2003考研數(shù)三真題及解析

1、.2003年全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試數(shù)學三試題一、填空題：本題共6小題，每小題4分，共24分，請將答案寫在答題紙指定位置上.(1) 設(shè) 其導(dǎo)函數(shù)在處連續(xù)，則的取值范圍是.(2) 已知曲線與軸相切，則可以通過表示為 .(3) 設(shè)，而表示全平面，則= .(4) 設(shè)維向量；為階單位矩陣，矩陣， ，其中的逆矩陣為，則 .(5) 設(shè)隨機變量 和的相關(guān)系數(shù)為0.9, 若，則與的相關(guān)系數(shù)為 .(6) 設(shè)總體服從參數(shù)為2的指數(shù)分布，為來自總體的簡單隨機樣本，則當時，依概率收斂于 .二、選擇題：本題共6小題，每小題4分，共24分，下列每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求，把所選項前的字母填在題后的括號

2、內(nèi).(1) 設(shè)為不恒等于零的奇函數(shù)，且存在，則函數(shù) ( )(A) 在處左極限不存在. (B) 有跳躍間斷點.(C) 在處右極限不存在. (D) 有可去間斷點. (2) 設(shè)可微函數(shù)在點取得極小值，則下列結(jié)論正確的是 ( )(A) 在處的導(dǎo)數(shù)等于零. (B)在處的導(dǎo)數(shù)大于零.(C) 在處的導(dǎo)數(shù)小于零. (D) 在處的導(dǎo)數(shù)不存在.(3) 設(shè)，則下列命題正確的是 ( )(A) 若條件收斂，則與都收斂.(B) 若絕對收斂，則與都收斂.(C) 若條件收斂，則與斂散性都不定.(D) 若絕對收斂，則與斂散性都不定. (4) 設(shè)三階矩陣，若的伴隨矩陣的秩為1，則必有 ( )(A) 或. (B) 或.(C) 且.

3、 (D) 且. (5) 設(shè)均為維向量，下列結(jié)論不正確的是 ( )(A) 若對于任意一組不全為零的數(shù)，都有，則線性無關(guān).(B) 若線性相關(guān)，則對于任意一組不全為零的數(shù)，都有(C) 線性無關(guān)的充分必要條件是此向量組的秩為s.(D) 線性無關(guān)的必要條件是其中任意兩個向量線性無關(guān). (6) 將一枚硬幣獨立地擲兩次，引進事件：=擲第一次出現(xiàn)正面，=擲第二次出現(xiàn)正面，=正、反面各出現(xiàn)一次，=正面出現(xiàn)兩次，則事件( )(A) 相互獨立. (B) 相互獨立. (C) 兩兩獨立. (D) 兩兩獨立. 三 、(本題滿分8分)設(shè)，試補充定義使得在上連續(xù).四 、(本題滿分8分)設(shè)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且滿足，又, 求五

4、 、(本題滿分8分)計算二重積分其中積分區(qū)域六、(本題滿分9分)求冪級數(shù)的和函數(shù)及其極值.七、(本題滿分9分)設(shè), 其中函數(shù)在內(nèi)滿足以下條件： ，且, (1) 求所滿足的一階微分方程；(2) 求出的表達式.八、(本題滿分8分)設(shè)函數(shù)在0，3上連續(xù)，在(0，3)內(nèi)可導(dǎo)，且.試證：必存在，使九、(本題滿分13分)已知齊次線性方程組 其中 試討論和滿足何種關(guān)系時，(1) 方程組僅有零解；(2) 方程組有非零解. 在有非零解時，求此方程組的一個基礎(chǔ)解系.十、(本題滿分13分)設(shè)二次型，中二次型的矩陣的特征值之和為1，特征值之積為-12.(1) 求的值；(2) 利用正交變換將二次型化為標準形，并寫出所用

5、的正交變換和對應(yīng)的正交矩陣.十一、(本題滿分13分)設(shè)隨機變量的概率密度為 是的分布函數(shù). 求隨機變量的分布函數(shù).十二、(本題滿分13分)設(shè)隨機變量與獨立，其中的概率分布為 ，而的概率密度為，求隨機變量的概率密度.2003年全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試數(shù)學三試題解析一、填空題(1)【答案】【分析】無窮小量乘以有界函數(shù)的極限仍是無窮小量.【詳解】是參變量，是函數(shù)的自變量，要使該式成立，必須，即. 當時， 要使在處連續(xù)，由函數(shù)連續(xù)的定義應(yīng)有由該式得出. 所以在處右連續(xù)的充要條件是(2)【答案】【詳解】設(shè)曲線與軸相切的切點為，則. 而，有又在此點坐標為0(切點在軸上)，于是有，故，所以 (3)【答案】

