高考數(shù)學理科第19練-概率與統(tǒng)計的綜合問題

1、第19練 概率與統(tǒng)計的綜合問題中檔大題規(guī)范練明晰考情1.命題角度：離散型隨機變量的分布列及期望是高考重點，常考查獨立事件的概率，超幾何分布和二項分布的期望等；概率統(tǒng)計的交匯處是近幾年命題的熱點.2.題目難度：中檔偏上難度.考點一互斥事件、相互獨立事件的概率方法技巧求復雜事件的概率，要正確分析復雜事件的構(gòu)成，看復雜事件是能轉(zhuǎn)化為幾個彼此互斥的事件的和事件還是能轉(zhuǎn)化為幾個相互獨立事件同時發(fā)生的積事件，然后用概率公式求解.1.為振興旅游業(yè)，某省面向國內(nèi)發(fā)行總量為2 000萬張的熊貓優(yōu)惠卡，向省外人士發(fā)行的是熊貓金卡(簡稱金卡)，向省內(nèi)人士發(fā)行的是熊貓銀卡(簡稱銀卡).某旅游公司組織了一個有36名游客

2、的旅游團到該省名勝旅游，其中是省外游客，其余是省內(nèi)游客.在省外游客中有持金卡，在省內(nèi)游客中有持銀卡.(1)在該團中隨機采訪2名游客，求恰有1人持銀卡的概率；(2)在該團中隨機采訪2名游客，求其中持金卡與持銀卡人數(shù)相等的概率.解(1)由題意得省外游客有27人，其中9人持金卡；省內(nèi)游客有9人，其中6人持銀卡.設(shè)事件A為“采訪該團2名游客，恰有1人持銀卡”，則P(A).所以采訪該團2名游客，恰有1人持銀卡的概率是.(2)設(shè)事件B為“采訪該團2名游客，持金卡人數(shù)與持銀卡人數(shù)相等”，事件B1為“采訪該團2名游客，0人持金卡，0人持銀卡”，事件B2為“采訪該團2名游客，1人持金卡，1人持銀卡”.P(B)P

3、(B1)P(B2).所以采訪該團2名游客，持金卡人數(shù)與持銀卡人數(shù)相等的概率是.2.某險種的基本保費為a(單位：元)，繼續(xù)購買該險種的投保人稱為續(xù)保人，續(xù)保人本年度的保費與其上年度出險次數(shù)的關(guān)聯(lián)如下：上年度出險次數(shù)012345保費0.85aa1.25a1.5a1.75a2a設(shè)該險種一續(xù)保人一年內(nèi)出險次數(shù)與相應概率如下：一年內(nèi)出險次數(shù)012345概率0.300.150.200.200.100.05(1)求一續(xù)保人本年度的保費高于基本保費的概率；(2)若一續(xù)保人本年度的保費高于基本保費，求其保費比基本保費高出60%的概率.解(1)設(shè)A表示事件：“一續(xù)保人本年度的保費高于基本保費”，則事件A發(fā)生當且僅

4、當一年內(nèi)出險次數(shù)大于1，故P(A)0.200.200.100.050.55.(2)設(shè)B表示事件：“一續(xù)保人本年度的保費比基本保費高出60%”，則事件B發(fā)生當且僅當一年內(nèi)出險次數(shù)大于3，故P(B)0.100.050.15.又P(AB)P(B)，故P(B|A).因此所求概率為.3.某居民小區(qū)有兩個相互獨立的安全防范系統(tǒng)(簡稱系統(tǒng))A和B，系統(tǒng)A和系統(tǒng)B在任意時刻發(fā)生故障的概率分別為和p.(1)若在任意時刻至少有一個系統(tǒng)不發(fā)生故障的概率為，求p的值；(2)求系統(tǒng)A在3次相互獨立的檢測中不發(fā)生故障的次數(shù)大于發(fā)生故障的次數(shù)的概率.解(1)設(shè)“至少有一個系統(tǒng)不發(fā)生故障”為事件C，那么1P()1p，解得p.

