值解：、r成公比為2的等比數(shù)列2，r4sin、sin、sinr成等比數(shù)列即，解得cos1或當cos1時，sin0與等比數(shù)列首項不為零矛盾故cos1舍去當時，20,2 或或小結(jié)歸納1二倍角公式是和角公式的特殊情況，在學習時要注意它們之間的聯(lián)系；2要理解二倍角的相對性，能根據(jù)公式的特點進行靈活應用(正用、逆用、變形用)3對三角函數(shù)式的變形有以下常用的方法： 降次（常用降次公式） 消元（化同名或同角的三角函數(shù)） 消去常數(shù)“1”或用“1”替換 角的范圍的確定基礎(chǔ)過關(guān)第5課時 三角函數(shù)的化簡和求值1三角函數(shù)式的化簡的一般要求： 函數(shù)名稱盡可能少； 項數(shù)盡可能少； 盡可能不含根式； 次數(shù)

22、盡可能低、盡可能求出值2常用的基本變換方法有：異角化同角、異名化同名、異次化同次3求值問題的基本類型及方法 “給角求值”一般所給的角都是非特殊角，解題時應該仔細觀察非特殊角與特殊角之間的關(guān)系，通常是將非特殊角轉(zhuǎn)化為特殊角或相互抵消等方法進行求解 “給值求值”即給出某些角的三角函數(shù)（式）的值，求另外的一些角的三角函數(shù)值，解題關(guān)鍵在于：變角，使其角相同； “給值求角”關(guān)鍵也是：變角，把所求的角用含已知角的式子表示，由所求得的函數(shù)值結(jié)合該函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求得角4反三角函數(shù)arcsin、arccos、arctan分別表示、0，、（）的角典型例題例1. （1）化簡： （2）化簡：解： 原式=變式訓練1：已

23、知，若，則 可化簡為 解：例2. 已知，求（2）的值解法一：由已知得(3sin2cos) (2sincos)03sin2cos0或2sincos由已知條件可知cos0 即(,)tansin(2)sin2coscos2sinsincos(cos2sin2)解法二：由已知條件可知cos0 則從而條件可化為 6 tan2tan20(,) 解得tan(下同解法一)變式訓練2：在ABC中，求A的值和ABC的面積解：sinAcosA 2sinAcosA從而cosA0 A()sinAcosA 據(jù)可得 sinA cosAtanA2SABC例3. 已知tan()，-，且、（0，），求2的值.解：由tan (0，

24、)得(, ) 由tantan() (0，)得0 02由tan20 知02 tan(2)1由知 2(，0)2(或利用22()求解)變式訓練3：已知為第二象限角，且sin，求的值解：由sin 為第二象限角cos例4已知（1）求tan的值；（2）求的值解：（1）由得 解得tan3或又，所以為所求（2）原式：變式訓練4：已知（0)的圖象令xx轉(zhuǎn)化為ysinx，作圖象用五點法，通過列表、描點后作圖象函數(shù)yAsin(x)的圖象與函數(shù)ysinx的圖象關(guān)系振幅變換：yAsinx(A0，A1)的圖象，可以看做是ysinx的圖象上所有點的縱坐標都 ，(A1)或 (0A0，1)的圖象，可以看做是把ysinx的圖象上

25、各點的橫坐標 (1)或 (00)的周期為 相位變換：ysin(x)(0)的圖象，可以看做是把ysinx的圖象上各點向 (0)或向 (0)或向右(0)或向右(0，0) 若A3，作出函數(shù)在一個周期內(nèi)的簡圖 若y表示一個振動量，其振動頻率是，當x時，相位是，求和321-1-2-3 xy0解：(1) y3sin()列表(略)圖象如下：02xy03030 (2)依題意有： 變式訓練1：已知函數(shù)y=2sin,(1)求它的振幅、周期、初相；(2)用“五點法”作出它在一個周期內(nèi)的圖象；(3)說明y=2sin的圖象可由y=sinx的圖象經(jīng)過怎樣的變換而得到.解 （1）y=2sin的振幅A=2,周期T=，初相=.