6、【詳解】本題積分區(qū)域為全平面，但只有當時，被積函數(shù)才不為零，則二重積分只需在積分區(qū)域與被積函數(shù)不為零的區(qū)域的公共部分商積分即可，因此實際上只需在滿足此不等式的區(qū)域內(nèi)積分即可=(4)【答案】-1 【詳解】這里為階矩陣，而為數(shù)，直接通過進行計算并注意利用乘法的結(jié)合律即可由題設(shè)，有=，于是有，即，解得 已知，故(5)【答案】【詳解】利用方差和相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)，又因為僅是減去一個常數(shù)，故方差不會變，與的協(xié)方差也不會變，因此相關(guān)系數(shù)也不會變，且 又，所以(6)【答案】【分析】本題考查大數(shù)定律：一組相互獨立且具有有限期望與方差的隨機變量，當方差一致有界時，其算術(shù)平均值依概率收斂于其數(shù)學期望的算術(shù)平均值：【詳

7、解】本題中滿足大數(shù)定律的條件，且=，因此根據(jù)大數(shù)定律有依概率收斂于二、選擇題(1)【答案】 【詳解】方法1：直接法：由為奇函數(shù)知，；又由，知在處沒定義，顯然為的間斷點，為了討論函數(shù)的連續(xù)性，求函數(shù)在的極限存在，故為可去間斷點方法2：間接法：取，此時=可排除三項(2)【答案】【詳解】由函數(shù)在點處可微，知函數(shù)在點處的兩個偏導(dǎo)數(shù)都存在，又由二元函數(shù)極值的必要條件即得在點處的兩個偏導(dǎo)數(shù)都等于零 從而有選項正確(3)【答案】【詳解】由，知，若絕對收斂，則收斂. 再由比較判別法，與都收斂，后者與僅差一個系數(shù)，故也收斂，選(B)(4)【答案】(C)【分析】 的伴隨矩陣的秩為1， 說明的秩為2，由此可確定應(yīng)滿

8、足的條件【詳解】方法1：根據(jù)與其伴隨矩陣秩之間的關(guān)系知秩()=2，它的秩小于它的列數(shù)或者行數(shù)，故有有或當時，顯然秩， 故必有 且 應(yīng)選(C)方法2：根據(jù)與其伴隨矩陣秩之間的關(guān)系，知，. 對作初等行變換當時，從矩陣中可以看到的秩為，與秩，不合題意(排除(A)、(B)故，這時故，且時，秩()=2，故應(yīng)選(5)【答案】(B) 【分析】本題涉及到線性相關(guān)、線性無關(guān)概念的理解，以及線性相關(guān)、線性無關(guān)的等價表現(xiàn)形式應(yīng)注意是尋找不正確的命題【詳解】(A): 若對于任意一組不全為零的數(shù)，都有 ，則必線性無關(guān). 因為若線性相關(guān)，則存在一組不全為零的數(shù)，使得 ，矛盾 可見(A)成立(B): 若線性相關(guān)，則存在一組

9、(而不是對任意一組不全為零的)數(shù)，都有 (B)不成立(C) 線性無關(guān)，則此向量組的秩為；反過來，若向量組的秩為，則線性無關(guān)，因此(C)成立(D) 線性無關(guān)，則其任一部分組線性無關(guān)，則其中任意兩個向量線性無關(guān)，可見(D)也成立綜上所述，應(yīng)選(B)【評注】 原命題與其逆否命題是等價的 例如，原命題：若存在一組不全為零的數(shù)，使得成立，則線性相關(guān) 其逆否命題為：若對于任意一組不全為零的數(shù)，都有，則線性無關(guān) 在平時的學習過程中，應(yīng)經(jīng)常注意這種原命題與其逆否命題的等價性(6)【答案】C【分析】(1) 兩事件相互獨立的充要條件：(2) 三事件相互獨立的充要條件：(i)兩兩相互獨立； (ii)【詳解】方法1：

10、因為，且，可見有，故兩兩獨立但不相互獨立；不兩兩獨立更不相互獨立，應(yīng)選(C)方法2：由三事件相互獨立的定義可知：相互獨立必兩兩獨立；反之，兩兩獨立不一定相互獨立可見(A)不正確，因為如果正確，則(C)也正確，但正確答案不能有兩個；同理，(B)也不正確. 因此只要檢查(C)和(D)故(D)錯，應(yīng)選(C)三【詳解】為使函數(shù)在上連續(xù)，只需求出函數(shù)在的左極限，然后定義為此極限值即可令，則當時，所以定義，從而有，在處連續(xù) 又在上連續(xù)，所以在上連續(xù)四【詳解】由復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，得 從而 所以 =五【詳解】從被積函數(shù)與積分區(qū)域可以看出，應(yīng)利用極坐標進行計算作極坐標變換：設(shè)，有記，則 =因此 ，六【分析】(