5、(2)設(shè)“系統(tǒng)A在3次相互獨立的檢測中不發(fā)生故障的次數(shù)大于發(fā)生故障的次數(shù)”為事件D.“系統(tǒng)A在3次相互獨立的檢測中發(fā)生k次故障”為事件Dk.則DD0D1，且D0，D1互斥.依題意，得P(D0)C033，P(D1)C2，所以P(D)P(D0)P(D1).所以系統(tǒng)A在3次相互獨立的檢測中不發(fā)生故障的次數(shù)大于發(fā)生故障的次數(shù)的概率為.考點二 隨機變量的分布列、期望與方差方法技巧(1)求離散型隨機變量的分布列的關(guān)鍵是正確理解隨機變量取每一個值所表示的具體事件，然后綜合應用各類求概率的公式，求出概率.(2)如果隨機變量X能夠斷定服從超幾何分布或二項分布，則其概率可直接利用公式求解.4.某公司在迎新年晚會上

6、舉行抽獎活動，有甲、乙兩個抽獎方案供員工選擇.方案甲：員工最多有兩次抽獎機會，每次抽獎的中獎率均為.第一次抽獎，若未中獎，則抽獎結(jié)束.若中獎，則通過拋一枚質(zhì)地均勻的硬幣，決定是否繼續(xù)進行第二次抽獎.規(guī)定：若拋出硬幣，反面朝上，員工則獲得500元獎金，不進行第二次抽獎；若正面朝上，員工則須進行第二次抽獎且在第二次抽獎中，若中獎，則獲得獎金1 000元；若未中獎，則所獲得的獎金為0元.方案乙：員工連續(xù)三次抽獎，每次中獎率均為，每次中獎均可獲得獎金400元.(1)求某員工選擇方案甲進行抽獎所獲獎金X(元)的分布列；(2)試比較某員工選擇方案乙與選擇方案甲進行抽獎，哪個方案更劃算？解(1)由題意得，X

7、的所有可能取值為0，500，1 000，則P(X0)，P(X500)，P(X1 000)，所以某員工選擇方案甲進行抽獎所獲獎金X(元)的分布列為X05001 000P(2)由(1)可知，選擇方案甲進行抽獎所獲獎金X的期望E(X)5001 000520，若選擇方案乙進行抽獎，中獎次數(shù)B，則E()3，抽獎所獲獎金Y的期望E(Y)E(400)400E()480，故選擇方案甲較劃算.5.中國鐵路客戶服務中心為方便旅客購買車票，推出三種購票方式：窗口購票、電話購票、網(wǎng)上購票，旅客任選一種購票方式.若甲、乙、丙3名旅客都準備購買火車票，并且這3名旅客選擇購票的方式是相互獨立的.(1)求這三名旅客中至少有兩

8、人選擇網(wǎng)上購票的概率；(2)記這三名旅客購票方式的種數(shù)為，求的分布列和數(shù)學期望.解(1)記“三名旅客中恰有兩人選擇網(wǎng)上購票”為事件A，“三名旅客都選擇網(wǎng)上購票”為事件B，且A，B互斥.則P(A)C2，P(B)3.因此，三名旅客中至少有兩人選擇網(wǎng)上購票的概率PP(A)P(B).(2)由題意知，的所有可能取值為1，2，3，則P(1)C3；P(2)CC2；P(3).所以隨機變量的分布列為123P故的數(shù)學期望E()123.6.在心理學研究中，常采用對比試驗的方法評價不同心理暗示對人的影響，具體方法如下：將參加試驗的志愿者隨機分成兩組，一組接受甲種心理暗示，另一組接受乙種心理暗示，通過對比這兩組志愿者接

9、受心理暗示后的結(jié)果來評價兩種心理暗示的作用.現(xiàn)有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，從中隨機抽取5人接受甲種心理暗示，另5人接受乙種心理暗示.(1)求接受甲種心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率；(2)用X表示接受乙種心理暗示的女志愿者人數(shù)，求X的分布列與期望E(X).解(1)記接受甲種心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的事件為M，則P(M).(2)由題意知，X可取的值為0，1，2，3，4，則P(X0)，P(X1)，P(X2)，P(X3)，P(X4).因此X的分布列為X01234PE(X)012342.考點三 概率與統(tǒng)計的綜合問題方法

