小學(xué)奧數(shù)教學(xué) 立體幾何

1、 立體圖形1 立體圖形的表面積和體積公式長方體和正方體如右圖，長方體共有六個面(每個面都是長方形)，八個頂點，十二條棱在六個面中，兩個對面是全等的，即三組對面兩兩全等(疊放在一起能夠完全重合的兩個圖形稱為全等圖形)長方體的表面積和體積的計算公式是：長方體的表面積：；長方體的體積：正方體是各棱相等的長方體，它是長方體的特例，它的六個面都是正方形如果它的棱長為，那么：，二、圓柱與圓錐立體圖形表面積體積圓柱圓錐注：是母線，即從頂點到底面圓上的線段長【例 1】 如右圖，在一個棱長為10的立方體上截取一個長為8，寬為3，高為2的小長方體，那么新的幾何體的表面積是多少？改. 又是多少？【例 2】 右圖是一

2、個邊長為4厘米的正方體，分別在前后、左右、上下各面的中心位置挖去一個邊長l厘米的正方體，做成一種玩具它的表面積是多少平方厘米?（圖中只畫出了前面、右面、上面挖去的正方體）練習(xí)：在一個棱長為50厘米的正方體木塊，在它的八個角上各挖去一個棱長為5厘米的小正方體，問剩下的立體圖形的表面積是多少？【例 3】 下圖是一個棱長為2厘米的正方體，在正方體上表面的正中，向下挖一個棱長為1厘米的正方體小洞，接著在小洞的底面正中向下挖一個棱長為厘米的正方形小洞，第三個正方形小洞的挖法和前兩個相同為厘米，那么最后得到的立體圖形的表面積是多少平方厘米？【例 4】 一個正方體木塊，棱長是1米，沿著水平方向?qū)⑺彸?片，

3、每片又鋸成3長條，每條又鋸成4小塊，共得到大大小小的長方體24塊，那么這24塊長方體的表面積之和是多少？ （鋸一次增加兩個面）練習(xí).一個表面積為的長方體如圖切成27個小長方體，這27個小長方體表面積的和是 表面積最?。夯ハ嘀睾系拿孀疃鄷r表面積最小【例 5】 如圖，25塊邊長為1的正方體積木拼成一個幾何體，表面積最小是多少？ 體積：例1. 如圖11-6，從長為13厘米，寬為9厘米的長方形硬紙板的四角去掉邊長2米的正方形，然后，沿虛線折疊成長方體容器這個容器的體積是多少立方厘米?例2. 某工人用薄木板釘成一個長方體的郵件包裝箱，并用尼龍編織條如圖11-9所示在三個方向上加固所用尼龍編織條的長分別為

4、365厘米、405厘米、485厘米若每個尼龍條加固時接頭處都重疊5厘米，則這個長方體包裝箱的體積是多少立方米?2 不規(guī)則立體圖形的表面積 整體觀照法例1. 如圖，在一個棱長為5分米的正方體上放一個棱長為4分米的小正方體，求這個立體圖形的表面積例2. 如圖，棱長分別為厘米、厘米、厘米、厘米的四個正方體緊貼在一起，則所得到的多面體的表面積是_平方厘米例3. 把19個棱長為1厘米的正方體重疊在一起，按右圖中的方式拼成一個立體圖形.，求這個立體圖形的表面積例4. 用棱長是1厘米的立方塊拼成如右圖所示的立體圖形，問該圖形的表面積是多少平方厘米?例5.下圖是由18個邊長為1厘米的小正方體拼成的，求它的表面

5、積。例6.3 體積的等積變形 水中浸放物體：V升水=V物 測啤酒瓶容積：V=V空氣+V水例1. 有大、中、小3個正方形水池，它們的內(nèi)邊長分別是6米、3米、2米把兩堆碎石分別沉沒在中、小水池的水里，兩個水池的水面分別升高了6厘米和4米如果將這兩堆碎石都沉沒在大水池的水里，大水池的水面升高了多少厘米例2. 在一只底面半徑是10厘米的圓柱形瓶中，水深是8厘米，要在瓶中放入長和寬都是8厘米，高是15厘米的一塊鐵塊。把鐵塊豎放在水中，水面上升幾厘米？例3. 在一個圓柱形儲水桶里，放進一段半徑是5厘米的圓鋼，如果把它全部放入水里，桶里的水面就上升9厘米，如果把水中圓鋼露出8厘米長，那么這時桶里的水面就下降

6、4厘米。問這段圓鋼的體積是多少？4 視圖與展開圖 最短線路與展開圖形狀問題例1 在下面的三個圖中，有一個不是右面正四面體的展開圖，請將它找出來。例2 在下面的四個展開圖中，哪一個是右圖所示立方體的展開圖？例3 右圖是一個立方體紙盒的展開圖，當折疊成紙盒時，1 點與哪些點重合？例4.在下列各圖中，哪些是正方體的展開圖？例5. 左下圖是圖（1）（2）（3）中哪個正方體的展開圖？例6.一個擰緊瓶蓋的瓶子里面裝著一些水(如圖)，由圖中的數(shù)據(jù)可推知瓶子的容積是_ 立方厘米(取)例7.一個酒精瓶，它的瓶身呈圓柱形(不包括瓶頸)，如圖已知它的容積為立方厘米當瓶子正放時，瓶內(nèi)的酒精的液面高為6厘米；瓶子倒放時

7、，空余部分的高為2厘米問：瓶內(nèi)酒精的體積是多少立方厘米？合多少升？例8. 一個酒瓶里面深，底面內(nèi)直徑是，瓶里酒深把酒瓶塞緊后使其瓶口向下倒立這時酒深酒瓶的容積是多少？(取3)5 染色問題 幾面染色的塊數(shù)與“芯”、棱長、頂點、面數(shù)的關(guān)系。例1.右圖是由120塊小立方體構(gòu)成的456的立方體，如果將其表面涂成紅色，那么其中一面、二面三面被涂成紅色的小立方體各有多少塊？一般地，當a，b，c都不小于2時，對于abc的立方體：三面涂有紅色的小立方體有8塊；兩面涂有紅色的小立方體的塊數(shù)是：（a-2）（b-2）（c-2）4；一面涂有紅色的小立方體的塊數(shù)是：（a-2）（b-2）（a-2）（c-2）（b-2）（c

8、-2）2；沒有被涂上紅色的小立方體的塊數(shù)是：（a-2）（b-2）（c-2）。例2. 將一個表面涂有紅色的長方體分割成若干個體積為1厘米3 的小正方體，其中一點紅色都沒有的小立方體只有3塊。求原來長方體的體積。例3.棱長是厘米（為整數(shù)）的正方體的若干面涂上紅色，然后將其切割成棱長是1厘米的小正方體至少有一面紅色的小正方體個數(shù)和表面沒有紅色的小正方體個數(shù)的比為，此時的最小值是多少?例4. 把一個大長方體木塊表面上涂滿紅色后，分割成若干個同樣大小的小正方體，其中恰好有兩個面涂上紅色的小正方體恰好是100塊，那么至少要把這個大長方體分割成多少個小正方體？例3.有30個邊長為1米的正方體，在地面上擺成右上圖的形式，然后把露出的表面涂成紅色求被涂成紅色的表面積【例 6】 把正方體的六個表面都劃分成9個相等的正方形用紅、黃、藍三種顏色去染這些小正方形，要求有公共邊的正方形染不同的顏色，那么，用紅色染的正方形最多有多少個？【解析】 一個面最多有5個方格可染成紅色（見左下圖）因為染有5個紅色方格的面不能相鄰，可以相對，所以至多有兩個面可以染