11、1) 和函數(shù)一般經(jīng)過適當?shù)淖儞Q后，考慮對其逐項求積分后求和，再求導(dǎo)即可得和函數(shù)；或者先通過逐項求導(dǎo)后求和，再積分即可得和函數(shù)本題可直接采用后者(2) 等比級數(shù)求和公式【詳解】先對和函數(shù)求導(dǎo)對上式兩邊從0到積分 由， 得為了求極值，對求一階導(dǎo)數(shù)，令，求得唯一駐點 由于， 由極值的第二充分條件，得在處取得極大值，且極大值為 七【分析】題目要求所滿足的微分方程，而微分方程中含有其導(dǎo)函數(shù)，自然想到對求導(dǎo)，并將其余部分轉(zhuǎn)化為用表示，導(dǎo)出相應(yīng)的微分方程，然后再求解相應(yīng)的微分方程即可【詳解】(1) 方法1：由，有=可見所滿足的一階微分方程為相應(yīng)的初始條件為方法2：由，有=又由 有，于是可見所滿足的一階微分方

12、程為相應(yīng)的初始條件為(2) 題(1)得到所滿足的一階微分方程，求的表達式只需解一階微分方程又一階線性非齊次微分方程的通解為所以 = =將代入上式，得. 所以 八【分析】題目要證存在，使得其一階導(dǎo)數(shù)為零，自然想到用羅爾定理. 而羅爾定理要求函數(shù)在某閉區(qū)間連續(xù)，且端點處函數(shù)值相等題目中已知，只需要再證明存在一點，使得，然后在上應(yīng)用羅爾定理即可 條件等價于問題轉(zhuǎn)化為1介于的最值之間，最終用介值定理可以達到目的【詳解】方法1：因為在0，3上連續(xù)，所以在0，2上連續(xù)，則在0，2上必有最大值和最小值(連續(xù)函數(shù)的最大值最小值定理)，于是，三式相加 從而 由介值定理知，至少存在一點，使因為， 且在上連續(xù)，在內(nèi)

13、可導(dǎo)，由羅爾定理知，必存在，使方法2：由于，如果中至少有一個等于1，例如，則在區(qū)間上對使用羅爾定理知，存在使 如果中沒有一個等于1，那么它們不可能全大于1，也不可能全小于1即至少有一個大于1，至少有一個小于1，由連續(xù)函數(shù)的介值定理知，在區(qū)間內(nèi)至少存在一點使在區(qū)間對用羅爾定理知，存在，使證畢九【分析】方程的個數(shù)與未知量的個數(shù)相同，問題轉(zhuǎn)化為系數(shù)矩陣行列式是否為零，而系數(shù)行列式的計算具有明顯的特征：所有行對應(yīng)元素相加后相等可先將所有行對應(yīng)元素相加，然后提出公因式，再將第一行的(-1)倍加到其余各行，即可計算出行列式的值【詳解】方程組的系數(shù)行列式=(1) 當，即且時，秩，方程組僅有零解(2) 當時，

14、原方程組的同解方程組為 由可知，不全為零不妨設(shè)，得原方程組的一個基礎(chǔ)解系，(3) 當時，. 這時，原方程組的系數(shù)矩陣可化為 由此得原方程組的同解方程組為， 原方程組的一個基礎(chǔ)解系為十【分析】 特征值之和等于的主對角線上元素之和，特征值之積等于的行列式，由此可求出 的值；進一步求出的特征值和特征向量，并將相同特征值的特征向量正交化(若有必要)，然后將特征向量單位化并以此為列所構(gòu)造的矩陣即為所求的正交矩陣【詳解】(1)二次型的矩陣為 設(shè)的特征值為，由題設(shè)得，解得(2) 求矩陣的特征值，令，得矩陣的特征值對于 解齊次線性方程組，系數(shù)矩陣為，得基礎(chǔ)解系，對于，解齊次線性方程組，系數(shù)矩陣為，得基礎(chǔ)解系由

15、于已是正交向量組，為了得到規(guī)范正交向量組，只需將單位化，由此得，令矩陣，則為正交矩陣 在正交變換下，有，且二次型的標準形為【評注】本題求也可先計算特征多項式，再利用根與系數(shù)的關(guān)系確定：二次型的矩陣對應(yīng)特征多項式為設(shè)的特征值為，則 由題設(shè)得，解得第一步求參數(shù)見數(shù)學復(fù)習指南P361重要公式與結(jié)論4，完全類似例題見文登數(shù)學全真模擬試卷數(shù)學三P47第九題十一【分析】先求出分布函數(shù)的具體形式，從而可確定 ，然后按定義求的分布函數(shù)即可注意應(yīng)先確定的值域范圍，再對分段討論【詳解】易見，當時，; 當時，對于，有設(shè)是隨機變量的分布函數(shù) 顯然，當時，=0；當時，=1 對于，有于是，的分布函數(shù)為十二【分析】本題屬新題型，求兩個隨機變量和的分布，其中一個是連續(xù)型一個是離散型，要求用全概率公式進行計算，類似問題以前從未出現(xiàn)過，具