10、技巧對于將統(tǒng)計圖表和隨機變量相結(jié)合的綜合問題，首先要正確處理圖表數(shù)據(jù)，明確隨機變量的意義，然后判斷隨機變量分布的類型，求出分布列.7.(2018桂林模擬)甲、乙兩名運動員互不影響地進行四次射擊訓練，根據(jù)以往的數(shù)據(jù)統(tǒng)計，他們射擊成績均不低于8環(huán)(成績環(huán)數(shù)以整數(shù)計)，且甲、乙射擊成績(環(huán)數(shù))的分布列如下：甲環(huán)數(shù)8910概率p乙環(huán)數(shù)8910概率q(1)求p，q的值；(2)若甲、乙兩射手各射擊兩次，求四次射擊中恰有三次命中9環(huán)的概率；(3)若兩個射手各射擊1次，記兩人所得環(huán)數(shù)的差的絕對值為，求的分布列和數(shù)學期望.解(1)由題意得p，q.(2)記事件C：甲命中一次9環(huán)，乙命中兩次9環(huán)，事件D：甲命中兩次

11、9環(huán)，乙命中一次9環(huán)，則四次射擊中恰有三次命中9環(huán)為事件CD，P(CD)CC2C2C.(3)的取值分別為0，1，2，P(0)，P(1)，P(2)，的分布列如下表：012PE()012.8.(2018全國)某工廠的某種產(chǎn)品成箱包裝，每箱200件，每一箱產(chǎn)品在交付用戶之前要對產(chǎn)品作檢驗，如檢驗出不合格品，則更換為合格品.檢驗時，先從這箱產(chǎn)品中任取20件作檢驗，再根據(jù)檢驗結(jié)果決定是否對余下的所有產(chǎn)品作檢驗.設(shè)每件產(chǎn)品為不合格品的概率都為p(0p1)，且各件產(chǎn)品是否為不合格品相互獨立.(1)記20件產(chǎn)品中恰有2件不合格品的概率為f(p)，求f(p)的最大值點p0；(2)現(xiàn)對一箱產(chǎn)品檢驗了20件，結(jié)果恰

12、有2件不合格品，以(1)中確定的p0作為p的值.已知每件產(chǎn)品的檢驗費用為2元，若有不合格品進入用戶手中，則工廠要對每件不合格品支付25元的賠償費用.若不對該箱余下的產(chǎn)品作檢驗，這一箱產(chǎn)品的檢驗費用與賠償費用的和記為X，求E(X)；以檢驗費用與賠償費用和的期望值為決策依據(jù)，是否該對這箱余下的所有產(chǎn)品作檢驗？解(1)20件產(chǎn)品中恰有2件不合格品的概率為f(p)Cp2(1p)18(0p1).因此f(p)C2p(1p)1818p2(1p)172Cp(1p)17(110p)，0p1.令f(p)0，得p0.1.當p(0，0.1)時，f(p)0；當p(0.1，1)時，f(p)0.所以f(p)的最大值點為p0

13、0.1.(2)由(1)知，p0.1.令Y表示余下的180件產(chǎn)品中的不合格品件數(shù)，依題意知YB(180，0.1)，X20225Y，即X4025Y.所以E(X)E(4025Y)4025E(Y)40251800.1490.若對余下的產(chǎn)品作檢驗，則這一箱產(chǎn)品所需要的檢驗費用為400元.由于E(X)400，故應該對余下的產(chǎn)品作檢驗.9.(2017全國改編)為了監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過程，檢驗員每天從該生產(chǎn)線上隨機抽取16個零件，并測量其尺寸(單位：cm).根據(jù)長期生產(chǎn)經(jīng)驗，可以認為這條生產(chǎn)線正常狀態(tài)下生產(chǎn)的零件的尺寸服從正態(tài)分布N(，2).(1)假設(shè)生產(chǎn)狀態(tài)正常，記X表示一天內(nèi)抽取的16個零件中

14、其尺寸在(3，3)之外的零件數(shù)，求P(X1)及X的數(shù)學期望；(2)一天內(nèi)抽檢零件中，如果出現(xiàn)了尺寸在(3，3)之外的零件，就認為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況，需對當天的生產(chǎn)過程進行檢查.()試說明上述監(jiān)控生產(chǎn)過程方法的合理性；()下面是檢驗員在一天內(nèi)抽取的16個零件的尺寸：9.9510.129.96 9.9610.019.929.9810.0410.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95經(jīng)計算得i9.97，s0.212，其中xi為抽取的第i個零件的尺寸，i1，2，16.用樣本平均數(shù)作為的估計值，用樣本標準差s作為的估計值，利用估計值判斷是否需對當