26、（2）令X=2x+,則y=2sin=2sinX.列表，并描點畫出圖象：x-X02y=sinX010-10y=2sin(2x+)020-20（3）方法一 把y=sinx的圖象上所有的點向左平移個單位，得到y(tǒng)=sin的圖象，再把y=sin的圖象上的點的橫坐標縮短到原來的倍（縱坐標不變），得到y(tǒng)=sin的圖象，最后把y=sin上所有點的縱坐標伸長到原來的2倍（橫坐標不變），即可得到y(tǒng)=2sin的圖象.方法二 將y=sinx的圖象上每一點的橫坐標x縮短為原來的倍，縱坐標不變，得到y(tǒng)=sin2x的圖象；再將y=sin2x的圖象向左平移個單位；得到y(tǒng)=sin2=sin的圖象；再將y=sin的圖象上每一點的

27、橫坐標保持不變，縱坐標伸長為原來的2倍，得到y(tǒng)=2sin的圖象.例2已知函數(shù)y=3sin（1）用五點法作出函數(shù)的圖象；（2）說明此圖象是由y=sinx的圖象經(jīng)過怎么樣的變化得到的；（3）求此函數(shù)的振幅、周期和初相；（4）求此函數(shù)圖象的對稱軸方程、對稱中心.解 （1）列表：x023sin030-30描點、連線,如圖所示：（2）方法一 “先平移，后伸縮”.先把y=sinx的圖象上所有點向右平移個單位，得到y(tǒng)=sin的圖象；再把y=sin的圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變），得到y(tǒng)=sin的圖象，最后將y=sin的圖象上所有點的縱坐標伸長到原來的3倍（橫坐標不變），就得到y(tǒng)=3sin

28、的圖象.方法二 “先伸縮，后平移”先把y=sinx的圖象上所有點的橫坐標伸長為原來的2倍（縱坐標不變），得到y(tǒng)=sinx的圖象；再把y=sinx圖象上所有的點向右平移個單位，得到y(tǒng)=sin(x-)=sin的圖象，最后將y=sin的圖象上所有點的縱坐標伸長到原來的3倍（橫坐標不變），就得到y(tǒng)=3sin的圖象.（3）周期T=4，振幅A=3，初相是-. (4)令=+k(kZ),得x=2k+(kZ),此為對稱軸方程.令x-=k(kZ)得x=+2k(kZ).對稱中心為 (kZ).變式訓練2：已知函數(shù) 的最小正周期為且圖象關(guān)于對稱；(1) 求f(x)的解析式；(2) 若函數(shù)y1f(x)的圖象與直線ya在上

29、中有一個交點，求實數(shù)a的范圍解：（1）wR 當w1時， 此時不是它的對稱軸w1 （2）0yx如圖：直線ya在上與y1f(x)圖象只有一個交點 或a1例3如圖為y=Asin(x+)的圖象的一段，求其解析式. 解 方法一 以N為第一個零點，則A=-，T=2=，=2，此時解析式為y=-sin（2x+）.點N，-2+=0，=，所求解析式為y=-sin. 方法二 由圖象知A=，以M為第一個零點，P為第二個零點.列方程組 解之得.所求解析式為y=sin. 變式訓練3：函數(shù)y=Asin(x+)(0,| ,xR)的部分圖象如圖，則函數(shù)表達式為( )A. y=-4sin B. y=-4sinC. y=4sin

30、D. y=4sin答案 B例4設(shè)關(guān)于x的方程cos2xsin2xk1在0，內(nèi)有兩不同根，求的值及k的取值范圍解：由cos2xsin2xk1得 2sin(2x)k1即sin(2x)設(shè)c: ysin(2x)，l: y，在同一坐標系中作出它們的圖象(略)由圖易知當1時, 即0k1時直線l與曲線c有兩個交點，且兩交點的橫坐標為、，從圖象中還可以看出、關(guān)于x對稱.。故變式訓練4.已知函數(shù)f (x)sin(x)(0，0)是R上的偶函數(shù)，其圖象關(guān)于點M(，0)對稱，且在區(qū)間0，上是單調(diào)函數(shù)，求和的值解：由f (x)是偶函數(shù)，得f(x)f (x)即sin(x)sin(x)cossinxcossinx對任意x都

31、成立，且0， cos0依題意設(shè)0 由f(x)的圖象關(guān)于點M對稱，得f(x)f (x)取x0得f （）f （） f ()0f()sin()cos0又0得k(2k1) (k0，1，2)當k0時， f (x)sin()在0，上是減函數(shù)；當k1時，2 f (x)sin(2x)在0，上是減函數(shù)；當k2時， f (x)sin(x)在0，上不是減函數(shù)；或2小結(jié)歸納小結(jié)歸納1圖象變換的兩種途徑 先相位變換后周期變換ysinx ysin(x) ysin(x) 先周期變換后相位變換ysinx ysinxysin (x)2給出圖象求解析式y(tǒng)Asin(x)B的難點在于、的確定，本質(zhì)為待定系數(shù)法，基本方法是： “五點法