15、天的生產(chǎn)過程進行檢查？剔除(3，3)之外的數(shù)據(jù)，用剩下的數(shù)據(jù)估計和(精確到0.01).附：若隨機變量Z服從正態(tài)分布N(，2)，則P(3Z2.706.5分所以有90%的把握認為該校教職工是“足球達人”與性別有關(guān).6分(2)由題意知抽取的6名“足球達人”中有4名男職工，2名女職工，所以的可能取值為0，1，2.且P(0)，P(1)，P(2)，10分所以的分布列為012PE()012.12分構(gòu)建答題模板第一步定變量：根據(jù)已知條件確定分類變量及取值；第二步填表格：填寫列聯(lián)表；第三步下結(jié)論：計算K2值并下結(jié)論；第四步算概率：計算隨機變量取每一個值的概率并列出分布列；第五步求期望：根據(jù)公式求期望.1.甲、乙

16、兩名同學參加定點投籃測試，已知兩人投中的概率分別是和，假設(shè)兩人投籃結(jié)果相互沒有影響，每人各次投球是否投中也沒有影響.(1)若每人投球3次(必須投完)，投中2次或2次以上，記為達標，求甲達標的概率；(2)若每人有4次投球機會，如果連續(xù)兩次投中，則記為達標.達標或能斷定不達標，則終止投籃.記乙本次測試投球的次數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學期望E(X).解(1)記“甲達標”為事件A，則P(A)C23.(2)X的所有可能的值為2，3，4.P(X2)2，P(X3)3，P(X4).所以X的分布列為X234P所以E(X)234.2.(2018咸陽模擬)針對國家提出的延遲退休方案，某機構(gòu)進行了網(wǎng)上調(diào)查，所有參與調(diào)

17、查的人中，持“支持”、“保留”和“不支持”態(tài)度的人數(shù)如下表所示：支持保留不支持50歲以下8 0004 0002 00050歲以上(含50歲)1 0002 0003 000(1)在所有參與調(diào)查的人中，用分層抽樣的方法抽取n個人，已知從持“不支持”態(tài)度的人中抽取了30人，求n的值；(2)在持“不支持”態(tài)度的人中，用分層抽樣的方法抽取10人看成一個總體，從這10人中任意選取3人，求50歲以下人數(shù)的分布列和期望；(3)在接受調(diào)查的人中，有10人給這項活動打出的分數(shù)如下：9.4，8.6，9.2，9.6，8.7，9.3，9.0，8.2，8.3，9.7，把這10個人打出的分數(shù)看作一個總體，從中任取一個數(shù)，求

18、該數(shù)與總體平均數(shù)之差的絕對值超過0.6的概率.解(1)參與調(diào)查的總?cè)藬?shù)為8 0004 0002 0001 0002 0003 00020 000，其中從持“不支持”態(tài)度的2 0003 0005 000人中抽取了30人，所以n20 000120.(2)在持“不支持”態(tài)度的人中，50歲以下及50歲以上(含50歲)人數(shù)之比為23，因此抽取的10人中，50歲以下與50歲以上(含50歲)人數(shù)分別為4人，6人，0，1，2，3，P(0)，P(1)，P(2)，P(3)，所以的分布列如下表：0123PE()0123.(3)總體的平均數(shù)為(9.48.69.29.68.79.39.08.28.39.7)9.0，那么

19、與總體平均數(shù)之差的絕對值超過0.6的數(shù)有8.2，8.3，9.7，所以任取1個數(shù)與總體平均數(shù)之差的絕對值超過0.6的概率為.3.(2018全國)某工廠為提高生產(chǎn)效率，開展技術(shù)創(chuàng)新活動，提出了完成某項生產(chǎn)任務的兩種新的生產(chǎn)方式.為比較兩種生產(chǎn)方式的效率，選取40名工人，將他們隨機分成兩組，每組20人.第一組工人用第一種生產(chǎn)方式，第二組工人用第二種生產(chǎn)方式.根據(jù)工人完成生產(chǎn)任務的工作時間(單位：min)繪制了如下莖葉圖：(1)根據(jù)莖葉圖判斷哪種生產(chǎn)方式的效率更高？并說明理由；(2)求40名工人完成生產(chǎn)任務所需時間的中位數(shù)m，并將完成生產(chǎn)任務所需時間超過m和不超過m的工人數(shù)填入下面的列聯(lián)表；超過m不超過m總計第一種生產(chǎn)方式第二種生產(chǎn)方式總計(3)根據(jù)(2)中的列聯(lián)表，能否有99%的把握認為兩種生產(chǎn)方式的效率有