32、”運用“五點”中的一點確定 圖像變換法，即已知圖象是由哪個函數(shù)的圖象經(jīng)過變換得到的，通?？捎闪泓c或最值點確定T第8課時 三角函數(shù)的性質(zhì)基礎(chǔ)過關(guān)1三角函數(shù)的性質(zhì)函 數(shù)ysinxycosxytanx定義域值 域奇偶性有界性周期性單調(diào)性最大(小)值2函數(shù)ysinx的對稱性與周期性的關(guān)系 若相鄰兩條對稱軸為xa和xb，則T 若相鄰兩對稱點(a，0)和(b，0) ，則T 若有一個對稱點(a，0)和它相鄰的一條對稱軸xb，則T 注：該結(jié)論可以推廣到其它任一函數(shù)典型例題例1. 化簡f (x)cos()cos()2sin(2x)(xR，kZ)并求f (x)的值域和最小正周期解：(1) f(x) 2sin(ax

33、)(0a1)由于f(x)g(x)最小正周期相同得 即a2m又f(1)2g(1) 即2sin(a)2tan(m)把a2m代入得sin(2m)tan(m)2sin(m)cos(m)sin(m)0或cos(m)當sin(m)0時，mk(kz)，這與0m1矛盾當cos(m)時，mk或mk(kz)，現(xiàn)由0m1時得m故af(x)2sin(x)，g(x)tan(x)(2) 由2kx2k得x12k5，12k1f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為12k5，12k1 (kz)變式訓練1：已知函數(shù) ；（1）求函數(shù)f(x)的最小正周期；（2）求使函數(shù)f(x)取得最大值的x的集合 解：(1)(2)當f(x)取最大值時，sin(2x

34、)1有2x2k 即xk(kz)故所求x的集合為例2已知函數(shù)f (x) 求f (x)的定義域 用定義判斷f (x)的奇偶性 在，上作出函數(shù)f (x)的圖象 指出f (x)的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間解：(1) 由1cos2x0得2cos2x0cosx0即xk，(kz)函數(shù)f (x)的定義域為xxk，kz(2)定義域關(guān)于原點對稱，且對任意的定義域中x，f (x)f (x)為奇函數(shù).xy0-(3) f (x)又x，且xf(x)f (x)的圖象如右：(4) 由圖知，f(x)的最小正周期為2f (x)的單調(diào)遞增區(qū)間是()(kz)變式訓練2：求下列函數(shù)的定義域：（1）y=lgsin(cosx);（2）y=.

35、解 （1）要使函數(shù)有意義，必須使sin(cosx)0.-1cosx1,0cosx1.方法一 利用余弦函數(shù)的簡圖得知定義域為x|-+2kx+2k,kZ.方法二 利用單位圓中的余弦線OM，依題意知0OM1,OM只能在x軸的正半軸上，其定義域為.（2）要使函數(shù)有意義，必須使sinx-cosx0.方法一 利用圖象.在同一坐標系中畫出0,2上y=sinx和y=cosx的圖象，如圖所示.在0，2內(nèi)，滿足sinx=cosx的x為，再結(jié)合正弦、余弦函數(shù)的周期是2,所以定義域為.方法二 利用三角函數(shù)線，如圖MN為正弦線，OM為余弦線，要使sinxcosx,即MNOM，則x（在0，2內(nèi)）.定義域為.方法三 sin

36、x-cosx=sin0，將x-視為一個整體，由正弦函數(shù)y=sinx的圖象和性質(zhì)可知2kx-+2k,解得2k+x+2k,kZ.所以定義域為.例3設(shè)函數(shù)，已知f(x)、g(x)的最小正周期相同，且2(g)f(1)；（1）試確定f(x)、g(x)的解的式；（2）求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間解：(1)當a1時，f(x)2cos2sinxb 遞增區(qū)間為2k(kz)(2)f (x)a(sinxcosx)ab而x0，xsin(x) 變式訓練3：已知函數(shù)f (x)(sinxcosx) 求它的定義域和值域； 求它的單調(diào)區(qū)間； 判斷它的奇偶性； 判定它的周期性，如果是周期函數(shù)，求出它的最小正周期解：(1) 由題意得：sinxcosx0即sin(x)從而得2kx2k函數(shù)的定義域為()(kz)0sin(x)1 0sinxcosx即(sinxcosx)故函數(shù)f (x)的值域為，(2) sinxcosxsin(x)在f(x)的定義域上的單調(diào)遞增區(qū)間為()(kz)，單調(diào)遞減區(qū)間為(kz)(3) f(x)的定義域在數(shù)軸上對應的點關(guān)于原點不對稱f(x)是非奇非偶函數(shù)(4) f(x2)sin(x2)cos(x2) (sinxcosx)f(x)f (x)函數(shù)的最小正周期T2例4.已知函數(shù)yacosxb的最大值為1，最小值是3，試確定